2021-2022学年山东省青岛市即墨区七年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年山东省青岛市即墨区七年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24分）

1. 下列事件为必然事件的是(    )

A. 打开电视机，它正在播广告
B. 抛掷一枚硬币，一定正面朝上
C. 投掷一枚普通的正方体骰子，掷得的点数小于
D. 某彩票的中奖机会是，买张一定不会中奖

2. 新型冠状病毒的直径约为纳米纳米米，纳米用科学记数法表示为米．(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图，将一个直角尺的顶点放在尺子的一边，若，那么的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如果每盒笔售价元，共有支，用元表示笔的售价，表示笔的支数，那么与的关系式为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，阴影部分是由个小正方形组成的一个图形，若在图中剩余的方格中涂黑一个正方形，使整个阴影部分成为轴对称图形，涂法有(    )

A. 种
B. 种
C. 种
D. 种

6. 如图，是的中线，是的中线，是的中线，若，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

7. 如图，，如果，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在四边形中，若的角平分线交于，连接，且边平分，得到如下结论：；；；；若，则的取值范围为，那么以上结论正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

9. 已知，，，则、、的大小关系用“”连接______ ．
10. 如果多项式是一个完全平方式，则的值是______．
11. 小明家、文具店、学校在一条直线上，小明家到学校的路程为一天，小明在上学途中到文具店买了学习用品，然后以原速的倍继续匀速步行到学校，图中的折线反映了这天小明从家步行到学校所走的路程与时间之间的函数关系，这天小明上学途中共用的时间______ ．

12. 如图，中，，，是边上的中线，过点作，垂足为点，过点作交的延长线于点，，则的面积为______．

13. 设、、是的三边，化简： ______ ．
14. 在中，，是的角平分线，在的垂直平分线上，：：，为上的动点，则的最小值为______．

三、解答题（本大题共10小题，共78分）

15. 如图，方格纸中每个小方格都是边长为的正方形，我们把以格点的连线为边的多边形称为“格点多边形”，如图中四边形就是一个“格点四边形”．
    求图中四边形的面积；
    在图中的方格纸中画一个格点四边形，使该四边形与原四边形关于直线成轴对称；
    为直线上一点，连接、，使得最小，画出点的位置．

16. 计算：
    ；
    ；
    ；
    ．
17. 先化简，再求值：，其中，．
18. 一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共个，它们除颜色外都相同，其中黄球的个数是白球个数的倍少个，已知从袋中摸出一个红球的概率是．
    求袋中红球的个数；
    求从袋中摸出一个球是白球的概率；
    取走个黄球个白球，求从剩余的球中摸出一个球是红球的概率．
19. 为了体验大学校园文化，小华利用周末骑电动车从家出发去西安交大，当他骑了一段路时，想起要帮在交大读书的张浩买一本书，于是原路返回到刚经过的新华书店，买到书后继续前往交大，如图是他离家的距离与时间的关系示意图，请根据图中提供的信息回答下列问题：
    小华家离西安交大的距离是多少？
    小华在新华书店停留了多长时间？
    买到书后，小华从新华书店到西安交大骑车的平均速度是多少？
    本次去西安交大途中，小华一共行驶了多少米？

20. 如图，，分别在的边，上，在线段上，且，．
    求证：；
    若平分，，求的度数．

21. 如图，中，，是腰的垂直平分线．
    若，求的度数；
    若，，求的周长．

22. 如图，、均为等边三角形，连接、交于点，与交于点求证：．

23. 【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图，是用长为，宽为的四个相同的长方形拼成一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分小正方形的面积，可以得到、、三者之间的等量关系式：______；
    【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图，观察大正方体分割，可以得到等式：______；
    【成果运用】利用上面所得的结论解答：
    已知，，求的值；
    已知，求的值．

24. 如图，在中，于点，，，过点作于点，交于点．
    求线段的长度；
    连接，求证：；
    如图，若点为的中点，点为线段延长线上一动点，连结，过点作交线段延长线于点，则的值是否发生改变，如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、打开电视机，它正在播广告是随机事件，故本选项错误；
B、抛掷一枚硬币，正面朝上是随机事件，故本选项错误；
C、因为枚普通的正方体骰子只有个点数，所以掷得的点数小于是必然事件，故本选项正确；
D、某彩票的中奖机会是，买张中奖或不中奖是随机事件，故本选项错误．
故选：．
根据事件的分类的定义及分类对四个选项进行逐一分析即可．
本题考查的是随机事件，即在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
 

2.【答案】 

【解析】解：纳米米米．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】 

【解析】解：如图，

，
，
直尺的两边互相平行，
．
故选：．
先根据两角互余的性质求出的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
故选：．
先求出每只笔的单价，再根据“总价单价数量”即可得出函数关系式．
本题考查列函数关系式，理解和掌握总价单价数量是正确解答的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图所示：在图中剩余的方格中涂黑一个正方形，使整个阴影部分成为轴对称图形，只要将，，，处涂黑，都是符合题意的图形．
故选：．
直接利用轴对称图形的性质分析得出答案．
此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：是的中线，
，
是的中线，
，
是的中线，
，
．
故选：．
由于三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．则可先求出，再求出，然后求出，从而得到．
本题考查了三角形面积公式：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，
为等边三角形，
，
．
和为等腰三角形，，，
，
，
，，
为等腰三角形，
，
，
．
故选：．
根据已知条件，利用等腰三角形和等边三角形的性质及三角形的内角和外角之间的关系进行计算．
本题主要考查了等腰三角形和等边三角形的性质及三角形内角和外角之间的关系，掌握三角形的外角是与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，
、分别是与的平分线，
，，
，
，
故小题正确；
如图，延长交延长线于，

，
，
平分，
，
在与中，
，
≌，
，，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，故小题正确；
≌，
，即点为的中点，
与不一定相等
与不一定相等，故小题错误；
若，则是斜边上的中线，则，
与不一定相等，
与不一定相等，故小题错误；
，，
的取值范围为，故小题正确．
综上所述，正确的有．
故选：．
根据两直线平行，同旁内角互补可得，又、都是角平分线，可以推出，从而得到，然后延长交的延长线于点，先证明与全等，再根据全等三角形对应边相等得到，然后证明与全等，从而可以证明正确，与不一定相等，所以不正确．
本题主要考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质，角平分线的定义，证明并作出辅助线是解题的关键，本题难度较大，对同学们的能力要求较高．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，，
而，
．
故答案为：．
把它们化为底数相同的幂，再比较大小即可．
本题主要考查了幂的乘方以及有理数大小比较，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
 

10.【答案】或 

【解析】解：多项式是一个完全平方式，
，
解得：或，
故答案为：或．
根据完全平方式得出，求出即可．
本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式的特点是解此题的关键，注意：完全平方式有两个：和．
 

11.【答案】 

【解析】解：利用图象得出：小明到文具店的速度为：，
小明从文具店到学校的速度为：，
小明从文具店到学校的时间为：，
小明上学途中共用的时间为：．
故答案为：．
根据图象得出文具店到学校的路程以及小明的速度即可求解．
此题主要考查了一次函数的应用，根据已知得出小明从文具店到学校的速度是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，，
，
，，
，
，
≌，
，
，
，，
．
故答案为：
由≌，推出，由，推出，，根据计算即可．
本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
 

13.【答案】 

【解析】解：、、分别为的三边长，
，，


，
故答案为：．
根据三角形的任意两边之和大于第三边可得，，，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，然后利用整式的加减运算进行计算即可得解．
本题考查了三角形的三边关系，绝对值的性质，整式的加减运算，熟记性质并去掉绝对值符号是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，连接，．

，平分，
，，
，
在的垂直平分线上，
，
，
的最小值为的长，
：：，
可以假设，，
，
，
，
的最小值为，
的值的最小值为，
故答案为．
如图，连接，首先证明的最小值为的长，求出的最小值即可解决问题．
本题考查轴对称最短问题，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考填空题中的压轴题．
 

15.【答案】解：四边形的面积；
如图，四边形为所作；

如图，点为所作． 

【解析】利用三角形面积公式计算；
分别作出点、、、关于直线的对称点、、、即可；
连接交直线于，则，所以，根据两点之间线段最短可判断此时点满足条件．
本题考查了作图轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了最短路径问题．
 

16.【答案】解：

；


；


；



． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答；
先去括号，再合并同类项，即可解答；
先去括号，再合并同类项，即可解答；
先利用平方差公式，再利用完全平方公式，进行计算即可解答．
本题考查了零指数幂，负整数指数幂，实数的运算，整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

17.【答案】解：

，
当，时，原式

． 

【解析】先去括号，再合并同类项，然后把，的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了整式的混合运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

18.【答案】解：根据题意得：
个．
答：红球有个．

设白球有个，则黄球有个，
根据题意得，
解得．
所以摸出一个球是白球的概率；

因为取走个黄球个白球后，还剩个球，其中红球的个数没有变化，
所以从剩余的球中摸出一个球是红球的概率． 

【解析】根据红、黄、白三种颜色球共有的个数乘以红球的概率即可；
设白球有个，得出黄球有个，根据题意列出方程，求出白球的个数，再除以总的球数即可；
先求出取走个球后，还剩的球数，再根据红球的个数，除以还剩的球数即可．
此题主要考查了概率公式：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
 

19.【答案】解：根据图象，可知华家离西安交大的距离是米；
分钟．
所以小华在新华书店停留了分钟；
小华从新华书店去西安交大的路程为米，所用时间为分钟，
小华从新华书店到西安交大骑车的平均速度是：米分；
根据图象，小华一共行驶了米． 

【解析】根据图象，可知小华家离西安交大的距离是米；
由图象可知，分钟的路程没变，所以小华在新华书店停留了；
小华从新华书店去西安交大的路程为米，所用时间为分钟，根据速度路程时间，即可解答；
根据图象，可知本次去西安交大途中，小华一共行驶的路程．
本题主要考查了图象的读图能力，要理解横纵坐标表示的含义以及小华的运动过程是解题的关键．
 

20.【答案】解：，，
，
，
，
，
，
．
平分，
，
，
，
，，
，
，
又，
． 

【解析】利用平行线的判定和性质一一判断即可．
利用角平分线及邻补角的定义、平行线的性质、对顶角性质求解即可．
本题考查三角形内角和定理，平行线的判定和性质、邻补角等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

21.【答案】解：中，，，
．
是腰的垂直平分线，
，，
；
由得：，
的周长．
答：的周长是． 

【解析】先根据等腰三角形的性质可得，，进而可得；
由垂直平分线的性质可得，所以，可得的周长．
本题考查线段垂直平分线的性质，熟练的掌握线段垂直平分线的性质定理是解题关键．
 

22.【答案】解：和都是等边三角形，
，，，
，
即，
在和中，，
≌，
，
，
，即． 

【解析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
利用“边角边”证明和全等，可得，再根据“八字型”证明即可．
 

23.【答案】解：【知识生成】  ；
【知识迁移】；
【成果运用】由，
可得，
，，
，
，
；
，
，，
；
． 

【解析】解：【知识生成】
如图，方法一：已知边长直接求面积为；
方法二：阴影面积是大正方形面积减去四个长方形面积，
面积为，
由阴影部分面积相等可得；
故答案为：；
【知识迁移】
方法一：正方体棱长为，
体积为，
方法二：正方体体积是长方体和小正方体的体积和，即，
；
故答案为：；
【成果运用】
见答案；
见答案．

【知识生成】利用面积相等推导公式；
【知识迁移】利用体积相等推导；
应用知识生成的公式，进行变形，代入计算即可；
先根据非负数的性质得：，，由知识迁移的等式可得结论．
本题考查完全平方公式的几何意义；能够由面积相等，过渡到利用体积相等推导公式是解题的关键．
 

24.【答案】解：，，
，
，
，
在和中，，
≌，
；
过分别作于点，作于点，如图所示：

在四边形中，，
．
在与中，，
≌，
．
，，
平分，
；
的值不发生改变，等于理由如下：
连接，如图所示：

，，为的中点，
，，
，，
．
，
即，
．
在和中，，
≌，
，
． 

【解析】证≌，即可得出；
过分别作于点，作于点，证≌，得出得出平分，即可得出结论；
连接，由等腰直角三角形的性质得出，，，则，证出证≌，得，进而得出答案．
本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质以及三角形面积等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．