2021-2022学年山东省青岛市市北区七年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年山东省青岛市市北区七年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24分）

1. 如图，下列两个角是同旁内角的是(    )

A. 与
B. 与
C. 与
D. 与

2. 下列事件中属于必然事件的是(    )

A. 三角形的三条角平分线交于一点 B. 打开电视机，正在播放新闻联播
C. 随机买一张电影票，座位号是偶数 D. 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上

3. 如图图案是轴对称图形的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

4. 小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据如表，若抛掷硬币的次数为，则“正面朝上”的频数最接近(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点、、、、、、在小正方形的顶点上，则的重心是(    )

A. 点 B. 点 C. 点 D. 点

6. 若是完全平方式，则的值为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

7. 如图，等腰三角形的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，边于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知点为某个封闭图形边界上一定点，动点从点出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点的运动时间为，线段的长度为，表示与的函数图象大致如图所示，则该封闭图形可能是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24分）

9. 一根头发丝的直径是万纳米，万纳米用科学记数法表示为______米．
10. 如果一个角的补角是，那么这个角的余角的度数是______度．
11. 如果小球在如图所示的正三角形区域内自由滚动区域中每一个小正三角形除颜色外完全相同，并随机停留在某个小正三角形上，则它最终停留在阴影区域的概率是______．

12. 如图，已知平分，要使≌，只需再添加一个条件就可以了，你选择的条件是______，理由是______．

13. 四根长度分别为、、、的细木棒，任取其中三根为边，能拼成三角形的概率为______．
14. 一把直尺和一块三角板含、角如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点和点，另一边与三角板的两直角边分别交于点和点，且，那么的大小为______．

15. 也许你认为数字运算是数学中常见而又枯燥的内容，但实际上，它里面也蕴藏着许多不为人知的奥妙，下面就让我们来做一个数字游戏：
    第一步：取一个自然数，计算得；
    第二步：计算出的各位数字之和得，再计算得；
    第三步：计算出的各位数字之和得，再计算得；
    
    依此类推，则______．
16. 小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图，在中，，，第一步，在边上找一点，将纸片沿折叠，点落在处，如图；第二步，将纸片沿折叠，点落在处，如图当点恰好落在原直角三角形纸片的边上时，线段的长为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共72分）

17. 已知，求作：点，使，且点到的两边距离相等．

18. 计算．
    ；
    ；
    用整式乘法公式计算：；
    先化简，再求值：，其中，．
19. 如图，小明家有一个玻璃容器，他想测量一下它的内径是多少？但是他无法将刻度尺伸进去直接测量，于是他把两根长度相等的小木条，的中点连在一起，木条可以绕中点自由转动，这样只要测量，的距离，就可以知道玻璃容器的内径，你知道其中的道理吗？请说明理由．

20. 用一枚质地均匀的骰子设计一个公平的游戏，并说明在你的设计中游戏者获胜的概率是多少．
21. 温度的变化，是人们经常谈论的话题，下图是某地某天温度变化情况的图象，请你根据图象，解答下列问题：在上述的变化过程中，哪个量是自变量？哪个量是因变量？
    早晨时的温度是多少？时呢？
    这一天的最高温度是多少？从最低温度到最高温度经过了多少时间？
    请你预测该地次日凌晨时的温度，并简要说明理由．

22. 用正三角形和圆，设计一个有且只有两条对称轴的轴对称图案，并用一句简短的话字及以内，说明你所要表达的含义．
23. 如图，是线段的中点，，．
    请类比小红的表达方法，在图中找出一对全等三角形要求与小红所找的不同，并说明理由；
    小红：≌，理由是：
    在和中，
    是线段的中点，
    ．
    又，，
    ≌．
    连接，判断与有怎样的位置关系，并说明理由．

24. 问题提出：
    在如图所示的正方形网格中，我们称格线的交点为格点，以格点为顶点的正方形称为“格点正方形”如图所示正方形、都是“格点正方形”那么像图中这种即边长为个单位的正方形网格中“格点正方形”一共有多少个呢？
    问题转化：
    我们可以把“格点正方形”分为两类：一类称作“正向正方形”，即“格点正方形”的边在格线上的，如正方形；另一类称作“斜向正方形”，即“格点正方形”的边不在格线上的，如正方形．
    
    探究一：
    我们先来研究“正向正方形”的个数和；
    在的正方形网格中，“正向正方形”的个数是；
    在的正方形网格中，
    边长为的“正向正方形”的个数为；
    边长为的“正向正方形”的个数为；
    在的正方形网格中，“正向正方形”的个数和是：；
    
    在的正方形网格中，
    边长为的“正向正方形”的个数为；
    边长为的“正向正方形”的个数为；
    边长为的“正向正方形”的个数为；
    在的正方形网格中，“正向正方形”的个数和是：；
    
    在的正方形网格中，“正向正方形”的个数和是：______；
    
    在的正方形网格中，“正向正方形”的个数和是______
    探究二：
    经过研究得到：的正方形网格中，“斜向正方形”的个数和是；的正方形网格中，“斜向正方形”的个数和是；
    的正方形网格中，“斜向正方形”的个数和是；
    的正方形网格中，“斜向正方形”的个数和是；
    
    探究三：将前面的研究结果制作成表格如下：

从表格中数据看出，“斜向正方形”的个数和与“格点正方形”的总数有非常紧密的联系，
借此规律：在的正方形网格中，“斜向正方形”的个数和是______．
问题解决：在的正方形网格中，“格点正方形”的总数是______个．
拓展延伸：如果用表示的正方形网格中“格点正方形”的总数，那么______．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、与是内错角，不是同旁内角，故本选项不符合题意；
B、与是同旁内角，故本选项符合题意；
C、与是对顶角，不是同旁内角，故本选项不符合题意；
D、与是同位角，不是同旁内角，故本选项不符合题意；
故选：．
根据同位角、内错角、同旁内角的定义逐个判断即可．
本题考查了对顶角，同位角、内错角、同旁内角的定义，能熟记同位角、内错角、同旁内角的定义的内容是解此题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、三角形的三条角平分线交于一点，是必然事件，故A符合题意；
B、打开电视机，正在播放新闻联播，是随机事件，故B不符合题意；
C、随机买一张电影票，座位号是偶数，是随机事件，故C不符合题意；
D、掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上，是随机事件，故D不符合题意；
故选：．
根据三角形的角平分线、中线和高，随机事件，必然事件，不可能事件的定义，逐一判断即可解答．
本题考查了三角形的角平分线、中线和高，随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：第个和第个是轴对称图形，第个和第个不是轴对称图形，
故选：．
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行判断．
此题主要考查了轴对称图形，关键是正确找出对称轴．
 

4.【答案】 

【解析】解：观察表格发现：随着实验次数的增加，正面朝上的频率逐渐稳定到附近，
所以当抛掷硬币的次数为时，“正面朝上”的频数最接近次，
故选：．
随着实验次数的增加，正面向上的频率逐渐稳定到某个常数附近，据此求解即可．
本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中频率可以估计概率，难度不大．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了三角形的重心的定义，属于基础题意，比较简单．
根据三角形三条中线相交于一点，这一点叫做它的重心，据此解答即可．
【解答】
解：根据题意可知，直线经过的边上的中线，直线经过的边上的中线，
点是重心．
故选A．  

6.【答案】 

【解析】解：是完全平方式，
，
解得：或，
故选：．
根据完全平方式得出，再求出即可．
本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式的特点是解此题的关键，注意：完全平方式有两个：和．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
连接，由于是等腰三角形，点是底边的中点，故AD，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故AD的长为的最小值，由此即可得出结论．
【解答】
解：连接，

是等腰三角形，点是底边的中点，
，
，解得，
是线段的垂直平分线，
点关于直线的对称点为点，
的长为的最小值，
的周长最短
．
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：与的函数图象分三个部分，而选项和选项中的封闭图形都有条线段，其图象要分四个部分，所以、选项不正确；选项中的封闭图形为圆，开始随的增大而增大，然后随的减小而减小，所以选项不正确；选项为三角形，点在三边上运动对应三段图象，且点在点的对边上运动时，的长有最小值．
故选：．
先观察图象得到与的函数图象分三个部分，则可对有边的封闭图形进行淘汰，利用圆的定义，点在圆上运动时，开始随的增大而增大，然后随的减小而减小，则可对进行判断，从而得到正确选项．
本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．
 

9.【答案】 

【解析】解：纳米米，
万纳米米米．
故答案为：．
根据纳米米，可得：万纳米米，据此把万纳米用科学记数法表示即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

10.【答案】 

【解析】解：一个角的补角是，
这个角的度数是：，
这个角的余角的度数是，
故答案为：．
两角成补角，和为，因此该角为，而两角成余角，和为，因此这个角的余角为．
此题考查的是余角和补角，熟记“两角互余和为，互补和为”是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意得：．
故答案为：．
根据概率公式计算即可．
本题考查了几何概率，熟练掌握概率的相关知识是解题的关键．
 

12.【答案】   

【解析】解：添加条件：，
理由：是的平分线，
，
在和中，
，
≌．
故答案为：，．
添加条件：，再由条件是的平分线可得，加上公共边可利用定理进行判定．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．
 

13.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中能拼成三角形两边之和大于第三边的结果有种，
能拼成三角形的概率为，
故答案为：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中能拼成三角形两边之和大于第三边的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查了用树状图求概率以及三角形的三边关系，正确画出树状图是解决本题的关键，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

14.【答案】 

【解析】解：由三角形的外角性质得：，
，
．
故答案为：．
先利用三角形外角性质得到，然后根据平行线的性质得到的度数．
本题考查了平行线的性质以及三角形的外角性质．解题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
，，
，，
，，
，，

从第个数开始，以，不断循环出现，
，
．
故答案为：．
根据游戏的规则进行运算，求出、、、、，再分析其规律，从而可求解．
本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的规则得到存在的规律．
 

16.【答案】或 

【解析】解：点恰好落在直角三角形纸片的边上时，设交边于点，如图，

由题意：≌≌，垂直平分线段．
则，．
，，，
．
，
．
．
在中，
，
，
．
点恰好落在直角三角形纸片的边上时，如图，

由题意：≌≌，；
则，．
，，
，
．
综上，线段的长为：或．
故答案为：或．
分两种情形解答：点恰好落在直角三角形纸片的边上时，由题意：≌≌，则，；垂直平分线段；利用，可求得，则，解直角三角形可求线段；点恰好落在直角三角形纸片的边上时，由题意：≌≌，则，，；在中，利用所对的直角边等于斜边的一半可得结论．
本题主要考查了翻折问题，含角的直角三角形，直角三角形的边角关系，特殊角的三角函数值，全等三角形的性质．翻折属于全等变换，对应部分相等，这是解题的关键，当点恰好落在直角三角形纸片的边上时，要注意分类讨论．
 

17.【答案】解：如图，作的垂直平分线和的角平分线，它们相交于点，则点为所求．
 

【解析】由可得点在线段的垂直平分线上，由点到的两边距离相等得到点在的平分线上，于是作的垂直平分线和的角平分线，它们的交点为点．
本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段的垂直平分线和角平分线．
 

18.【答案】解：原式；
原式

；
原式



；
原式
；
当，时，原式． 

【解析】利用零指数幂，负整数指数幂的运算性质进行解答即可；
根据幂的乘方与积的乘方，单项式除以单项式的计算方法进行计算即可；
利用平方差公式进行计算即可；
利用单项式乘多项式，多项式乘多项式以及完全平方公式先化简，再代入求值即可．
本题考查零指数幂，负整数指数幂，整式的混合运算，掌握零指数幂、负整数指数幂的运算性质以及整式的混合运算的计算法则是正确解答的前提．
 

19.【答案】解：如图所示：连接，，
在和中，
，
≌，
．
故只要测量，的距离，就可以知道玻璃容器的内径． 

【解析】连接，，利用全等三角形的判定方法得出≌，进而求出即可．
此题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
 

20.【答案】解：答案不唯一．例如，
游戏一：抛掷质地均匀的骰子：根据抛出骰子的点数确定胜负，若抛出骰子的点数为偶数，则甲获胜；若抛出骰子的点数为奇数，则乙获胜．
游戏者获胜说明：
抛掷一枚质地均匀的骰子，点数共有，，，，，六种等可能的情况；
其中点数为偶数的有种情况，
；
其中点数为奇数的有种情况，
．
游戏二：甲乙两人抛掷质地均匀的骰子，每人抛一次，若两人抛出骰子的点数之和为偶数，则甲获胜；若两人抛出骰子的点数之和为奇数，则乙获胜．
游戏者获胜说明：
甲乙两人每人抛一次，所有可能的情况列表如图所示，
从表中可以看出，共有等可能的情况种，其中两次抛掷点数和为偶数共有种可能；点数和为奇数共有种可能．
，． 

【解析】设计游戏的关键是公平，而游戏公平主要是指游戏双方关注的事件发生的概率相同．
本题是一道开放性题目，答案不唯一，设计一个公平游戏，关键是游戏者所关注的事件发生的概率相同．
 

21.【答案】解：由题意可知，在上述的变化过程中，时间是自变量，气温是因温度；
早晨时的温度是，时的温度是；
这一天的最高温度是，从最低温度到最高温度经过小时；
预测该地次日凌晨时的温度为左右，因为今天凌晨时的温度为左右． 

【解析】观察图象可求解；
观察图象可求解
观察图象，可知最高温度为，时间为时，最低温度是；
根据至时的气温判断即可．
本题考查了函数的图象，属于基础题，要求同学们具备一定的观察图象能力，能从图象中获取解题需要的信息．
 

22.【答案】解：如图所示：

含义：表示圆形的插座．答案不唯一 

【解析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．根据轴对称轴图形的定义，画出一个有且只有两条对称轴的轴对称图案即可．
本题考查利用轴对称设计图案，利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．
 

23.【答案】解：≌，理由如下：
，，，，
，
是线段的中点，
，
在和中，
，
≌；
，理由如下：
连接，

≌，
，
又，
，
，
，
，，，
，
，
． 

【解析】由“”可证≌；
由全等三角形的性质可得，由外角的性质可得，可得结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
 

24.【答案】         

【解析】解：问题转化：
探究一：
根据规律可得：在的正方形网格中，“正向正方形”的个数和是，
故答案为：；
在的正方形网格中，“正向正方形”的个数和是，
故答案为：；
探究三：
由探究一知：在的正方形网格中，“正向正方形”的个数和是，
而的正方形网格中，“斜向正方形”的个数和是，
在的正方形网格中，“格点正方形”的总数为，
由规律可得，在的正方形网格中，“斜向正方形”的个数和等于的正方形网格中，“格点正方形”的总数，
即在的正方形网格中，斜向正方形”的个数和是，
故答案为：；
问题解决：
由规律可知，的正方形网格中，“正向正方形”的个数是，
的正方形网格中，“斜向正方形”的个数和是的正方形网格中“格点正方形”的总数，
的正方形网格中，“格点正方形”的总数为，
当时，“格点正方形”的总数为，，
故答案为：；
拓展：
由的正方形网格中，“格点正方形”的总数和为知，



设，
则




，
故答案为：．
问题转化：
探究一：
根据规律的正方形网格中，“正向正方形”的个数和是；
在的正方形网格中，“正向正方形”的个数和是；
探究三：
由在的正方形网格中，“斜向正方形”的个数和等于的正方形网格中，“格点正方形”的总数可得答案；
问题解决：
由规律可知，的正方形网格中，“正向正方形”的个数是，即可得的正方形网格中，“格点正方形”的总数为；
拓展：
由可得，设，可得．
本题考查图形变化类的规律，解题的关键是探究得出的正方形网格中，“斜向正方形”的个数和是的正方形网格中“格点正方形”的总数．