2021-2022学年北京师大亚太实验学校七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年北京师大亚太实验学校七年级（下）期中数学试卷

一．选择题（本题共8小题，共16分）

1. 的立方根是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列各数，，，，，．，中，无理数有个．(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图，下列条件中，不能判断直线的是(    )

A.
B.
C.
D.

4. 下列说法中，错误的有(    )
   若，，则；
   若与相交，与相交，则与相交；
   相等的角是对顶角；
   过一点有且只有一条直线与已知直线平行．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

5. 估计的大小应在(    )

A. 之间 B. 之间 C. 之间 D. 之间

6. 已知点，，，则点在(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

7. 若点关于轴的对称点为，则点关于轴的对称点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 在平面直角坐标系中，对于任意一点，规定：；比如，当时，所有满足该条件的点组成的图形为(    )

A.  B.
C.  D.

二．填空题（本题共8小题，共18分）

9. 已知轴上点到轴的距离为，则点的坐标为______ ．
10. 已知一个正数的平方根分别是和，则______．
11. 如图，以点为观测点，如果点的位置用有序数对来表示，那么点、点的位置分别记为______，______，______

12. 如图，，交于点，于，连接，
    若，则______．
    若，，那么点到直线的距离是______．

13. 如图是某公园里一处矩形风景欣赏区，长米，宽米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路图中非阴影部分，小路的宽均为米，那小明沿着小路的中间，从出口到出口所走的路线图中虚线长为______米．

14. 如图，一张四边形纸片，，若将其按照图所示方式折叠后，恰好，，则的度数为______ ．

15. 如图，直线，为直线上一点，，分别交直线于点，，平分，，垂足为点，．
    ______ 填“”或“”或“”，理由是______ ；
    ______ 用含的式子表示．
16. 任何实数，可用表示不超过的最大整数，如，现对进行如下操作：，这样对只需进行次操作后变为，类似的，对只需进行______次操作后变为；只需进行次操作后变为的所有正整数中，最大的是______．

三．解答题（本题共10小题，共76分）

17. 解方程：
    计算：
18. 画图并解答：
    如图，是内一点．按要求完成下列问题：
    过作的垂线，垂足为点；
    过点作的平行线，交于点：再过作的垂线段，垂足为点；
    判断与的位置关系是：______．

19. 如图，每个小正方形方格的边长为已知中，点，的坐标分别为，，轴，点在点右侧，且．
    请根据已知条件，画出平面直角坐标系以及，并写出点的坐标______；
    若将向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度．按照这样的步骤平移后，上某一点的对应点为，那么点的坐标为______用含，的代数式表示；
    的面积为______．

20. 已知：如图，，，．
    求证：．

21. 已知关于，的方程组的解中与的和为，求的值及此方程组的解．
22. 列方程组解决下列问题
    某蔬菜公司收购到一批蔬菜，计划用天加工后上市销售，该公司的加工能力是：每天可以精加工吨或者粗加工吨，且每吨蔬菜精加工后的利润为元，粗加工后的利润为元，已知公司售完这批加工后的蔬菜，共获得利润元，求这批蔬菜共多少吨？
23. 如图，已知，．
    试判断与的位置关系，并说明理由．
    若平分，，求的度数．

24. 如图，已知，点是射线上一动点与点不重合，、分别平分和，分别交射线于点，．
    求的度数；
    当点运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．
    当点运动到使时，的度数是______．

25. 科技馆为某机器人编制了一段程序，如果机器人在平地上按图所示的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为(    )

A. 米
B. 米
C. 米
D. 不能确定

26. 对有序数对定义“运算”：，其中，为常数，运算的结果也是一个有序数对，在此基础上，可对平面直角坐标系中的任意一点规定“变换”；点在的变换下的对应点即为坐标是的点．
    当，时，______．
    若点在变换下的对应点是它本身，求的值．
27. 已知，点、分别在直线上．
    
    如图，请直接写出、、三个角满足的数量关系______．
    如图，分别作与的角平分线，交于点，探索与的数量关系并予以证明．
    在图中完成作图并填空：分别作与的角平分线，交于点，过点作，设，请直接写出的度数用含的式子表示______．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
的立方根是，
故选：．
根据立方根的定义可知的立方根是．
此题主要考查了立方根概念的运用能力，关键是能准确理解相关知识，并能进行正确计算．
 

2.【答案】 

【解析】解：是有限小数，属于有理数；
是整数，属于有理数；
是分数，属于有理数；
是循环小数，属于有理数；
无理数有，，，共有个．
故选：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题考查了无理数的定义．解题的关键是掌握无理数的定义，注意初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像每两个之间的个数依次加，等有这样规律的数．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握平行线的判定定理．
根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行分别进行分析即可．
【解答】
解：、根据内错角相等，两直线平行可判断直线，故此选项不合题意；
B、，不能判断直线，故此选项符合题意；
C、根据同位角相等，两直线平行可判断直线，故此选项不合题意；
D、根据同旁内角互补，两直线平行可判断直线，故此选项不合题意；
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：根据平行线公理及推论可知，正确；
若与相交，与相交，则与可能相交或平行，错误；
对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，错误；
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，错误．
故错误的有个，
故选：．
根据平行公理及推论可判断；若与相交，与相交，则与可能相交或平行，可判断；对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，可判断；根据平行公理及推论可判断．
本题考查平行公理及推论、平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，
，
故选：．
由，，根据算术平方根的定义可得答案．
本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确估算的前提．
 

6.【答案】 

【解析】解：因为，，
所以，，
所以，
所以点在第四象限，
故选：．
根据有理数的乘法、有理数的加法，可得、的符号，根据第一象限内点的横坐标大于零，纵坐标大于零，可得答案．
本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
 

7.【答案】 

【解析】解：点关于轴的对称点为，
，
点关于轴的对称点的坐标是，
故选：．
直接利用关于轴对称点的性质横坐标互为相反数，纵坐标不变得出点的坐标，再根据关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．
此题主要考查了关于、轴对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，或，．
当，时，点满足，或，，
在图象上，线段，即为选项中正方形的右边，线段，即为选项中正方形的左边；
当，时，点满足，，或，，
在图象上，线段，即为选项中正方形的上边，线段，即为选项中正方形的下边．
故选：．
根据的定义和可知，或，，然后分两种情况分别进行讨论即可得到点组成的图形．
本题主要考查了函数的图象，解题的关键是牢记在平面直角坐标系中，与坐标轴平行的线段上的点的坐标特征．
 

9.【答案】或 

【解析】解：轴上点到轴的距离为，
点的坐标为或．
故答案为或．
根据轴上点的坐标特征和到轴的距离为得到点的坐标为或．
本题考查了坐标：我们把有顺序的两个数和组成的数对，叫做有序数对，记作；坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．
 

10.【答案】 

【解析】解：由已知得，
，
解得：．
，
这个正数．
故答案为：．
依据平方根的性质求得，求得的值，从而可求得的值．
本题主要考查的是平方根的定义，熟练掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数是解题的关键．
 

11.【答案】     

【解析】解：根据题意点、点，
故答案为：，，．
根据横坐标表示所在圆的半径，纵坐标表示对应的度数可得答案．
本题主要考查坐标确定位置，解题的关键是根据题意理解横纵坐标所代表的意义．
 

12.【答案】   

【解析】解：，
，
，
，
，
，，
点到直线的距离是，
故答案为，．
根据对顶角的性质得出，再由垂直的定义答案即可；
根据点到直线的距离即可得出答案．
本题考查了点到直线的距离，对顶角以及邻补角，掌握对顶角以及邻补角的性质是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意可得：横向距离等于，纵向距离等于，
米，米，
中间行走的路线长为：．
故答案为：．
利用已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，横向距离等于，纵向距离等于，进而得出答案．
此题主要考查了生活中的平移现象，正确转换图形形状是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：由翻折而成，
，，
，，，
，，
，，
．
故答案是：．
先根据翻折变换的性质得出，，再由平行线的性质求出及的度数，进而可得出结论．
本题考查的是翻折变换的性质及平行线的性质，解答此类题目时往往隐含了三角形的内角和是这一知识点．
 

15.【答案】；垂线段最短；
． 

【解析】

解：，
，理由是垂线段最短；

，
，
平分，
，
，
在中，．
故答案为：，垂线段最短；．
【分析】
根据垂线段最短解答；
根据两直线平行，同位角相等表示出，再根据角平分线的定义表示出，然后表示出，再根据直角三角形两锐角互余求解即可．
本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂线段最短的性质，是基础题，熟记各性质并准确识图是解题的关键．  

16.【答案】； 

【解析】解：，，，
故答案为：；

最大的是，
，，，而，，，，
即只需进行次操作后变为的所有正整数中，最大的正整数是，
故答案为：．
根据规律依次求出即可；
要想确定只需进行次操作后变为的所有正整数，关键是确定二次操作后数的大小不能大于，二次操作时根号内的数必须小于，而一次操作时正整数却好满足这一条件，即最大的正整数为．
本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和猜想能力．
 

17.【答案】解：，
或，
解得：或．

原式
． 

【解析】根据平方根的含义和求法，求出的值，进而求出的值即可．
首先计算乘方、开平方、开立方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了平方根的含义和求法，以及实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
 

18.【答案】垂直 

【解析】解：如图，直线即为所求；
如图，直线，线段即为所求；
，，
，
故答案为：垂直．

根据垂线的定义作出图形即可；
根据平行线的定义作出图形即可；
根据垂线段的定义画出图形即可．
本题考查作图复杂作图，垂线，平行线等知识，解题的关键是掌握垂线，平行线的定义，属于中考常考题型．
 

19.【答案】     

【解析】解：如图，点坐标为，
因为，所以到轴的距离为，到轴的距离为，
故画出图形如图所示．
因为轴，在右侧个单位，所以的坐标为；
故答案为：；
根据平移规律，原图中每个点是左移，上移，即，
所以是由平移得到的．
故答案为：；



；
故答案为：．
直接根据题意画图即可．因为轴，点在点右侧，且，可知点坐标；
根据平移规律，，反求之即可；
根据三角形面积公式计算即可．
本题考查了点的坐标、平移规律、三角形的面积，解题的关键是熟练掌握点的坐标的表示方法、平移规律的顺序、三角形的面积公式．
 

20.【答案】证明：已知，
垂直的定义，
，
，
即，，
又已知，
等角的余角相等，
内错角相等，两直线平行． 

【解析】由垂直的定义得，根据平行线的性质可得，即，，由可以得出，即可得出结论．
本题考查了平行线的判定和性质以及垂直的定义；熟练掌握平行线的性质和判定方法是解题的关键．
 

21.【答案】解：，
解得：，
，
又与的和为，
，
解得：，
把代入，
解得：，
方程组的解为：解得：，
的值为，方程组的解为解得：． 

【解析】根据题意先用含的代数式表示出和，再根据与的和为求出的值，代入，即可求解．
本题考查了方程组的解的定义，以及解二元一次方程组，正确求得的值是解决本题的关键．
 

22.【答案】解：设精加工天，则粗加工天，
依题意得：，
解得：，
．
答：这批蔬菜共吨． 

【解析】设精加工天，则粗加工天，利用总利润精加工的天数粗加工的天数，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，再将其代入中即可求出结论．
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
 

23.【答案】解：．
理由：，，
，
，
，
又，
，
．
平分，
，
又，
，
，
，
又，
，
解得，
，
又，
． 

【解析】先根据已知条件得出，故AD，由平行线的性质得，再由，可知，故可得出结论．
依据平分，，即可得到的度数，再根据平行线的性质，即可得出的度数．
本题考查的是平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行是解答此题的关键．
 

24.【答案】，
，
，
，
、分别平分和，
，，
；

不变化，，
证明：，
，
，
又平分，
，
；
 

【解析】

解：见答案
见答案
，
，
又，
，
，
由可得，，，
，
故答案为：．
【分析】
先根据平行线的性质，得出，再根据、分别平分和，即可得出的度数；
根据平行线的性质得出，，再根据平分，即可得到进而得出；
根据，，得出，进而得到，根据，，可求得的度数．
本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等．  

25.【答案】 

【解析】解：由程序图知：机器人走过的图形为正多边形，且外角为，
故边数．
走过的路程米
故选：．
根据正多边形外角和等于即可求解．
本题考查正多边形的外角，解题关键是熟知正多边形外角和等于．
 

26.【答案】 

【解析】解：依题意得：．
故答案是：；
依题意得：．
所以，，
所以，．
．
根据新定义运算法则解得；
根据新定义运算法则得到关于、的方程，通过解方程求得它们的值即可．
本题考查了坐标与图形性质．关键是掌握对有序数对定义“运算”法则．
 

27.【答案】解：如图中，结论：．

，
，
，
．
故答案为：．

如图中，结论：．

理由：设，，，，
，
，
又，
，
，
即．


设，．

，
，
，即，
，
，
． 

【解析】结论：利用平行线的性质，三角形的外角的性质即可解决问题；
结论：设，，，，由，推出，又，由此即可解决问题；
设，由，推出，推出，即，由，推出，可得；
本题考查平行线的性质、三角形的外角的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．