2021-2022学年北京工业大学实验学校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年北京工业大学实验学校八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24分）

1. 下列二次根式中，最简二次根式是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

3. 菱形的两条对角线长分别是和，则它的面积是(    )

A.  B.   C.   D.  

4. 下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 下列曲线中，表示是的函数的是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 一次函数的图象经过点，，则以下判断正确的是(    )

A.  B.  C.  D. 无法确定

7. 若四边形是甲，则四边形一定是乙，甲、乙两空可以填(    )

A. 平行四边形，矩形 B. 矩形，菱形
C. 菱形，正方形 D. 正方形，平行四边形

8. 如图，四边形是平行四边形，连接，动点从点出发沿折线匀速运动，回到点后停止．设点运动的路程为，线段的长为，图是与的函数关系的大致图象，则▱的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24分）

9. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
10. 计算：______．
11. 写出一个随的增大而减小的正比例函数的表达式______．
12. 如图，，两点被池塘隔开，在外选一点，连接和分别取，的中点，，测得，两点间的距离为，则，两点间的距离为______

13. 在平面直角坐标系中，将直线向上平移个单位长度后，所得的直线的解析式为______．
14. 一个水库的水位在最近内持续上涨，下表记录了这内个时间点的水位高度，其中表示时间，表示水位高度．

据估计这种上涨规律还会持续，预测再过水位高度将为______

15. 如图，菱形的对角线，相交于点，为边上一动点不与点，重合，于点，于点，若，，则的最小值为______．

16. 若直线与坐标轴围成的三角形的面积为，则的值为______．

三、解答题（本大题共10小题，共52分）

17. 计算：
18. 已知：．
    求作：的平分线；
    作法：以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；
    分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧在的内部相交于点；
    画射线．
    射线即为所求．
    使用直尺和圆规，依作法补全图形保留作图痕迹；
    完成下面的证明．
    证明：连接，．
    由作法可知．
    四边形是______，
    平分______填推理的依据．

19. 如图，在平行四边形中，对角线和相交于点，，，，求的长度及平行四边形的面积．

20. 如图，在▱中，点、分别在、上，且，、相交于点，求证：．
     

21. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点与．
    求一次函数的表达式；
    在平面直角坐标系内画出该函数的图象；
    求直线与坐标轴围成的三角形面积．

22. 如图，在▱中，，是对角线上的点，且，求证：四边形是平行四边形．

23. 如图，矩形中，，，将矩形沿对角线折叠，点落在点处，交于点．
    写出折叠后的图形中的等腰三角形：______；
    求的长．

24. 如图，在四边形中，，，，过点作，垂足为点，延长至点，使，连接，．
    求证：四边形是矩形；
    求的长．

25. 有这样一个问题：探究函数的图象与性质．
    小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．
    下面是小明的探究过程，请补充完整：
    函数的自变量的取值范围是______；
    如表是与的几组对应值．

______；
如图，在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；

进一步探究发现该函数的性质：当 ______时，随的增大而增大．

26. 如图，点是正方形边上一点，作点关于直线的对称点，连接作射线交直线于点，连接．
    依题意补全图形；
    求的度数用含的式子表示；
    ______；
    用等式表示，的数量关系，并给出证明．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．，即被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B.是最简二次根式，故本选项符合题意；
C.，即被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D.，即被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，注意：满足以下两个条件：被开方数中的因式是整式，因数是整数，被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数，像这样的二次根式叫最简二次根式．．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
可以构成直角三角形，故本选项符合题意；
B.，
不可以构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C.，
不可以构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D.，
不可以构成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理，求出两小边的平方和，再求出大边的平方，看是否相等，即可得出答案．
本题考查了对勾股定理的逆定理的运用，熟知：如果一个三角形的三边分别是、、最大满足，则三角形是直角三角形是解决问题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：菱形的两条对角线长分别是和，
它的面积是：
故选：．
由菱形的两条对角线长分别是和，利用菱形的面积等于其对角线积的一半求解，即可求得答案．
此题考查了菱形的性质．此题比较简单，注意掌握菱形的面积等于其对角线积的一半定理的应用是解此题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、与不是同类二次根式，不能合并，故A不符合题意．
B、原式，故B不符合题意．
C、原式，故C符合题意．
D、原式，故D不符合题意．
故选：．
根据二次根式的加减运算法则以及乘除运算法则即可求出答案．
本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
 

5.【答案】 

【解析】解：、不能表示是的函数，故此选项不合题意；
B、不能表示是的函数，故此选项不合题意；
C、不能表示是的函数，故此选项不合题意；
D、能表示是的函数，故此选项符合题意；
故选：．
根据函数的定义解答即可．
此题主要考查了函数概念，关键是掌握在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，是自变量．
 

6.【答案】 

【解析】解：一次函数，
随的增大而增大，
、是一次函数图象上的两个点，，
．
故选：．
根据题目中的函数解析式，可以得到函数图象的变化趋势，从而可以解答本题．
本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答．
 

7.【答案】 

【解析】解：、若四边形是平行四边形，则四边形不一定是矩形，说法错误，不符合题意；
B、若四边形是矩形，则四边形不一定是菱形，说法错误，不符合题意；
C、若四边形是菱形，则四边形不一定是正方形，说法错误，不符合题意；
D、若四边形是正方形，则四边形一定是平行四边形，说法正确，符合题意；
故选：．
根据正方形、菱形、矩形和平行四边形的性质判断即可．
此题考查正方形的性质，关键是根据正方形是平行四边形解答．
 

8.【答案】 

【解析】解：在图中，作，垂足为，
在图中，取，，

当点从点到点时，对应图中线段，得，
当点从到时，对应图中曲线从点到点，得，解得，
当点到点时，对应图中到达点，得，
在中，，，，
解得，
在中，，，
，
解得，
▱的面积，
故选：．
图和图中的点对应：点对点，点对点，点对点，根据点运动的路程为，线段的长为，依次解出，即点的横坐标，，即点的纵坐标，解出，▱的面积，可得结论．
本题考查动点的移动距离与函数图象的关系，难点在于确定关键点对应关系：点对点，点对点，点对点，关键是当点到点时，图的点的纵坐标表示的意义：点的纵坐标．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
先根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于．
【解答】
解：式子在实数范围内有意义，
，
解得．
故答案为：．  

10.【答案】 

【解析】解：．
本题是平方差公式的应用，是相同的项，互为相反项是与．
运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
 

11.【答案】答案不唯一 

【解析】解：正比例函数的一般形式为，并且随的增大而减小，
答案不唯一：、等．
由于正比例函数的一般形式为，并且随的增大而减小，所以是一个负数，由此可以确定函数的表达式．
此题是一个开放性试题，答案不唯一，主要利用正比例函数的性质即可解决问题．
 

12.【答案】 

【解析】解：点，分别为，的中点，
是的中位线，
，
，
，
故答案为：．
根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意得：平移后的解析式为：，即．
故答案为：．
根据直线平移值不变，只有发生改变解答即可．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：由表格中数据可知，当时，；当时，，
设，将，代入，
可得：，
解得：，
，
经检验表格中其它数据均符合，
与的函数关系式为，
若这种上涨规律还会持续，则，
当时，，
故答案为：．
由表格中数据求得与的函数关系式，然后代入，求解．
本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接，
四边形是菱形，
，，
于点，于点，
，
四边形是矩形，
，
当取最小值时，的值最小，
当时，最小，
，
，，
，
的最小值为，
故答案为：．
连接，根据菱形的性质得到，，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形，求得，当时，最小，根据的直角三角形的结论得到结果．
本题考查了矩形的判定和性质，垂线段最短，菱形的性质，熟练掌握垂线段最短是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：把代入得；把代入得，解得，
所以直线与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为，
所以，
解得．
故答案为．
先根据坐标轴上点的坐标特征确定直线与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为，再根据三角形面积公式得到，然后解方程即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：直线上任意一点的坐标都满足函数关系式．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】先化简，然后合并同类二次根式即可．
本题考查了二次根式的加减法，注意正数的绝对值等于它本身．
 

18.【答案】解：如图，射线即为所求．


菱形；
菱形的对角线平分一组对角． 

【解析】解：见答案．
连接，．
由作法可知．
四边形是菱形，
平分菱形的对角线平分一组对角．
故答案为：菱形，菱形的对角线平分一组对角．
根据要求作出图形即可．
利用菱形的性质解决问题即可．
本题考查作图复杂作图，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用菱形的性质解决问题．
 

19.【答案】解：在平行四边形中，，，，
，，
．
四边形是平行四边形，
，． 

【解析】直接利用勾股定理得出的长，再由平行四边形的性质即可得出答案．
此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理，正确得出的长是解题关键．
 

20.【答案】证明：方法，连接、，如图所示：

四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
．
方法，四边形是平行四边形，
，，
，，
，
在和中，，
≌，
． 

【解析】本题考查了平行四边形的判定与性质；通过作辅助线证明四边形是平行四边形是解决问题的关键．
方法、连接、，由已知证出四边形是平行四边形，即可得出结论．
方法、先判断出，进而判断出≌即可．
 

21.【答案】解：设一次函数为，
将，代入得，
解得，
．
如图，

． 

【解析】通过待定系数法求解析式．
通过直线与轴，轴交点坐标作图．
由求解．
本题考查一次函数的图象，解题关键是掌握一次函数图象与系数的关系，掌握待定系数法求解析式．
 

22.【答案】证明：连接、，如图所示：
四边形是平行四边形，
，且，
，
，
，
四边形是平行四边形． 

【解析】根据平行四边形性质得出，且，推出，，根据平行四边形的判定推出即可．
本题考查了平行四边形的性质和判定的应用，注意：平行四边形的对边平行且相等，有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
 

23.【答案】 

【解析】解：由折叠可得，，
由可得，，
，
，
是等腰三角形，
故答案为：；
设，则，，
，
中，，
即，
解得，
．
依据折叠的性质以及平行线的性质，即可得到，进而得出是等腰三角形；
设，则，，依据勾股定理即可得到的值．
本题主要考查了折叠问题，解题时，常常设要求的线段长为，然后根据折叠和轴对称的性质用含的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
 

24.【答案】证明：，
，
在与中，
，
≌，
，
，
，
同理，，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
四边形是矩形；
过作于，
，
在与中，
，
≌，
，
，
．
． 

【解析】根据垂直的定义得到，根据全等三角形的性质得到，推出四边形是平行四边形，根据勾股定理的逆定理即可得到结论；
过作于，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的面积公式得到于是得到结论．
本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，勾股定理的逆定理，证得≌是解题的关键．
 

25.【答案】为任意实数     

【解析】解：在函数中，自变量的取值范围是为任意实数，
故答案为：为任意实数；
当时，，
故答案为：；
函数图象如图所示：

根据图象可知，当时，随着的增大而增大，
故答案为：．
根据解析式即可确定自变量取值范围；
当代入解析式即可；
根据表格描点，连线即可画出函数图象；
根据图象即可确定．
本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数图象是解题的关键．
 

26.【答案】 

【解析】解：根据题意补图如下：

点是点关于的对称点，
，，
，
，
四边形是正方形，
，
；
，
，
故答案为：；
，证明如下：
如右图，过点作于，过点作交延长线于，
，，
，，，
，，
，
，，
≌，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
．
过点作，并使平分，连接，作射线交直线于点，连接即可；
根据点的对称可得，再根据是等腰三角形即可求出的度数；
根据外角定义可知，即可求出；
，过点作于，过点作交延长线于，根据证≌，得出，再证是等腰直角三角形，即可得出线段的关系．
本题主要考查点的对称，等腰直角三角形，三角形外角，全等三角形的判定和性质等知识点，利用辅助线构造全等三角形和证是等腰直角三角形是解题的关键．