2021-2022学年河南省郑州市经开外国语学校七年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

2021-2022学年河南省郑州市经开外国语学校七年级（下）第一次月考数学试卷

一、选择题（本题共10小题，共30分）

1. 下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 将一副直角三角尺按如图所示的不同方式摆放，则图中与一定相等的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 如图所示，为估计池塘两岸、间的距离，一位同学在池塘一侧选取一点，测得，，那么、之间的距离不可能是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图是作的作图痕迹，则此作图的已知条件是(    )

A. 已知两边及夹角 B. 已知三边
C. 已知两角及夹边 D. 已知两边及一边对角

5. 人民日报讯：年月日，中国第颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．支持北斗三号新信号的纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用．已知纳米米，则纳米用科学记数法可表示为(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

6. 如图，小红在进行立定跳远训练时，从点起跳，落脚点为点，从起跳点到落脚点之间的距离是，则小红这次跳远的成绩可能是(    )

A.
B.
C.
D.

7. 下面不能判断是直角三角形的是(    )

A.  B. ：：：：
C.  D.

8. 如图所示的四种沿进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边，互相平行的是(    )
    

A. 如图，展开后测得
B. 如图，展开后测得且
C. 如图，测得
D. 在图中，展开后测得

9. 如图，阴影部分是边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼的方式形成新的图形，给出四种割拼方法，其中能够验证平方差公式的有个．(    )
    

A.  B.  C.  D.

10. 如图，中，，点为中点，延长交于点，为上一点，且于点，下列判断中，线段是边上的中线；线段是中边上的高；与面积相等；；，其中正确的结论有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本题共5小题，共15分）

11. ______．
12. 如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果，那么的度数为______．

13. 已知边长都为整数的和全等，与是对应边，，若的周长为奇数，则的长为______．
14. “两个相邻整数的平均数的平方”与“它们平方数的平均数”相差______．
15. 在长方形中，，，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，与此同时点从点出发，以秒的速度沿向点运动，当点到达点或点到达点时，、运动停止，当 ______ 时，与全等．

三、解答题（本题共7小题，共55分）

16. 以下是小嘉化简代数式的过程
    解：原式
    
    小嘉的解答过程在第______步开始出错，出错的原因是______；
    请你帮助小嘉写出正确的解答过程，并计算当时代数式的值．
17. 如图，以点为顶点，射线为一边，利用尺规作，使得．
    用尺规作出不写作法，保留作图痕迹，要写结论
    与一定平行吗？简要说明理由．

18. 在，，这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．
    问题：如图，在中，，点在边上不与点，点重合，点在边上不与点，点重合，连接，，与相交于点若______ ，求证：．
    注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．

19. 如图：小刚站在河边的点处，在河的对面小刚的正北方向的处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向以相同的步子走了步到达一棵树处，接着再向前走了步到达处，然后向正南方向直行，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置在一条直线时，他共走了步．
    根据题意，画出示意图．
    如果小刚一步大约厘米，估计小刚在点处时他与电线塔的距离，并说明理由．

20. 一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形如图．
    自主探究：如果用两种不同的方法表示图中阴影部分的面积，从而发现一个等量关系是______．
    知识运用：若，，则______．
    知识迁移：设，，化简的结果．
    知识延伸：若，代数式______．

21. 如图，，为两直线之间一点．
    
    如图，若与的平分线相交于点，若，求的度数．
    如图，若与的平分线相交于点，与有何数量关系？并证明你的结论．
    如图，若的平分线与的平分线所在的直线相交于点，请直接写出与之间的数量关系：______．
22. 问题背景：如图，在四边形中，，，，，分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是，延长到点使连结，先证明≌，再证明≌，可得出结论，他的结论应是______；
    探索延伸：如图，若在四边形中，，，，分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
    实际应用：如图，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心处北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里小时的速度，前进小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达，处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，原式计算错误，本选项不符合题意；
B、，原式计算错误，本选项不符合题意；
C、，原式计算正确，本选项符合题意；
D、，原式计算错误，本选项不符合题意．
故选：．
根据合并同类项，积的乘方，同底数幂除法以及单项式乘单项式的法则计算即可．
本题考查了合并同类项，积的乘方，同底数幂除法以及单项式乘单项式的法则，解题的关键是熟记法则并灵活运用．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，与互余，本选项不符合题意；
B、公共角，公共角，，，本选项不符合题意；
C、，，故，本选项符合题意；
D、，，且，
，本选项不符合题意．

故选：．
A、由图形可得两角互余，不合题意；、由图形可表示出两角的关系，即可做出判断；、由图形可得两角都为的邻补角，可得出两角相等；、由三角形内角和即可表示出两角，从而做出判断．
本题考查角的和差知识，解题的关键是利用位置关系求出或者表示出、，从而判断结果．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据三角形的三边关系可得：，
即，
、之间的距离不可能是，
故选：．
根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，可得，再计算即可得的范围．
此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查作图复杂作图，解题的关键是理解题意，属于中考常考题型．观察图形可知已知线段，，，由此即可判断．
【解答】
解：观察图形可知：已知线段，，，
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：纳米米米．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据跳远成绩为距离起跳线最近的点到起跳线的距离，即垂线段的长，
又垂线段最短，，
小红这次跳远的成绩可能是米，
故选：．
过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．跳远成绩为距离起跳线最近的点到起跳线的距离，即垂线段的长，据此作答．
本题考查了垂线段最短的性质，熟悉测量跳远成绩的方法是解题的关键．实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
 

7.【答案】 

【解析】解：、，，
，
，
则是直角三角形，故A不符合题意；
B、：：：：，
令，则，，
，
，
解得：，
，
则是直角三角形，故B不符合题意；
C、，
，，
，
，
解得，
则是不直角三角形，故C符合题意；
D、，
，，
，
，
，
，
则是直角三角形，故D不符合题意；
故选：．
根据每个选项的条件，结合三角形的内角和为，求得相应的角的度数，即可判断．
本题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是熟记三角形的内角和为．
 

8.【答案】 

【解析】解：、当时，，不符合题意；
B、由且可得，
，不符合题意；
C、不能判定，互相平行，符合题意；
D、由可知，不符合题意．
故选：．
根据平行线的判定定理，进行分析，即可解答．
本题主要考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：图中，拼接前阴影部分的面积为，拼接后是一个长为，宽为的长方形，因此面积为，
所以有，因此可以验证平方差公式；
图中，拼接前阴影部分的面积为，拼接后是一个底为，高为的平行四边形，因此面积为，
所以有，因此可以验证平方差公式；
图中，拼接前阴影部分的面积为，拼接后是一个长为，宽为的长方形，因此面积为，
所以有，因此可以验证平方差公式；
图中，拼接前阴影部分的面积为，拼接后是一个底为，高为的平行四边形，因此面积为，
所以有，因此可以验证平方差公式；
故选：．
根据每个图所反映的拼接方法，用不同的方法表示阴影部分的面积后再进行判断即可．
本题考查平方差公式的几何背景，用代数式拼接前后的阴影部分面积是得出结论的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：因为为中点，所以是边上的中线，故正确；
因为于，所以是中边上的高，故正确；
因为为中点，根据等底等高的三角形面积相等，故正确；
因为，，可知，根据等角对等边得，故ABBF正确，
因为，于，根据直角三角形的两锐角互余及三角形外角的性质得到，，所以，故正确．
所以正确的个数是个．
故选：．
根据三角形的高，中线，角平分线的定义，及外角与内角的关系可知．
此题考查了三角形的高、中线、角平分线，熟记三角形的高，中线，角平分线是解决此类问题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
利用同底数幂的除法的法则进行求解即可．
本题主要考查同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，标注字母，

由题意可得：，，
，
，
故答案为：．
先由两锐角互余求度数，再由平行线的性质即可求解．
本题主要考查平行线的性质，两锐角互余的性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质．
 

13.【答案】或 

【解析】解：，，
的范围是，
即的范围是，
则的奇数值是或．
和全等，与是对应边，则，
当时，或．
因为的周长为奇数，当时，不合题意，舍去．
故答案为：或．
根据三角形的三边关系求得的范围，然后根据全等三角形的对应边相等即可求解．
本题考查了三角形的三边关系以及全等三角形的性质，正确对三角形进行讨论是关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据题意，得：


，
故答案为：．
根据题意列出算式，再进一步计算即可．
本题主要考查算术平均数和分式的混合运算，解题的关键是根据算术平均数的定义列出算式，并熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
 

15.【答案】或 

【解析】解：四边形是长方形，
，
有两种情况：当，时，≌，
此时，
点运动的速度是，
运动的时间是秒，
即，
解得：；
当，时，≌，
此时，
点运动的速度是，
运动的时间是秒，
即，
解得：；
故答案为：或．
根据长方形的性质得出，有两种情况：当，时，≌，当，时，≌，求出运动时间，再求出即可．
本题考查了长方形的性质和全等三角形的判定，能求出符合的所有情况是解此题的关键．
 

16.【答案】；去括号时没变号；
正确解答过程：
原式，
，
．
当时，原式． 

【解析】

解：出错原因：去括号时没变号；
故答案为：；去括号时没变号．
见答案
【分析】．
依据完全平方公式、平方差公式、去括号法则、合并同类项法则进行判断即可；
依据去括号法则、合并同类项法则进行化简，然后将代入，最后，再合并同类项即可．
本题主要考查的是整式的混合运算，熟练掌握相关法则是解题的关键．  

17.【答案】解：与不一定平行．
当所作的角在上方时平行．，
．
当所作的角在下方，所作的角对称时与就不平行．
 

【解析】分两种情况：根据同位角相等两直线平行，过点作的平行线即可．当所作的角在下方．
此题主要考查学生对平行线的判定和尺规作图相关知识的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．
 

18.【答案】或
证明：选择条件的证明为：
，
，
在和中，
，
≌，
；
选择条件的证明为：
，
，
在和中，
，
≌，
；
选择条件的证明为：
，
，
，
，
，
即，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】若选择条件，利用得到，则可根据“”可判断≌，从而得到；
选择条件，利用得到，则可根据“”可判断≌，从而得到；
选择条件，利用得到，再证明，则可根据“”可判断≌，从而得到．
本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了等腰三角形的性质．
 

19.【答案】解：所画示意图如下：

在和中，
，
≌，
，
又小刚共走了步，其中走了步，
走完用了步，
小刚一步大约厘米，即米米．
答：小刚在点处时他与电线塔的距离为米． 

【解析】根据题意画出图形即可；
根据可得出≌，由该全等三角形的性质．
本题考查全等三角形的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
 

20.【答案】     

【解析】解：图中的阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，
图的阴影部分也可以看作边长为的大正方形面积减去个长为，宽为的长方形的面积，即为，
所以有：，
故答案为：；
由得，
当，，
则，
故答案为：；
，，
原式





；
设，，
则，
，
，
，
，
即，
故答案为：．
阴影部分是边长为的正方形，根据正方形的面积公式可得面积为，阴影部分也可以看作边长为的大正方形面积减去个长为，宽为的长方形的面积，即为，于是可得等式；
由得，代入计算即可；
化简结果为，再代入计算即可；
设，，则，，由可求出的值，即可得出答案．
本题考查完全平方公式的几何背景，多项式乘以多项式，掌握完全平方公式的结构特征以及公式变形是解决问题的前提．
 

21.【答案】 

【解析】解：如图，过作，，
，
，
，，
，，
与的平分线相交于点，
，，
；
，
；

如图，过作，，
，
，
，，
，，
与的平分线相交于点，
，，
，
；

如图，过作，，
，
，
，，
，，
与的平分线相交于点，
，，
．
．
故答案为：．
如图，根据平行线的性质得到，，，，根据角平分线的定义得到，，即可得到结论；
根据平行线的性质得到，，，，根据角平分线的定义得到，，根据平角的定义即可得到结论；
根据平行线的性质得到，，，，根据平行线的定义得到，，根据四边形的内角和和角的和差即可得到结论．
本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

22.【答案】解：问题背景：

探索延伸：仍然成立．
理由：如图，延长到点，使，连接
，，
，
又，
在和中，
，
≌，
，，
又，
，
，
．
在和中，
，
≌，
，
又，
．

实际应用：如图，连接，延长，相交于点，
在四边形中，
，，
又，，符合探索延伸中的条件，
结论成立．
即，海里
答：此时两舰艇之间的距离为海里． 

【解析】解：问题背景：由题意：≌，≌，
，，
．
故答案为：．

探索延伸：见答案；

实际应用：见答案．