2021-2022学年广东省东莞市东华中学斯特班八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年广东省东莞市东华中学斯特班八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 如图是一个空心圆柱体，它的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

2. 抛物线的顶点坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图，点，，是上的三点，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

4. 将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到抛物线的解析式是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 如图，点，，，，在上，，，则(    )

A.
B.
C.
D.

6. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是(    )

A.  B.
C. 且 D. 且

7. 已知的半径为，直线上有一点与的圆心的距离为，则直线与的位置关系为(    )

A. 相离 B. 相切
C. 相交 D. 相切、相交均有可能

8. 如图，某下水道的横截面是圆形的，水面的宽度为，是线段的中点，经过圆心交于点，，则半径的长是(    )

A.
B.
C.
D.

9. 如图，一次函数与二次函数交于和两点，则当的取值范围是(    )

A.
B.
C.
D. 或

10. 如图，是二次函数图象的一部分，对称轴为直线，且经过点，有下列说法：
    ；
    ；
    ；
    若，是抛物线上的两点，则，
    其中说法正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共7小题，共28分）

11. 已知函数是二次函数，则______．
12. 的半径为，点到圆心的距离为，点与的位置关系是______．
13. 如图，四边形内接于，已知，则______

14. 如图，正五边形内接于，连接，则的度数是______．

15. 如图，圆的半径为，内接于圆若，，则 ______ ．

16. 已知一个扇形的半径为，圆心角为，用它围成一个圆锥的侧面，那么圆锥的底面半径为______．
17. 如图，圆是四边形的内切圆，连接、、、，记、、、的面积分别为、、、，则、、、的数量关系为______．

三、解答题（本大题共8小题，共62分）

18. 已知二次函数，
    将二次函数的解析式化为的形式．
    写出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标．
19. 如图，已知四边形内接于圆，连结，，．

求证：；

若圆的半径为，求的长．

20. 年初，受新型冠状病毒的影响，口罩成为最紧缺的物资之一．花都区某服装厂快速转型生产某种型号的矩形防护口罩．如图，已知该口罩长为，宽为口罩上压边宽度是下压边宽度的倍，左右压边与下压边同宽．
    设口罩下压边宽度为，则口罩的上压边宽度为______．
    要使口罩内部有效面积达到，则口罩下压边宽度为多少？

21. 如图，点在以为直径的半圆上，以为圆心，以的长为半径画圆弧交于点．
    求的度数；
    若，求阴影部分的面积．

22. 如图，为菱形对角线上一点，以点为圆心，长为半径的与相切于点．
    求证：与相切；
    若菱形的边长为，，求的半径．

23. 某商品的进价为每件元，售价为每件元，每月可卖出件．如果该商品的售价每上涨元，就会少卖出件，但每件售价不能高于元，设每件商品的售价上涨元为整数时，月销售利润为元．
    求与之间的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围．
    当每件商品的售价定为多少元时，可获得的月利润最大？最大月利润是多少？
24. 如图，、、分别与相切于、、，且，，．
    判断的形状，并证明你的结论；
    求的长；
    求的半径的长．

25. 如图，抛物线的顶点为，与轴交于点，点为轴上的一个定点．点是抛物线上一动点．
    求这条抛物线的函数解析式：
    已知直线是过点且垂直于轴的定直线，若点到直线的距离为，求证：；
    已知坐标平面内一点，求周长的最小值，并求出此时点坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：从前面观察物体可以发现：它的主视图应为矩形，
又因为该几何体为空心圆柱体，故中间的两条棱在主视图中应为虚线，
故选：．
找到从前面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图；注意看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线．
 

2.【答案】 

【解析】解：是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为．
故选：．
已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标，从而得出对称轴．
此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式，顶点坐标是，对称轴是．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】

直接利用圆周角定理求解．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．

【解答】

解：．
故选：．  

4.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】
解：将抛物线向左平移个单位长度所得抛物线解析式为：，即；
再向下平移个单位为：，即．
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：连接、，

，，
，
．
故选：．
连接、，可得，由圆周角定理即可得．
本题主要考查圆心角、弧、弦三者的关系以及圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据题意得且，
解得且．
故选：．
利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后其出两个不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

7.【答案】 

【解析】解：若直线，则直线与相切；
若不垂直于直线，则到直线的距离小于半径，
直线与相交；
直线与的位置关系为：相交或相切．
故选：．
分直线，不垂直于直线，求解即可求得答案．
此题考查了直线与圆的位置关系．注意掌握设的半径为，圆心到直线的距离为直线和相交直线和相切直线和相离．
 

8.【答案】 

【解析】解：是弦，，点是的中点，过圆心，
，，
连接，设，则，
在中，由勾股定理得，
，
即，
解得，
故选：．
根据垂径定理和勾股定理，设未知数列方程求解即可．
本题考查垂径定理、勾股定理，掌握勾股定理、勾股定理是正确解答的前提．
 

9.【答案】 

【解析】解：一次函数与二次函数交于和两点，
从图象上看出，
当时，的图象在的图象的下方，即，
当时，的图象在的图象的下方，即．
当或时，．
故选D．
解答本题，关键是找出两函数图象交点的横坐标，比较两函数图象的上下位置，时，的图象在的下面，再判断自变量的取值范围．
本题考查了利用图象求解的能力．
 

10.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向下，与轴交于正半轴，
，，
抛物线的对称轴是直线，
，
，
，
错误．
抛物线过点，
，
，
，
．
正确．
，，，
．
正确．
，是抛物线上的两点，
，，
抛物线开口向下，
．
错误．
故选：．
根据二次函数的图象和性质依次判断即可．
本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：依题意得：且，
解得．
故答案是：．
根据形如是常数，且是二次函数，可得答案．
本题考查了二次函数的定义．注意：二次函数中，是常数，且．
 

12.【答案】点在圆外 

【解析】解：的半径，点到圆心的距离，
，
点与的位置关系是点在圆外，
故答案为：点在圆外．
判断点到圆心的距离与半径的大小关系可得答案．
本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有种．设的半径为，点到圆心的距离，则有：点在圆外；点在圆上；点在圆内．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
根据圆内接四边形的性质求出的度数，根据圆周角定理计算即可．
【解答】
解：四边形内接于，
，又，
，
由圆周角定理得，，
故答案为：．  

14.【答案】 

【解析】解：在正五边形中，，，
，
故答案为：．
由正五边形的性质可知是等腰三角形，求出的度数，即可解决问题．
本题主要考查了正多边形与圆，多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是求出正五边形内角的度数．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，

在中，，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
．
故答案为：．
连接，，由三角形内角和可得出，再根据圆周角定理可得，即是等腰直角三角形，又圆半径为，可得出结论．
本题主要考查三角形内角和定理，圆周角定理，等腰直角三角形的性质等内容，作出正确的辅助线是解题关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：扇形的弧长是：，
设底面半径是，则，
解得：．
故答案是：．
首先利用扇形的弧长公式求得扇形的弧长，然后利用圆的周长公式即可求解．
考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
 

17.【答案】 

【解析】解：如图设切点分别为、、、，
由切线性质可知，，，，，
设，，，，
，  ，，
 ，
 ，
．
故答案为．
设切点分别为、、、，由切线性质可知，，，，，设，，，，推出 ．
本题考查了内切圆的性质，熟练运用切线的性质和三角形面积公式是解题的关键．
 

18.【答案】解：；

由知，该抛物线解析式是：；
，则二次函数图象的开口方向向上．
对称轴是、顶点坐标是． 

【解析】用配方法可将抛物线一般式转化为顶点式；
根据中的顶点式确定开口方向、对称轴、顶点坐标．
本题考查了二次函数的三种形式和二次函数的性质．二次函数的解析式有三种形式：一般式：、、为常数；顶点式：；交点式与轴：
 

19.【答案】【解答】
证明：四边形内接于圆，
，
，
，
，
，
；
解：，
，
由圆周角定理，得，的度数为：，
故，
答：的长为． 

【解析】

【分析】
此题主要考查了弧长公式应用以及圆周角定理等知识，根据题意得出的度数是解题关键．
直接利用圆周角定理得出的度数，再利用求出答案；
首先求出的度数，再利用弧长公式直接求出答案．  

20.【答案】 

【解析】解：设口罩下压边宽度为，则口罩的上压边宽度 ．
故答案为：；
依题意有
，
解得，不合题意舍去．
故口罩下压边宽度为．
根据口罩上压边宽度是下压边宽度的倍即可求解；
根据等量关系：口罩内部有效面积达到，列出方程计算即可求解．
本题考查了一元二次方程的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式；另外，整体面积各部分面积之和；剩余面积原面积截去的面积，然后根据题意列出方程，求出未知数．
 

21.【答案】解：为半圆的直径，
，
，
；
，
阴影部分的面积． 

【解析】根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论；
根据扇形的面积公式即可得到结论．
本题考查了扇形面积的计算，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．
 

22.【答案】解：连接，过点作于．

与相切于点，
，是的半径，
是菱形的对角线，
平分，
，，
，
与相切；

四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
设半径为则，，
，，
，，
在中，

，
解得或舍弃，
的半径为． 

【解析】本题考查切线的判定，菱形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
连接，过点作于只要证明即可解决问题；
设半径为则，，利用勾股定理构建方程即可解决问题；
 

23.【答案】解：，且为整数；
由知，，且为整数．
，
当时，元；
每件商品的售价为元．
答：每件商品的售价为元时，商品的利润最大，为元； 

【解析】销售利润每件商品的利润上涨的钱数，根据每件售价不能高于元，可得自变量的取值；
利用公式法结合得到的函数解析式可得二次函数的最值，结合实际意义，求得整数解即可；
考查二次函数的应用；得到月销售量是解决本题的突破点；注意结合自变量的取值求得相应的售价．
 

24.【答案】答：是直角三角形．
证明：、、分别与相切于、、，
，，
，
，
，
，
是直角三角形；
解：在中，，，
；
解：、、分别与相切于、、，
，
． 

【解析】此题考查了切线长定理、切线的性质、勾股定理以及直角三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
由切线长定理，易得，，又由，则可求得；由，，利用勾股定理即可求得的长；
利用直角三角形斜边上的高等于两直角边的积除以斜边，即可求得的半径的长．
 

25.【答案】解：抛物线的顶点为，
设抛物线的解析式为，
抛物线与轴交于点，
，
，
； 
设点坐标为，
由题意可得，
点，
，
；
过点作直线的垂线交抛物线于点，交于点，
，
，此时的周长最小，
，
，
，，
周长最小值为． 

【解析】由题意设抛物线的解析式为，再将点代入解析式即可求解；
设点坐标为，分别求出点到直线的距离与的距离即可证明；
过点作直线的垂线交抛物线于点，交于点，此时的周长最小，则，又由，，即可求周长的最小值为．
本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离的方法是解题的关键．