2022届内蒙古乌兰察布市北京八中学分校中考猜题数学试卷含解析
展开2021-2022中考数学模拟试卷
注意事项
1.考生要认真填写考场号和座位序号。
2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。
一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)
1.将抛物线绕着点(0,3)旋转180°以后,所得图象的解析式是( ).
A. B.
C. D.
2.当函数y=(x-1)2-2的函数值y随着x的增大而减小时,x的取值范围是( )
A. B. C. D.x为任意实数
3.从3、1、-2这三个数中任取两个不同的数作为P点的坐标,则P点刚好落在第四象限的概率是( )
A. B. C. D.
4.若代数式有意义,则实数x的取值范围是( )
A.x=0 B.x=2 C.x≠0 D.x≠2
5.在下列各平面图形中,是圆锥的表面展开图的是( )
A. B. C. D.
6.一次函数y=kx+k(k≠0)和反比例函数在同一直角坐标系中的图象大致是( )
A. B. C. D.
7.如图所示的两个四边形相似,则α的度数是( )
A.60° B.75° C.87° D.120°
8.已知一元二次方程ax2+ax﹣4=0有一个根是﹣2,则a值是( )
A.﹣2 B. C.2 D.4
9.如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB为⊙O的直径,点C为弧BD的中点,若∠DAB=50°,则∠ABC的大小是( )
A.55° B.60° C.65° D.70°
10.若二次函数的图象与轴有两个交点,坐标分别是(x1,0),(x2,0),且. 图象上有一点在轴下方,则下列判断正确的是( )
A. B. C. D.
二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)
11.尺规作图:过直线外一点作已知直线的平行线.
已知:如图,直线l与直线l外一点P.
求作:过点P与直线l平行的直线.
作法如下:
(1)在直线l上任取两点A、B,连接AP、BP;
(2)以点B为圆心,AP长为半径作弧,以点P为圆心,AB长为半径作弧,如图所示,两弧相交于点M;
(3)过点P、M作直线;
(4)直线PM即为所求.
请回答:PM平行于l的依据是_____.
12.分解因式:mx2﹣4m=_____.
13.已知一组数据x1,x2,x3,x4,x5的平均数是3,则另一组新数据x1+1,x2+2,x3+3,x4+4,x5+5的平均数是_____.
14.写出经过点(0,0),(﹣2,0)的一个二次函数的解析式_____(写一个即可).
15.已知△ABC∽△DEF,若△ABC与△DEF的相似比为,则△ABC与△DEF对应中线的比为_____.
16.如图,已知点A(4,0),O为坐标原点,P是线段OA上任意一点(不含端点O、A),过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下,它们的顶点分别为B、C,射线OB与AC相交于点D.当OD=AD=3时,这两个二次函数的最大值之和等于______.
17.已知线段c是线段a和b的比例中项,且a、b的长度分别为2cm和8cm,则c的长度为_____cm.
三、解答题(共7小题,满分69分)
18.(10分)某新建小区要修一条1050米长的路,甲、乙两个工程队想承建这项工程.经
了解得到以下信息(如表):
工程队
每天修路的长度(米)
单独完成所需天数(天)
每天所需费用(元)
甲队
30
n
600
乙队
m
n﹣14
1160
(1)甲队单独完成这项工程所需天数n= ,乙队每天修路的长度m= (米);
(2)甲队先修了x米之后,甲、乙两队一起修路,又用了y天完成这项工程(其中x,y为正整数).
①当x=90时,求出乙队修路的天数;
②求y与x之间的函数关系式(不用写出x的取值范围);
③若总费用不超过22800元,求甲队至少先修了多少米.
19.(5分)两个全等的等腰直角三角形按如图方式放置在平面直角坐标系中,OA在x轴上,已知∠COD=∠OAB=90°,OC=,反比例函数y=的图象经过点B.求k的值.把△OCD沿射线OB移动,当点D落在y=图象上时,求点D经过的路径长.
20.(8分)如图,边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O.有直角∠MPN,使直角顶点P与点O重合,直角边PM、PN分别与OA、OB重合,然后逆时针旋转∠MPN,旋转角为θ(0°<θ<90°),PM、PN分别交AB、BC于E、F两点,连接EF交OB于点G.
(1)求四边形OEBF的面积;
(2)求证:OG•BD=EF2;
(3)在旋转过程中,当△BEF与△COF的面积之和最大时,求AE的长.
21.(10分)甲、乙、丙、丁四位同学进行乒乓球单打比赛,要从中选出两位同学打第一场比赛. 若确定甲打第一场,再从其余三位同学中随机选取一位,恰好选中乙同学的概率是 . 若随机抽取两位同学,请用画树状图法或列表法,求恰好选中甲、乙两位同学的概率.
22.(10分)如图,△ABC内接与⊙O,AB是直径,⊙O的切线PC交BA的延长线于点P,OF∥BC交AC于AC点E,交PC于点F,连接AF.
判断AF与⊙O的位置关系并说明理由;若⊙O的半径为4,AF=3,求AC的长.
23.(12分)如图,正方形ABCD中,M为BC上一点,F是AM的中点,EF⊥AM,垂足为F,交AD的延长线于点E,交DC于点N.
求证:△ABM∽△EFA;若AB=12,BM=5,求DE的长.
24.(14分)一天晚上,李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度.如图,当李明走到点A处时,张龙测得李明直立身高AM与其影子长AE正好相等,接着李明沿AC方向继续向前走,走到点B处时,李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB,并测得AB=1.25 m,已知李明直立时的身高为1.75 m,求路灯的高CD的长.(结果精确到0.1 m)
参考答案
一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)
1、D
【解析】
将抛物线绕着点(0,3)旋转180°以后,a的值变为原来的相反数,根据中心对称的性质求出旋转后的顶点坐标即可得到旋转180°以后所得图象的解析式.
【详解】
由题意得,a=-.
设旋转180°以后的顶点为(x′,y′),
则x′=2×0-(-2)=2,y′=2×3-5=1,
∴旋转180°以后的顶点为(2,1),
∴旋转180°以后所得图象的解析式为:.
故选D.
【点睛】
本题考查了二次函数图象的旋转变换,在绕抛物线某点旋转180°以后,二次函数的开口大小没有变化,方向相反;设旋转前的的顶点为(x,y),旋转中心为(a,b),由中心对称的性质可知新顶点坐标为(2a-x,2b-y),从而可求出旋转后的函数解析式.
2、B
【解析】
分析:利用二次函数的增减性求解即可,画出图形,可直接看出答案.
详解:对称轴是:x=1,且开口向上,如图所示,
∴当x<1时,函数值y随着x的增大而减小;
故选B.
点睛:本题主要考查了二次函数的性质,解题的关键是熟记二次函数的性质.
3、B
【解析】
解:画树状图得:
∵共有6种等可能的结果,其中(1,-2),(3,-2)点落在第四项象限,∴P点刚好落在第四象限的概率==.故选B.
点睛:本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,列表法适合于两步完成的事件,树状图法适合两步或两步以上完成的事件,熟记各象限内点的符号特点是解题的关键.
4、D
【解析】
根据分式的分母不等于0即可解题.
【详解】
解:∵代数式有意义,
∴x-2≠0,即x≠2,
故选D.
【点睛】
本题考查了分式有意义的条件,属于简单题,熟悉分式有意义的条件是解题关键.
5、C
【解析】
结合圆锥的平面展开图的特征,侧面展开是一个扇形,底面展开是一个圆.
【详解】
解:圆锥的展开图是由一个扇形和一个圆形组成的图形.
故选C.
【点睛】
考查了几何体的展开图,熟记常见立体图形的展开图的特征,是解决此类问题的关键.注意圆锥的平面展开图是一个扇形和一个圆组成.
6、C
【解析】
A、由反比例函数的图象在一、三象限可知k>0,由一次函数的图象过二、四象限可知k<0,两结论相矛盾,故选项错误; B、由反比例函数的图象在二、四象限可知k<0,由一次函数的图象与y轴交点在y轴的正半轴可知k>0,两结论相矛盾,故选项错误;C、由反比例函数的图象在二、四象限可知k<0,由一次函数的图象过二、三、四象限可知k<0,两结论一致,故选项正确;D、由反比例函数的图象在一、三象限可知k>0,由一次函数的图象与y轴交点在y轴的负半轴可知k<0,两结论相矛盾,故选项错误,
故选C.
7、C
【解析】
【分析】根据相似多边形性质:对应角相等.
【详解】由已知可得:α的度数是:360〫-60〫-75〫-138〫=87〫
故选C
【点睛】本题考核知识点:相似多边形.解题关键点:理解相似多边形性质.
8、C
【解析】
分析:将x=-2代入方程即可求出a的值.
详解:将x=-2代入可得:4a-2a-4=0, 解得:a=2,故选C.
点睛:本题主要考查的是解一元一次方程,属于基础题型.解方程的一般方法的掌握是解题的关键.
9、C
【解析】
连接OC,因为点C为弧BD的中点,所以∠BOC=∠DAB=50°,因为OC=OB,所以∠ABC=∠OCB=65°,故选C.
10、D
【解析】
根据抛物线与x轴有两个不同的交点,根的判别式△>0,再分a>0和a<0两种情况对C、D选项讨论即可得解.
【详解】
A、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴有两个交点无法确定a的正负情况,故本选项错误;
B、∵x1<x2,
∴△=b2-4ac>0,故本选项错误;
C、若a>0,则x1<x0<x2,
若a<0,则x0<x1<x2或x1<x2<x0,故本选项错误;
D、若a>0,则x0-x1>0,x0-x2<0,
所以,(x0-x1)(x0-x2)<0,
∴a(x0-x1)(x0-x2)<0,
若a<0,则(x0-x1)与(x0-x2)同号,
∴a(x0-x1)(x0-x2)<0,
综上所述,a(x0-x1)(x0-x2)<0正确,故本选项正确.
二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)
11、两组对边分别相等的四边形是平行四边形;平行四边形对边平行;两点确定一条直线.
【解析】
利用画法得到PM=AB,BM=PA,则利用平行四边形的判定方法判断四边形ABMP为平行四边形,然后根据2平行四边形的性质得到PM∥AB.
【详解】
解:由作法得PM=AB,BM=PA,
∴四边形ABMP为平行四边形,
∴PM∥AB.
故答案为:两组对边分别相等的四边形是平行四边形;平行四边形对边平行;两点确定一条直线.
【点睛】
本题考查基本作图:熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段;作一个角等于已知角;作已知线段的垂直平分线;作已知角的角平分线;过一点作已知直线的垂线).也考查了平行四边形的判定与性质.
12、m(x+2)(x﹣2)
【解析】
提取公因式法和公式法相结合因式分解即可.
【详解】
原式
故答案为
【点睛】
本题主要考查因式分解,熟练掌握提取公因式法和公式法是解题的关键.分解一定要彻底.
13、1
【解析】
根据平均数的性质知,要求x1+1,x2+2,x3+3,x4+4、x5+5的平均数,只要把数x1、x2、x3、x4、x5的和表示出即可.
【详解】
∵数据x1,x2,x3,x4,x5的平均数是3,
∴x1+x2+x3+x4+x5=15,
则新数据的平均数为=1,
故答案为:1.
【点睛】
本题考查的是样本平均数的求法.解决本题的关键是用一组数据的平均数表示另一组数据的平均数.
14、y=x2+2x(答案不唯一).
【解析】
设此二次函数的解析式为y=ax(x+2),令a=1即可.
【详解】
∵抛物线过点(0,0),(﹣2,0),
∴可设此二次函数的解析式为y=ax(x+2),
把a=1代入,得y=x2+2x.
故答案为y=x2+2x(答案不唯一).
【点睛】
本题考查的是待定系数法求二次函数解析式,此题属开放性题目,答案不唯一.
15、3:4
【解析】
由于相似三角形的相似比等于对应中线的比,
∴△ABC与△DEF对应中线的比为3:4
故答案为3:4.
16、
【解析】
此题考查了二次函数的最值,勾股定理,等腰三角形的性质和判定的应用,题目比较好,但是有一定的难度,属于综合性试题.
【详解】
过B作BF⊥OA于F,过D作DE⊥OA于E,过C作CM⊥OA于M,则BF+CM是这两个二次函数的最大值之和,BF∥DE∥CM,求出AE=OE=2,DE= ,设P(2x,0),根据二次函数的对称性得出OF=PF=x,推出△OBF∽△ODE,△ACM∽△ADE,得出= ,代入求出BF和CM,相加即可求出答案.
过B作BF⊥OA于F,过D作DE⊥OA于E,过C作CM⊥OA于M,
∵BF⊥OA,DE⊥OA,CM⊥OA,
∴BF∥DE∥CM.
∵OD=AD=3,DE⊥OA,
∴OE=EA= OA=2,
由勾股定理得:DE= =5,设P(2x,0),根据二次函数的对称性得出OF=PF=x,
∵BF∥DE∥CM,
∴△OBF∽△ODE,△ACM∽△ADE,
∴,
∵AM=PM= (OA-OP)= (4-2x)=2-x,
即,
解得:
∴BF+CM= .
故答案为.
【点睛】
考核知识点:二次函数综合题.熟记性质,数形结合是关键.
17、1
【解析】
根据比例中项的定义,列出比例式即可得出中项,注意线段长度不能为负.
【详解】
根据比例中项的概念结合比例的基本性质,得:比例中项的平方等于两条线段的乘积.
所以c2=2×8,
解得c=±1(线段是正数,负值舍去),
故答案为1.
【点睛】
此题考查了比例线段.理解比例中项的概念,这里注意线段长度不能是负数.
三、解答题(共7小题,满分69分)
18、(1)35,50;(2)①12;②y=﹣x+;③150米.
【解析】
(1)用总长度÷每天修路的长度可得n的值,继而可得乙队单独完成时间,再用总长度÷乙单独完成所需时间可得乙队每天修路的长度m;
(2)①根据:甲队先修建的长度+(甲队每天修建长度+乙队每天修建长度)×两队合作时间=总长度,列式计算可得;
②由①中的相等关系可得y与x之间的函数关系式;
③根据:甲队先修x米的费用+甲、乙两队每天费用×合作时间≤22800,列不等式求解可得.
【详解】
解:(1)甲队单独完成这项工程所需天数n=1050÷30=35(天),
则乙单独完成所需天数为21天,
∴乙队每天修路的长度m=1050÷21=50(米),
故答案为35,50;
(2)①乙队修路的天数为=12(天);
②由题意,得:x+(30+50)y=1050,
∴y与x之间的函数关系式为:y=﹣x+;
③由题意,得:600×+(600+1160)(﹣x+)≤22800,
解得:x≥150,
答:若总费用不超过22800元,甲队至少先修了150米.
【点睛】
本题考查了一次函数的应用,解题的关键是熟练的掌握一次函数的应用.
19、(1)k=2;(2)点D经过的路径长为.
【解析】
(1)根据题意求得点B的坐标,再代入求得k值即可;
(2)设平移后与反比例函数图象的交点为D′,由平移性质可知DD′∥OB,过D′作D′E⊥x轴于点E,交DC于点F,设CD交y轴于点M(如图),根据已知条件可求得点D的坐标为(﹣1,1),设D′横坐标为t,则OE=MF=t,即可得D′(t,t+2),由此可得t(t+2)=2,解方程求得t值,利用勾股定理求得DD′的长,即可得点D经过的路径长.
【详解】
(1)∵△AOB和△COD为全等三的等腰直角三角形,OC=,
∴AB=OA=OC=OD=,
∴点B坐标为(,),
代入得k=2;
(2)设平移后与反比例函数图象的交点为D′,
由平移性质可知DD′∥OB,过D′作D′E⊥x轴于点E,交DC于点F,设CD交y轴于点M,如图,
∵OC=OD=,∠AOB=∠COM=45°,
∴OM=MC=MD=1,
∴D坐标为(﹣1,1),
设D′横坐标为t,则OE=MF=t,
∴D′F=DF=t+1,
∴D′E=D′F+EF=t+2,
∴D′(t,t+2),
∵D′在反比例函数图象上,
∴t(t+2)=2,解得t=或t=﹣﹣1(舍去),
∴D′(﹣1, +1),
∴DD′=,
即点D经过的路径长为.
【点睛】
本题是反比例函数与几何的综合题,求得点D′的坐标是解决第(2)问的关键.
20、(1);(2)详见解析;(3)AE=.
【解析】
(1)由四边形ABCD是正方形,直角∠MPN,易证得△BOE≌△COF(ASA),则可证得S四边形OEBF=S△BOC=S正方形ABCD;
(2)易证得△OEG∽△OBE,然后由相似三角形的对应边成比例,证得OG•OB=OE2,再利用OB与BD的关系,OE与EF的关系,即可证得结论;
(3)首先设AE=x,则BE=CF=1﹣x,BF=x,继而表示出△BEF与△COF的面积之和,然后利用二次函数的最值问题,求得AE的长.
【详解】
(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴OB=OC,∠OBE=∠OCF=45°,∠BOC=90°,
∴∠BOF+∠COF=90°,
∵∠EOF=90°,
∴∠BOF+∠COE=90°,
∴∠BOE=∠COF,
在△BOE和△COF中,
∴△BOE≌△COF(ASA),
∴S四边形OEBF=S△BOE+S△BOE=S△BOE+S△COF=S△BOC=S正方形ABCD
(2)证明:∵∠EOG=∠BOE,∠OEG=∠OBE=45°,
∴△OEG∽△OBE,
∴OE:OB=OG:OE,
∴OG•OB=OE2,
∵
∴OG•BD=EF2;
(3)如图,过点O作OH⊥BC,
∵BC=1,
∴
设AE=x,则BE=CF=1﹣x,BF=x,
∴S△BEF+S△COF=BE•BF+CF•OH
∵
∴当时,S△BEF+S△COF最大;
即在旋转过程中,当△BEF与△COF的面积之和最大时,
【点睛】
本题属于四边形的综合题,主要考查了正方形的性质,旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及二次函数的最值问题.注意掌握转化思想的应用是解此题的关键.
21、 (1);(2)
【解析】
1)由题意可得共有乙、丙、丁三位同学,恰好选中乙同学的只有一种情况,则可利用概率公式求解即可求得答案;
(2)首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中甲、乙两位同学的情况,再利用概率公式求解即可求得答案.
【详解】
解:(1)∵甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛,确定甲打第一场,再从其余的三位同学中随机选取一位,∴恰好选到丙的概率是: ;
(2)画树状图得:
∵共有12种等可能的结果,恰好选中甲、乙两人的有2种情况,
∴恰好选中甲、乙两人的概率为:
【点睛】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率.注意树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,列表法适合于两步完成的事件;树状图法适合两步或两步以上完成的事件;注意概率=所求情况数与总情况数之比.
22、解:(1)AF与圆O的相切.理由为:
如图,连接OC,
∵PC为圆O切线,∴CP⊥OC.
∴∠OCP=90°.
∵OF∥BC,
∴∠AOF=∠B,∠COF=∠OCB.
∵OC=OB,∴∠OCB=∠B.∴∠AOF=∠COF.
∵在△AOF和△COF中,OA=OC,∠AOF=∠COF,OF=OF,
∴△AOF≌△COF(SAS).∴∠OAF=∠OCF=90°.
∴AF为圆O的切线,即AF与⊙O的位置关系是相切.
(2)∵△AOF≌△COF,∴∠AOF=∠COF.
∵OA=OC,∴E为AC中点,即AE=CE=AC,OE⊥AC.
∵OA⊥AF,∴在Rt△AOF中,OA=4,AF=3,根据勾股定理得:OF=1.
∵S△AOF=•OA•AF=•OF•AE,∴AE=.
∴AC=2AE=.
【解析】
试题分析:(1)连接OC,先证出∠3=∠2,由SAS证明△OAF≌△OCF,得对应角相等∠OAF=∠OCF,再根据切线的性质得出∠OCF=90°,证出∠OAF=90°,即可得出结论;
(2)先由勾股定理求出OF,再由三角形的面积求出AE,根据垂径定理得出AC=2AE.
试题解析:(1)连接OC,如图所示:
∵AB是⊙O直径,
∴∠BCA=90°,
∵OF∥BC,
∴∠AEO=90°,∠1=∠2,∠B=∠3,
∴OF⊥AC,
∵OC=OA,
∴∠B=∠1,
∴∠3=∠2,
在△OAF和△OCF中,
,
∴△OAF≌△OCF(SAS),
∴∠OAF=∠OCF,
∵PC是⊙O的切线,
∴∠OCF=90°,
∴∠OAF=90°,
∴FA⊥OA,
∴AF是⊙O的切线;
(2)∵⊙O的半径为4,AF=3,∠OAF=90°,
∴OF==1
∵FA⊥OA,OF⊥AC,
∴AC=2AE,△OAF的面积=AF•OA=OF•AE,
∴3×4=1×AE,
解得:AE=,
∴AC=2AE=.
考点:1.切线的判定与性质;2.勾股定理;3.相似三角形的判定与性质.
23、(1)见解析;(2)4.1
【解析】
试题分析:(1)由正方形的性质得出AB=AD,∠B=10°,AD∥BC,得出∠AMB=∠EAF,再由∠B=∠AFE,即可得出结论;
(2)由勾股定理求出AM,得出AF,由△ABM∽△EFA得出比例式,求出AE,即可得出DE的长.
试题解析:(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠B=10°,AD∥BC,
∴∠AMB=∠EAF,
又∵EF⊥AM,
∴∠AFE=10°,
∴∠B=∠AFE,
∴△ABM∽△EFA;
(2)∵∠B=10°,AB=12,BM=5,
∴AM==13,AD=12,
∵F是AM的中点,
∴AF=AM=6.5,
∵△ABM∽△EFA,
∴,
即,
∴AE=16.1,
∴DE=AE-AD=4.1.
考点:1.相似三角形的判定与性质;2.正方形的性质.
24、路灯的高CD的长约为6.1 m.
【解析】
设路灯的高CD为xm,
∵CD⊥EC,BN⊥EC,
∴CD∥BN,
∴△ABN∽△ACD,∴,
同理,△EAM∽△ECD,
又∵EA=MA,∵EC=DC=xm,
∴,解得x=6.125≈6.1.
∴路灯的高CD约为6.1m.
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