2022-2023学年高一数学上册重难点题型高分突破专题05 函数的单调性-名校重难点题型分类（人教A2019版必修第一册）

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专题05 函数的单调性名校重难点题型分类-高分必刷题（解析版）
题型一：判断函数的单调性：取值-作差-变形-确定符号
1．已知函数，
（1）证明f（x）在[1，+∞）上是增函数；
（2）求f（x）在[1，4]上的最大值及最小值．
【解答】（1）证明：在[1，+∞）上任取x1，x2，且x1＜x2，＝，∵x1＜x2∴x1﹣x2＜0，∵x1∈[1，+∞），x2∈[1，+∞）∴x1x2﹣1＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2），故f（x）在[1，+∞）上是增函数（2分）
（2）解：由（1）知：f（x）在[1，4]上是增函数，∴当x＝1时，有最小值2；
当x＝4时，有最大值.
2．已知函数f（x）＝x﹣．
（1）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并加以证明．
（2）求函数f（x）在[1，4]上的最大值与最小值．
【解答】解：（1）函数f（x）＝x﹣在（0，+∞）上是增函数；证明：设0＜x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）＝（x1﹣）﹣（x2﹣）＝（x1﹣x2）+＝（x1﹣x2）（），
又由0＜x1＜x2，则（x1﹣x2）＜0，且＞0，则有f（x1）﹣f（x2）＜0，
即函数f（x）＝x﹣在（0，+∞）上是增函数；
（2）由（1）的结论：函数f（x）＝x﹣在（0，+∞）上是增函数；
则函数f（x）在[1，4]上的最大值为f（4）＝4﹣1＝3，最小值为f（1）＝1﹣4＝﹣3．
3．已知函数f（x）＝．
（1）判断函数在区间[1，+∞）上的单调性，并用定义证明你的结论．
（2）求该函数在区间[1，4]上的最大值与最小值．
（3）求使不等式f（x）﹣2m2+2m＞0在x∈[1，4]上恒成立时的m的取值范围．
【解答】解：（1）函数f（x）＝＝2﹣，即有函数f（x）在区间[1，+∞）上递增．
理由如下：设1≤m＜n，则f（m）﹣f（n）＝2﹣﹣（2﹣）＝，
由1≤m＜n，可得m﹣n＜0，（m+1）（n+1）＞0，即有f（m）﹣f（n）＜0，即f（m）＜f（n）．
故f（x）在区间[1，+∞）上递增；
（2）该函数在区间[1，4]上递增，
即有f（1）取得最小值，f（4）取得最大值．
（3）不等式f（x）﹣2m2+2m＞0在x∈[1，4]上恒成立，即为2m2﹣2m＜f（（x）的最小值，
由（2）可得f（x）在[1，4]的最小值为，即有2m2﹣2m＜，解得﹣＜m＜．
则m的取值范围是（﹣，）．
4．已知f（x）＝是定义在（﹣2，2）上的函数，
（1）判定单调性，并证明．
（2）f（m﹣1）﹣f（1﹣2m）＞0，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）f（x）在（﹣2，2）上是单调递减的．…（1分）
证明：令﹣2＜x1＜x2＜2，则…（2分）
＝＝…（4分）
∵﹣2＜x1＜x2＜2，∴…（5分）
∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（﹣2，2）上是单调递减的．…（6分）
（2） ∵f（x）在（﹣2，2）上是减函数，且f（m﹣1）﹣f（1﹣2m）＞0，即f（m﹣1）＞f（1﹣2m）
∴…（11分）
解得…（12分）
∴m的取值范围是（﹣）…（13分）

题型二：求函数的单调区间
5．函数的单调递增区间是（　　）
A． B．
C．[4，+∞） D．
【解答】解：令x2﹣5x+4≥0，解得：x≥4或x≤1，而函数y＝x2﹣5x+4的对称轴是：x＝，
由复合函数同增异减的原则，故函数的单调递增区间是[4，+∞），
故选：C．
6．函数f（x）＝的单调递增区间是　 　．
【解答】解：设t＝2x﹣x2，则y＝为增函数，由2x﹣x2≥0，得0≤x≤2，即函数的定义域为[0，2]，
函数t＝2x﹣x2的对称轴为x＝1，要求f（x）的单调递增区间，即求函数t＝2x﹣x2的单调递增区间，
∵t＝2x﹣x2的单调递增区间为[0，1]，∴函数f（x）的单调递增区间为[0，1]，
故答案为：[0，1]
7．函数f（x）＝|x2﹣6x+8|的单调递增区间为（　　）
A．[3，+∞） B．（﹣∞，2），（4，+∞）
C．（2，3），（4，+∞） D．（﹣∞，2]，[3，4]
【解答】解：函数f（x）＝|x2﹣6x+8|，当x2﹣6x+8＞0即x＞4或x＜2，可得f（x）＝x2﹣6x+8＝（x﹣3）2﹣1，即有f（x）在（4，+∞）递增；当x2﹣6x+8＜0即2＜x＜4，可得f（x）＝﹣x2+6x﹣8＝﹣（x﹣3）2+1，即有f（x）在（2，3）递增；则f（x）的增区间为（4，+∞），（2，3）．
故选：C．

8．函数f（x）＝|x﹣2|x的单调减区间是（　　）
A．[1，2] B．[﹣1，0] C．[0，2] D．[2，+∞）
【解答】解：函数f（x）＝|x﹣2|x＝的图象如下图所示：

由图可得：函数的单调减区间是[1，2]，
故选：A．
9．已知函数f（x）＝．
（1）求函数的单调区间；
（2）当m∈（﹣2，2）时，有f（﹣2m+3）＞f（m2），求m的范围．
【解答】解：（1）∵f（x）＝；∴函数f（x）在（﹣∞，﹣2），（﹣2，+∞）上单调递减，即该函数的单调递减区间是：（﹣∞，﹣2），（﹣2，+∞）；
（2）m∈（﹣2，2）时，﹣2m+3∈（﹣1，7），m2∈[0，4）；即﹣2m+3和m2都在f（x）的递减区间（﹣2，+∞）上；∴由f（﹣2m+3）＞f（m2）得：﹣2m+3＜m2，解得m＜﹣3，或m＞1，又m∈（﹣2，2），
∴1＜m＜2；
∴m的范围是（1，2）．
10．已知函数f（x）＝，且f（1）＝3．
（1）求函数f（x）在（﹣∞，0）上的单调区间，并给出证明；
（2）设关于x的方程f（x）＝x+b的两根为x1，x2，试问是否存在实数m，使得不等式
m2+tm+1≥|x1﹣x2|对任意的及t∈[﹣1，1]恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）∵f（1）＝3，∴a＝1，∴则．
证明：任取x1，x2∈（﹣∞，0），且x1＜x2＜0
则
1°当时，，∴，又x2﹣x1＞0
∴f（x2）﹣f（x1）＞0，∴f（x2）＞f（x1），∴f（x）在上单调递增
2°当时，，∴，又x2﹣x1＞0
∴f（x2）﹣f（x1）＜0，∴f（x2）＜f（x1），∴f（x）在上单调递减，
∴f（x）在（﹣∞，0）上的单调递增区间为，单调递减区间为
（2）∵f（x）＝x+b，∴x2﹣bx+1＝0，
那么：，又，∴0≤|x1﹣x2|≤3．
故只须当t∈[﹣1，1]，使m2+mt+1≥3恒成立，记g（t）＝mt+m2﹣2，
只须：，∴，∴，
∴m≤﹣2或m≥2，
故存在实数m符合题意，其取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．
题型三：具体函数单调性的应用
11.（师大）若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【解答】解：根据题意，对称轴，解得，故选：D．
12．若函数y＝x2+2mx+1在[2，+∞）上单调递增，则实数m的取值范围是（　　）
A．[﹣2，+∞） B．[2，+∞） C．（﹣∞，2） D．（﹣∞，2]
【解答】解：根据题意，函数y＝x2+2mx+1为开口向上的抛物线，对称轴为x＝﹣m，
函数y＝x2+2mx+1在[2，+∞）上单调递增，
则﹣m≤2，解得m≥﹣2，即m的取值范围为[﹣2，+∞）；
故选：A．

13．如果函数f（x）＝ax2﹣2x﹣3在区间（﹣∞，2）上是减函数，则实数a的取值范围是（　　）
A．[0，] B．（0，] C．（﹣∞，] D．（﹣∞，）
【解答】解：当a＝0时，f（x）＝﹣2x﹣3在（﹣∞，2）上单调递减，满足题意；
当a≠0时，根据二次函数的性质可得，若使得函数f（x）在（﹣∞，2）单调递减，
则，∴0＜a≤，综上可得0≤a≤，即a∈[0，]．
故选：A．
14.已知f（x）＝x2﹣（m+2）x+2在[1，3]上是单调函数，则实数m的取值范围为　 　．
【解答】解：根据题意，f（x）＝x2﹣（m+2）x+2为二次函数，其对称轴为x＝，
若f（x）在[1，3]上是单调函数，则有≤1或≥3，解可得m≤0或m≥4，
即m的取值范围为m≤0或m≥4；
故答案为：m≤0或m≥4．
15．若f（x）＝﹣x2+2ax与g（x）＝在区间[2，4]上都是减函数，则a的取值范围是　　．
【解答】解：∵f（x）＝﹣x2+2ax与g（x）＝＝2+在区间[2，4]上都是减函数，
∴，解得，1＜a≤2．
故答案为：（1，2]．
16．已知函数f（x）＝的定义域是（﹣1，1）．
（1）当b＝2时，求f（x）的值域；
（2）当b＝0时，解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．
【解答】解：函数f（x）＝的定义域是（﹣1，1）．
（1）当b＝2时，可得f（x）＝，设y＝＝＝，
∵定义域是（﹣1，1）．∴1＜x+2＜3，根据对勾函数的性质可得：≤y＜0．则函数f（x），
所以f（x）的值域为；
（2）当b＝0时，可得f（x）＝，
那么f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），可知f（x）是奇函数；当x＝0时，f（0）＝0，
当x≠0时，f（x）＝＝，由函数y＝x和y＝在区间（﹣1，0）和（0，1）上分别递增，再因为f（0）＝0，可得f（x）是连续函数．那么f（x）＝是递减函数，
则不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．即f（t﹣1）＜﹣f（t）．∴f（t﹣1）＜f（﹣t）
故得，解得．
故不等式解集为（，1）．
17．已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）＝f（2）＝3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，求a的取值范围
（3）若x∈[t，t+2]，试求y＝f（x）的最小值．
【解答】解（1）由已知，f（0）＝f（2）＝3，可得对称轴为x＝1，则函数的定点坐标为（1，1），
设f（x）＝a（x﹣1）2+1，a＞0，由f（0）＝3，得a＝2，故f（x）＝2x2﹣4x+3．
（2）因为函数的对称轴为1，f（x）在区间[2a，a+1]上不单调,对称轴在区间[2a，a+1]内，即2a＜1＜a+1，
解得0＜a＜．
（3）当t≥1时，函数f（x）在[t，t+2]上单调递增，f（x）min＝f（t）＝2t2﹣4t+3．
当t＜1＜t+2时，即﹣1＜t＜1时，f（x）min＝1，
当t+2≤1时，即t≤﹣1时，函数f（x）在[t，t+2]上单调递减，f（x）min＝f（t+2）＝2t2+4t+3，
综上所述y＝f（x）min＝g（t）＝
声明：题型四：抽象函数单调性的应用
18．已知y＝f（x）是定义在（﹣2，2）上的增函数，若f（m﹣1）＜f（1﹣2m），则m的取值范围是　 　．
【解答】解：依题意，原不等式等价于⇒⇒﹣．
故答案为：
19．已知定义域为R的函数f（x）满足f（3﹣x）＝f（x+1），当x≥2时f（x）单调递减且f（a）≥f（0），则实数a的取值范围是（　　）
A．[2，+∞） B．[0，4]
C．（﹣∞，0） D．（﹣∞，0）∪[4，+∞）
【解答】解：定义域为R的函数f（x）满足f（3﹣x）＝f（x+1），可得f（x）的图象关于直线x＝2对称，当x≥2时f（x）单调递减，可得x≤2时f（x）单调递增，即有f（2）为最大值，则f（a）≥f（0），
又f（0）＝f（4），可得0≤a≤2或2≤a≤4，
即为0≤a≤4．
故选：B．
20.(麓山)定义在上的函数，满足且当时，.
(1)求证：；
(2)求证：在上是增函数；
(3)若，解不等式.
【解答】解：（1）证明：，即。
（2）证明：在（0，+∞）上任取x1，x2，且x1＜x2，，且当时，，，，即在上是增函数；
（3） ，所以，即
所以，所以，解得.

③分段函数单调性的应用
21．已知函数f（x）＝在（﹣∞，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣2] B．[﹣2，0） C．[﹣3，0） D．[﹣3，﹣2]
【解答】解：由题意：函数f（x）＝在（﹣∞，+∞）上是增函数，
∴二次函数﹣x2﹣ax﹣5，开口向下，∴是增函数，故得对称轴x＝﹣≥1，解得：a≤﹣2．
反比例函数在（1，+∞）必然是增函数，则：a＜0；又∵函数f（x）是增函数，
则有：，解得：a≥﹣3．
所以：a的取值范围[﹣3，﹣2]．
故选：D．

22．已知f（x）＝在（﹣∞，+∞）上单调递减，则实数a的取值范围为（　　）
A．（0，3） B．[，3） C．[，3） D．[，]
【解答】解：x＜1时，f（x）＝（a﹣3）x+a+2在（﹣∞，1）递减，则a﹣3＜0，解得：a＜3①，
x≥1时，f（x）＝﹣ax2+x在[1，+∞）递减，则，解得：a≥②，
当x＝1时，2a﹣1≥﹣a+1，解得：a≥③，
综合①②③，a的取值范围是[，3），
故选：C．
23．已知函数f（x）＝在R上是单调的函数，则a的取值范围是（　　）
A．[，3） B．（，3] C．（﹣∞，3） D．[，+∞）
【解答】解：函数f（x）＝在R上是单调的函数，
∴函数f（x）是R上的增函数，∴3﹣a＞0，解得：a＜3，∵x＝1时，（3﹣a）﹣4a≤1，解得：a≥，
综上a的取值范围是：[，3）．
故选：A．
24.（师大）设函数，①若，使得成立，则实数的取值范围是________；②若函数为上的单调函数，则实数的取值范围是________.
【解答】解：①实数的取值范围是（1，+∞），②实数的取值范围是（-∞，0）或｛1｝．
25.（雅礼）下列判断正确的是( )（多选）
A.函数在定义域内是减函数
B.若函数为奇函数，则一定有
C.已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是
D.已知在上是增函数，则的取值范围是
【解答】解：A.函数在每一个象限内是减函数，不在同一个象限时不是，故A错；
B. 函数在时不一定有意义，故B错；
C. ，数，解得m范围为；
D.因为对称轴，，，解得，综上的取值范围是
故选：CD．