2021-2022学年广东省广州113中八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年广东省广州113中八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 下列各式中，哪个是最简二次根式(    )

A.  B.  C.  D.

2. 在▱中，，，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 在中，、分别是、的中点，若，则的值(    )

A.  B.  C.  D.

5. 下列各组数中，能构成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

6. 化简的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 四边形对角线互相平分，要使它成为矩形，需添加条件(    )

A.  B.  C.  D.

8. 下列命题的逆命题是假命题的是(    )

A. 两直线平行，同位角相等 B. 平行四边形的对角线互相平分
C. 菱形的四条边相等 D. 正方形的四个角都是直角

9. 如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，平行四边形的对角线，交于点，平分交于点，且，，连接下列结论：；；；其中成立的个数有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 若二次根式有意义，则的取值范围为______．
12. ______．
13. 一个弹簧不挂重物时长，挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比，如果挂上的物体后，弹簧伸长，则弹簧总长单位：关于所挂重物单位：的函数关系式为______ 不需要写出自变量取值范围
14. 如图，数轴上点表示的数为，化简______．

15. 在中，，，，则斜边上的中线 ______ ．
16. 如图，在矩形中，，，将其折叠，使得点与点重合，折痕为，则的长为______．

三、解答题（本大题共9小题，共72分）

17. 计算：．
18. 如图，在菱形中，，，求菱形的面积．

19. 先化简，再求值：，其中，．
20. 如图，平行四边形的对角线、相交于点，、分别是、的中点，求证：．

21. 如图，四边形是矩形，，．
    尺规作图：作的平分线，与交于点保留作图痕迹，不写作法；
    求点到线段的距离．

22. 如图，正方形的面积为，点是的中点，点在上，且，求的度数．

23. 如图，在中，，过点的直线，为边上一点，过点作，交直线于，垂足为，连接、。
    求证：；
    当在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由；
    若为中点，则当的大小满足什么条件时，四边形是正方形？请说明你的理由。

24. 如图，四边形是矩形，点位于对角线上，将，分别沿、翻折，点，点都恰好落在点处．
    求证：；
    求证：四边形是菱形：
    如图，若，点是线段上的动点，求的最小值．
     

25. 如图，在中，，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是 秒过点作于点，连接，．
    求证：；
    四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，请说明理由；
    当为何值时，为直角三角形？请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】最简二次根式的概念：被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式．
本题考查最简二次根式的概念，此类试题的一般解题方法是：只要被开方数中是分数或小数，一定不是最简二次根式；被开方数中含有能开得尽方的因数，也一定不是最简二次根式．
解：．，不符合题意；
B.，不符合题意；
C.是最简二次根式，符合题意；
D.，不符合题意．
故选：．
 

2.【答案】 

【解析】解：在▱中，，，
．
故选：．
由在▱中，，，根据平行四边形的对角相等，即可求得答案．
此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：．，此选项不符合题意；
B.与不是同类二次根式，不能合并，此选项不符合题意；
C.与不是同类二次根式，不能合并，此选项不符合题意；
D.，此选项符合题意；
故选：．
根据二次根式的除法、乘法及同类二次根式的运算法则、概念逐一判断即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
 

4.【答案】 

【解析】解：，分别是的边和的中点，
是的中位线，
，
．
故选：．
根据三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半可知，，进而由的值求得．
本题主要考查三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．
 

5.【答案】 

【解析】解：、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、，能构成直角三角形，故此选项符合题意；
D、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意．
故选：．
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个三角形就不是直角三角形．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
 

6.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
本题可先将根号内的数化简，再开根号，根据开方的结果为正数可得出答案．
本题考查了二次根式的化简，解此类题目要注意算术平方根为非负数．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了矩形的判定，关键是矩形的判定：
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
有三个角是直角的四边形是矩形；
对角线相等的平行四边形是矩形．
由四边形的对角线互相平分，可得四边形是平行四边形，再添加，可根据对角线相等的平行四边形是矩形证明四边形是矩形．
【解答】
解：可添加，
四边形的对角线互相平分，
四边形是平行四边形，
，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，
四边形是矩形，
故选D．  

8.【答案】 

【解析】解：、两直线平行，同位角相等的逆命题为“同位角相等，两直线平行”，逆命题为真命题；
B、平行四边形的对角线互相平分的逆命题为“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，逆命题为真命题；
C、菱形的四条边相等的逆命题为“四条边相等的四边形是菱形”，逆命题为真命题；
D、正方形的四个角都是直角的逆命题为“四个角都是直角的四边形是正方形”，逆命题为假命题；
故选：．
先写出各命题的逆命题，然后再判断真假即可．
本题考查了命题与定理的知识，注意掌握逆命题的书写方法，及真假命题的判断，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：由勾股定理得：
楼梯的水平宽度，
地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
地毯的长度至少是米．
故选：．
当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可．
本题考查了勾股定理的知识，与实际生活相联系，加深了学生学习数学的积极性．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
平分，

是等边三角形，
，
，
，
，
，故正确；
，
，故正确，
，，
，
，故错误；
，，，
，
，
，
，
，故正确．
故选：．
由▱中，，易得是等边三角形，又由，证得；继而证得，得；可得是三角形的中位线，证得．
此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得是等边三角形，是的中位线是关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意得，，
解得．
故答案为：．
根据被开方数大于等于列式计算即可得解．
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
 

12.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
根据积的乘方运算分别计算即可得出答案．
此题主要考查了二次根式的平方运算，根据已知直接运用积的乘方运算是解决问题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】

【解答】
解：弹簧总长单位：关于所挂重物单位：的函数关系式为，
故答案为：．
【分析】
根据题意可知，弹簧总长度与所挂物体质量之间符合一次函数关系，可设代入求解．
此题考查函数解析式问题，关键是根据弹簧总长度与所挂物体质量之间符合一次函数关系解答．  

14.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：．
根据进行二次根式化简，再去绝对值合并同类项即可．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，关键是掌握．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，，
，
是斜边的中线，
，
故答案为：．
由勾股定理求出斜边，根据直角三角形斜边中线的性质即可求出结果．
本题主要考查了勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线的性质是解决问题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：过点作，垂足为，如图，
设，则，
根据折叠性质可得，
，，
在中，
，
，
解得：，
，
，
，
，
，
，
在中，
，
．
故答案为：．
过点作，垂足为，如图，设，则，根据折叠性质可得，，，在中，根据勾股定理即可算出的值，由平行线的性质可得，即可得，，即可算出的长度，则可得的长度，在中，根据勾股定理即可得出答案．
本题主要考查了翻折变换及勾股定理，熟练掌握折叠的性质及应用勾股定理进行求解是解决本题的关键．
 

17.【答案】解：原式


． 

【解析】根据进行化简后，再合并同类二次根式．
本题考查二次根式的加减法，考核学生的计算能力，做题的关键是能根据公式进行正确的化简．
 

18.【答案】解：在菱形中，，，
，
，
，
，
菱形的面积． 

【解析】由菱形的性质可得，，，由直角三角形的性质可求的长，即可求解．
本题考查了菱形的性质，掌握菱形的性质是本题的关键．
 

19.【答案】解：原式
，
当，时，
原式

． 

【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将、的值代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
 

20.【答案】证明：连接、，如图所示：
四边形是平行四边形
，
、分别是、的中点
，

四边形是平行四边形
． 

【解析】根据平行四边形的性质对角线互相平分得出，，利用中点的意义得出，从而利用平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定是平行四边形，从而得出．
本题考查了平行四边形的基本性质和判定定理的运用．性质：平行四边形两组对边分别平行；平行四边形的两组对边分别相等；平行四边形的两组对角分别相等；平行四边形的对角线互相平分．判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
 

21.【答案】解：如图所示，

在中，，，
由勾股定理可得，
过点作于点，
平分，，，
，，
，即平分，
，
，
，
设，则，又
，解得，
，即点到的距离为． 

【解析】根据要求，要作角平分线，以点为圆心，任意长为半径作弧，与的两边分别于点，点，再分别以点和点为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，作射线，与交于点，线段即为所求；
过点作于点，点到线段的距离即的长度，由角平分线的性质，，又∽，可得．
本题主要考查基本作图作已知角的角平分线，角平分线的性质等内容，熟悉基本作图是本题做题关键．
 

22.【答案】解：如图所示，连接，
正方形的面积为，
正方形的边长为，
又点是的中点，，
，，
，
中，，
中，，
中，，
，
是直角三角形，且． 

【解析】连接，依据勾股定理即可得到中，，中，，中，，依据勾股定理的逆定理，即可得出是直角三角形，进而得到的度数．
本题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的综合运用，如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．本题也可以利用相似三角形的性质得出的度数．
 

23.【答案】证明：




，即
四边形是平行四边形

解：四边形是菱形
理由是：为中点




四边形是平行四边形
，为中点

平行四边形是菱形
解：当时，四边形是正方形
理由是：，


为中点


四边形是菱形
菱形是正方形
即当时，四边形是正方形 

【解析】先证出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；
先证明四边形是平行四边形，再证明，根据菱形的判定推出即可；
证出，再根据正方形的判定推出即可。
 

24.【答案】证明：四边形是矩形，
，
，
将，分别沿、翻折，点，点都恰好落在点处．
≌，
≌，
，，
；
证明：，
，
四边形是矩形，
，，，
，，
四边形是平行四边形，
又≌，
，
，
四边形是菱形；
解：过点作于点，

四边形是菱形，≌，
，
在中，，
，
过点作，与的交点即是的值最小的点的位置．
而此时的最小值，
≌，，
，
在中，
，
，
，
，
，
，
的最小值为． 

【解析】由折叠的性质得出≌，≌，则，，则可得出结论；
证得四边形是平行四边形，由全等三角形的性质得出，则可得出结论；
过点作于点，得出，得出，过点作，与的交点即是的值最小的点的位置．而此时的最小值，求出的长，则可得出答案．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定定理和性质定理、翻折变换的性质是解题的关键．
 

25.【答案】证明：由题意得：，，
，
，
，
，
；
四边形能够成为菱形，理由是：
由得：，
，
，
四边形为平行四边形，
若▱为菱形，则，
，，
，
，
，
当时，四边形能够成为菱形；
分三种情况：
当时，如图，
则四边形为矩形，
，
，，
，
，
当时，如图，
四边形为平行四边形，
，
，
在中，，，
，
，
则，
，
当不成立；
综上所述：当为或时，为直角三角形． 

【解析】根据时间和速度表示出和的长，利用所对的直角边等于斜边的一半求出的长为，则；
根据的结论可以证明四边形为平行四边形，如果四边形能够成为菱形，则必有邻边相等，则，列方程求出即可；
当为直角三角形时，有三种情况：当时，如图，当时，如图，
当不成立；分别找一等量关系列方程可以求出的值．
本题是四边形的综合题，考查了平行四边形、菱形、矩形的性质和判定，也是运动型问题，难度不大，是常出题型；首先要表示出两个动点在时间时的路程，弄清动点的运动路径，再根据其运动所形成的特殊图形列式计算；同时，所构成的直角三角形因为直角顶点不确定，所以要分情况进行讨论．