2021-2022学年河南省郑州市二七区京广实验中学七年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

2021-2022学年河南省郑州市二七区京广实验中学七年级（下）第一次月考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 新冠病毒给世界各国带来了极大的灾难，中国在世界抗击新冠病毒中发挥了重要作用．新冠病毒的整体尺寸一般在，请将大的新冠病毒这个数用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 若一个角的补角为，则这个角为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，已知，与、相交，若，则的度数等于(    )

A.
B.
C.
D.

5. 下列尺规作图的语句正确的是(    )

A. 延长射线到 B. 以点为圆心，任意长为半径画弧
C. 作直线 D. 延长线段至，使

6. 小颖现已存款元．为赞助“希望工程”，她计划今后每月存款元，则存款总金额元与时间月之间的函数关系式是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 下列语句中：
   有公共顶点且相等的角是对顶角；
   直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；
   两点之间直线最短；
   同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
   其中正确的个数有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

8. 已知是完全平方式，那么的值是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 两个角和的两边互相平行，且角比角的倍少，则这个角是(    )

A.  B.  C. 或 D. 无法确定

10. 已知实数、、满足，则的最大值是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

11. 人去河边打水总是垂直于河边方向走的数学原理是______．
12. 河北给武汉运送抗疫物资，某汽车油箱内剩余油量升与汽车行驶路程千米有如下关系：

则该汽车每行驶千米的耗油量为______升．

13. 已知：如图，，要得到，则需要的条件______填一个你认为正确的条件即可

14. 如图，两个正方形的边长分别为，，如果，，则图中阴影部分的面积是______．

15. 已知，，则的值为______．

三、计算题（本大题共1小题，共9分）

16. 计算：
    ；
    ；
    ．

四、解答题（本大题共6小题，共46分）

17. 如图，某公园计划在长米，宽米的长方形草坪上修建横、纵各两条宽为米的走道供行人散步，其余部分仍然为草地．
    求走道的面积；
    若，，求草地的面积．

18. 阅读下题并填空：
    已知：，、、之和为多少？为什么？
    解：
    理由：作，并延长到
    已作
    ______
    ____________
    而
    ____________等量代换

19. 从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形如图，然后将剩余部分拼成一个长方形如图．
    上述操作能验证的等式是______；请选择正确的一个
    A.
    B.
    C.
    D.
    应用你从选出的等式，完成下列各题：
    已知，，求的值．
    计算：．
     

20. 如图，点在上，已知，平分，平分请说明的理由．

21. 填空：
    ______；
    ______；
    ______．
    猜想：______其中为正整数，且．
    利用猜想的结论计算：
    ；
    ．
22. ，直线交于点，交于点，点在上，点在直线右侧、且在直线和之间，连接、．
    如图，求证：；
    如图，连接，若平分，，，求的度数；
    如图，若平分，的平分线所在的直线与相交于点，则与之间的数量关系，并说明理由．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：将大的新冠病毒这个数用科学记数法表示为．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

2.【答案】 

【解析】解：、原式，故A符合题意．
B、原式，故B不符合题意．
C、原式，故C不符合题意．
D、原式，故D不合题意．
故选：．
根据整式的加减运算、乘除运算、积的乘方以及完全平方公式即可求出答案．
本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算、乘除运算、积的乘方以及完全平方公式，本题属于基础题型．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
即这个角等于．
故选：．
根据如果两个角的和等于，那么这两个角叫互为补角计算即可．
本题考查的是余角和补角的定义，如果两个角的和是一个直角，那么称这两个角互为余角．如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角．
 

4.【答案】 

【解析】解：如图，，
，
，
．
故选：．

先求出的邻补角的度数，再根据两直线平行，同位角相等即可求出的度数．
本题利用平行线的性质和邻补角的定义，熟练掌握性质和概念是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：
A.根据射线是从向无限延伸，故延长射线到是错误的；
B.根据圆心和半径长即可确定弧线的形状，故以点为圆心，任意长为半径画弧是正确的；
C.根据直线的长度无法测量，故作直线是错误的；
D.延长线段至，则，故使是错误的；
故选B．
根据线段、射线以及直线的概念，利用尺规作图的方法进行判断即可得出正确的结论．
本题主要考查了尺规作图的定义的运用，解题时注意：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图，只使用圆规和直尺，来解决不同的平面几何作图问题．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
，
故选：．
根据题意可以写出存款总金额元与时间月之间的函数关系式，从而可以解答本题．
本题考查函数关系式，解答本题的关键是明确题意，写出其中的函数关系式．
 

7.【答案】 

【解析】解：有公共顶点且相等的角是对顶角，错误，
直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离，错误，
两点之间线段最短，错误，
在平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，
上列语句中，正确的个数有个，
故选：．
根据对顶角、线段的性质、点到直线的距离，垂线的定义逐一判断即可．
本题考查了线段性质、点到直线的距离、垂线的定义，解决本题的关键是熟练掌握以上知识．
 

8.【答案】 

【解析】解：是完全平方式，
．
．
故选：．
根据完全平方式的特征求．
本题考查完全平方式的特征，根据完全平方式的特征建立关于的方程是求解本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：两个角和的两边互相平行，
或．
根据题意可知：．
故或，
解得或．
故选：．
根据两个角和的两边互相平行，可知和相等或互补，再根据角比角的倍少，可得关于和的方程组，求解即可．
本题考查平行线的性质，解题关键是熟知两个角的两边互相平行时这两个角相等或互补．
 

10.【答案】 

【解析】解：实数、、满足，

当时的最大值是．
故选：．
由题意实数、、满足，可以将，用和表示出来，然后根据完全平方式的基本性质进行求解．
此题主要考查完全平方式的性质及代数式的求值，要学会拼凑多项式．
 

11.【答案】点与直线上各点所连的所有线段中，垂线段最短 

【解析】解：人去河边打水总是垂直于河边方向走的数学原理是点与直线上各点所连的所有线段中，垂线段最短．
故答案为：点与直线上各点所连的所有线段中，垂线段最短．
根据垂线段的性质，可得答案．
本题主要考查了垂线段的性质，熟练掌握点与直线上各点所连的所有线段中，垂线段最短这条性质是解答本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据表格中两个变量的变化关系可知，
行驶路程每增加千米，剩余油量就减少升，
所以行驶路程每增加千米，剩余油量就减少升，
故答案为：．
根据表格中两个变量的变化关系得出函数关系式即可．
本题考查函数的表示方法，理解表格中两个变量的变化规律是正确解答的前提．
 

13.【答案】 

【解析】解：可以添加条件，理由如下：
，，
，
．
故答案为：．
可以添加条件，由已知，，则，由同位角相等，两直线平行，得出．
考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．本题属于开放性试题，答案不唯一．
 

14.【答案】 

【解析】解：




；
，，

，
，
，
，都是边长，
．
；

．
故答案为：．
不规则图形的面积，利用割补法．阴影的面积就可以看成大直角三角形的面积减去一个小直角三角形和一个小正方形的面积．
本题考查的是求阴影的面积，解题的关键就是利用割补法．还有完全平方公式，关键是掌握其多种变形方式．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，
，，
，，
，
，



，
故答案为：．
由，，得出，，得出，，进而得出，得出，代入，利用负整数指数幂的意义即可得出答案．
本题考查了幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方法则，负整数指数幂的意义是解决问题的关键．
 

16.【答案】解：原式
；
原式

；
原式
． 

【解析】先化简有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂，然后再计算；
利用完全平方公式，平方差公式计算乘方，乘法，然后去括号，合并同类项进行化简；
利用多项式除以单项式的运算法则进行计算．
本题考查整式的混合运算，掌握多项式除以单项式的运算法则，完全平方公式和平方差公式是解题关键．
 

17.【答案】解：草地的部分可以拼成一个长方形，
长为米，
宽为米，
草地面积为平方米，
走道面积为，
，
平方米，
答：走道的面积为平方米．

由可知草地面积为平方米，
将，代入得：平方米，
答：草地面积为平方米． 

【解析】草地的部分可以拼成一个长方形，求出草地的面积，再用总的面积减去草地的面积即可得；
将，代入中草地的面积可得．
本题考查了多项式乘多项式，关键在于学生认真审题，结合图形列出代数式，注意加单位．
 

18.【答案】内错角相等，两直线平行    两直线平行，同位角相等     

【解析】解：由图示知，与是内错角，与是同位角．
，由平行线的判定知，内错角相等，两直线平行．
，由平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
可得．
，，，
等量代换得．
要求、、之和，只需借助辅助线将它们拼成一个平角．
本题主要考查了学生们作辅助线的能力及化归思想．
 

19.【答案】解：；
，且，
，
得：，
联立，
，得，
解得：；




． 

【解析】解：第一个图形中阴影部分的面积是，
第二个图形的面积是，
则．
故选：；
见答案：

分别计算图和图中阴影部分的面积，根据面积相等即可得出答案；
逆用平方差公式，求出，联立方程组求即可；
逆用平方差公式，中间项全部约分掉，只剩下第一项和最后一项，从而得出答案．
本题考查了平方差公式，掌握是解题的关键．
 

20.【答案】解：因为已知，
邻补角的性质，
所以 同角的补角相等，
因为平分，
所以 角平分线的性质，
因为平分，所以，
得等量代换，
所以 内错角相等，两直线平行． 

【解析】根据邻补角的定义及题意得出，再根据角平分线的定义得到，即可判定．
此题考查了平行线的判定，熟记“内错角相等，两直线平行”是解题的关键．
 

21.【答案】       

【解析】解：；
；
；
故答案为：；；．
由规律可得：原式．
故答案为：．




．
，
．
．
根据多项式乘多项式的乘法法则解决此题．
根据特殊到一般的数学思想解决此题．
根据中得到的一般性规律解决此题．
本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的乘法法则、特殊到一般的数学思想是解决本题的关键．
 

22.【答案】解：如图，延长交于，

，
，
是的外角，
；
如图，连接，

，
，
由知：，
，．
，，
，
，
，
平分，
，
，
，
解得；
平分，
可设，
，
，
四边形中，，
，
是的外角，
，
又平分，
，
即，
整理可得，． 

【解析】延长交于，利用平行线的性质以及三角形外角性质，即可得到；
连接，由已知条件可得，结合的结论可得，由平行线的性质及角平分线的定义可得，再利用三角形的内角和定理可求解的度数；
根据平分，可设，根据四边形内角和可得，依据是的外角，可得，最后依据，即可得到与之间的数量关系．
本题考查的是平行线的性质，三角形外角性质及角平分线的定义的综合运用，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．