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2022-2023学年山东省青岛市即墨区八年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年山东省青岛市即墨区八年级（下）期末数学试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省青岛市即墨区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为( )
A. x(a−b)=ax−bx B. x2−1+y2=(x−1)(x+1)+y2
C. x2−1=(x+1)(x−1) D. ax+bx+c=x(a+b)+c
3. 如图，射线OC是∠AOB角平分线，D是OC射线上一点，DP⊥OA于点P，DP=4，若点Q是射线OB上一点，OQ=3，则△ODQ的面积为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
4. 在如图所示的单位正方形网格中，△ABC经过单移后将到△A1B1C1，已知在AC上一点P(2.4,2)平移后的对应点为P1，点P1绕点O逆时针旋转180°，得到对应点P2，则点P2的坐标为( )
A. (1.4,1) B. (1.5,2) C. (1.6,1) D. (2.4,1)
5. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CE垂直平分线段AD于E，且CD平分∠BCE，AC=8cm，则AB=( )
A. 10cm B. 16cm C. 24cm D. 30cm
6. 如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，若AE=4，DE=3，AB=5，则AC的长为( )
A. 3 2 B. 4 2 C. 5 2 D. 5 22
7. 若关于x的不等式4x+m≥0有且仅有两个负整数解，则m的取值范围是( )
A. 8
A. ①②④ B. ①③④ C. ①②③④ D. ①④
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. 已知2x−y=1，xy=2，则4x3y−4x2y2+xy3的值为______ ．
10. 已知分式x+2x2−4x+a，当x=1时，分式无意义，则a= ______ ．
11. 如图，在△ABC中，∠B=60°，BC=18，点D在边AB上，CA=CD，BD=7，则AD的长是______ ．
12. 某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天，设现在平均每天生产x台机器，则依题意可列方程：______．
13. 如图将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在E处，若∠1=56°，∠2=42°，则∠A的度数为 ．
14. 若关于x的一元一次不等式组x−1>02x−a>0的解是x>1，则a的取值范围是______．
15. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AB=10，将△ABC沿CB方向向右平移得到△DEF，若四边形ABED的面积为20，则平移距离为______ ．
16. 在平行四边形ABCD中，AB=3，BC=5，点E为BC边上一点，且∠AEC+∠BAE=180°，点O为BD的中点，过点B作BF⊥AE于点F，连接OF，则OF的长为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题4.0分)
如图，点M、N在∠AOB的边上，∠AOB的内部求作一点P，使得四边形MONP是平行四边形.(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出结论)
结论：
18. (本小题16.0分)
计算
(1)因式分解：−8ax2+16axy−8ay2；
(2)解不等式组：2(x+3)≤4x+7x+22>x；
(3)解方程：xx−1−1=3x2−1；
(4)化简：(4−xx−1−x)÷x−2x2−x．
19. (本小题6.0分)
如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A、B都在格点上(两条网格线的交点叫格点)．
(1)将线段AB向上平移两个单位长度，点A的对应点为点A1，点B的对应点为点B1，请画出平移后的线段A1B1；
(2)将线段A1B1绕点A1按逆时针方向旋转90°，点B1的对应点为点B2，请画出旋转后的线段A1B2；
(3)连接AB2、BB2，求△ABB2的面积．
20. (本小题6.0分)
小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家，匀速行驶需要4小时．某天，他们以平常的速度行驶了12的路程时遇到了暴雨，立即将车速减少了20千米/小时，到达奶奶家时共用了5小时，问小强家到他奶奶家的距离是多少千米？
21. (本小题6.0分)
新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程x−1=3的解为x=4，而不等式组x−1>1x−2<3的解集为21x−2<3的“关联方程”．
(1)在方程①3(x+1)−x=9；②4x−7=0；③x−12+1=x中，不等式组2x−2>x−13(x−2)−x≤4的“关联方程”是______ ；(填序号)
(2)若关于x的方程2x−k=6是不等式组3x+12≥xx−12≥2x+13−2的“关联方程”，求k的取值范围？
22. (本小题8.0分)
如图，已知点A、B、C、D在一条直线上，BF、CE相交于O，AE=DF，∠E=∠F，OB=OC．
(1)求证：△ACE≌△DBF；
(2)如果把△DBF沿AD折翻折使点F落在点G，连接BE和CG. 求证：四边形BGCE是平行四边形．
23. (本小题8.0分)
某村计划对面积为1600m2的农场进行数字化硬件改造升级，经投标由甲、乙两个工程队来完成.已知甲队每天能完成改造的面积是乙队每天能完成改造面积的3倍，如果两队各自独立完成面积为720m2区域的改造时，甲队比乙队少用8天．
(1)求甲、乙两工程队每天各能完成多少面积的改造；
(2)若甲队每天改造费用是2.7万元，乙队每天改造费用为0.8万元，要使这次改造的总费用不超过22万元，则至少应安排乙工程队改造多少天？
24. (本小题8.0分)
如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AC与BD交于点E，点E是BD的中点，延长CD到点F，使DF=CD，连接AF．
(1)求证：AB=DF．
(2)若AB=4，AF=8，∠F=30°，求四边形ABCF的面积．
25. (本小题10.0分)
如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠ABC=60°，AB=8，BC=16，AD=6，E是BC的中点，点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动，点Q同时以每秒2个单位的长度的速度从点C出发，沿CB向B运动，点P停止运动时，点Q也随之停止运动，设运动时间为t秒．
(1)设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
(2)当t= ______ 时，△BPQ的面积与四边形PQCD的面积相等；
(3)当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
2.【答案】C
【解析】
【解答】
解：A、是整式的乘法运算，故选项错误；
B、右边不是整式乘积的形式，故选项错误；
C、x2−1=(x+1)(x−1)，正确；
D、右边不是整式乘积的形式，故选项错误．
故选：C．
【分析】
根据因式分解的定义作答．因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，熟练地掌握因式分解的定义是解题关键．
3.【答案】D
【解析】解：作DE⊥OB于E，如图，
∵OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA，DE⊥OB，
∴DE=DP=4，
∴S△ODQ=12×3×4=6．
故选：D．
作DE⊥OB于E，如图，根据角平分线的性质得DE=DP=4，然后根据三角形面积公式计算S△ODQ．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
4.【答案】C
【解析】解：∵A点坐标为：(2,4)，A1(−2,1)，
∴点P(2.4,2)平移后的对应点P1为：(−1.6,−1)，
∵点P1绕点O逆时针旋转180°，得到对应点P2，
∴P2点的坐标为：(1.6,1)．
故选：C．
根据平移的性质得出，△ABC的平移方向以及平移距离，即可得出P1坐标，进而利用中心对称图形的性质得出P2点的坐标．
此题主要考查了旋转的性质以及平移的性质，根据已知得出平移距离是解题关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵CE垂直平分线段AD，
∴CA=CD，
∵CE⊥AD，
∴∠ACE=∠DCE，
∵CD平分∠BCE，
∴∠BCD=∠DCE，
∴∠ACE=∠DCE=∠BCD=30°，
∴∠ACD=60°，
∵CA=CD，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠A=60°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=30°，
∴AB=2AC=16cm，
故选：B．
根据线段垂直平分线的性质得到CA=CD，根据角平分线的定义得到∠BCD=∠DCE，求出∠ABC=30°，根据含30°角的直角三角形的性质计算即可．
本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质，求出∠ABC=30°是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：如图，连接EC，
∵平行四边形ABCD中，OE⊥AC
∴EO垂直平分AC，
∵AE=4，DE=3，AB=5，
∴EC=AE=4，CD=AB=5，
∵EC2+DE2=32+42=25，CD2=25，
∴EC2+DE2=CD2，
∴△EDC是直角三角形，△AEC是等腰直角三角形，
∴AC= AE2+EC2= 16+16= 32=4 2．
故选：B．
连接EC，根据已知条件证明△EDC是直角三角形，进而可得△AEC是等腰直角三角形，根据勾股定理即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理，证明△EDC是直角三角形是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：解不等式4x+m≥0得：x≥−m4，
∵关于x的不等式4x+m≥0有且仅有两个负整数解，一定是−1和−2，
根据题意得：−3<−m4≤−2，
解得：8≤m<12．
故选D．
先解关于x的不等式，再根据不等式有三个正整数解可得关于m的不等式组，解不等式组即可得．
本题主要考查一元一次不等式的整数解，根据不等式的整数解得出关于m的不等式组是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：①连接AD，交BE于点O，
∵正六边形ABCDEF中，∠BAO=∠ABO=∠OED=∠ODE=60°，
∴△AOB和△DOE是等边三角形，
∴OA=OD，OB=OE，
∵BM=EN，
∴OM=ON，
∴四边形AMDN是平行四边形，故①符合题意；
②∵∠FAN=∠CDM，∠CDA=∠DAF，
∴∠OAN=∠ODM，
∴AN//DM，
又∵∠AON=∠DOM，OA=OD，
∴△AON≌△DOM(ASA)，
∴AN=DM，
∴四边形AMDN是平行四边形，故②符合题意；
③∵AM=DN，AB=DE，∠ABM=∠DEN，
∴△ABM与△DEN不一定全等，不能得出四边形AMDN是平行四边形，故③不符合题意；
④∵∠AMB=∠DNE，∠ABM=∠DEN，AB=DE，
∴△ABM≌△DEN(AAS)，
∴AM=DN，
∵∠AMB+∠AMN=180°，∠DNM+∠DNE=180°，
∴∠AMN=∠DNM，
∴AM//DN，
∴四边形AMDN是平行四边形，故④符合题意，
综上所述：符合题意的是①②④．
故选：A．
①连接AD，交BE于点O，证出OM=ON，由对角线互相平分的四边形是平行四边形可得出结论；②证明△AON≌△DOM(ASA)，由全等三角形的性质得出AN=DM，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得出结论；③不能证明△ABM与△DEN全等，则可得出结论；④证明△ABM≌△DEN(AAS)，得出AM=DN，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，正六边形的性质，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
9.【答案】2
【解析】解：原式=xy(4x2−4xy+y2)
=xy(2x−y)2，
∵2x−y=1，xy=2，
∴原式=2×12=2．
故答案为：2．
先对原式进行因式分解，把它转化为已知代数式组成的整式，再整体代入求值．
本题是因式分解的应用，考查了求代数式的值，因式分解，关键是通过因式分解，和整体代入的方法求值．
10.【答案】3
【解析】解：把x=1代入得：1+21−4+a=3a−3，
此时分式无意义，
∴a−3=0，
解得a=3．
故答案为：3．
把x=1代入分式，根据分式无意义得出关于a的方程，求出即可．
本题考查了分式的加减和分式无意义的条件，能得出关于a的方程是解此题的关键．
11.【答案】4
【解析】解：过点C作CE⊥AD，垂足为E，
∴∠CEB=90°，
∵∠B=60°，
∴∠BCE=90°−∠B=30°，
∵BC=18，
∴BE=12BC=9，
∵BD=7，
∴DE=BE−BD=2，
∵CA=CD，CE⊥AD，
∴AD=2DE=4，
故答案为：4．
过点C作CE⊥AD，垂足为E，根据垂直定义可得∠CEB=90°，从而可得∠BCE=30°，然后在Rt△BCE中，利用含30度角的直角三角形的性质可得BE=9，从而求出DE=2，最后利用等腰三角形的三线合一性质可得AD=2DE=4，即可解答．
本题考查了等腰直角三角形的性质，含30度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
12.【答案】450x−50−400x=1
【解析】解：设现在平均每天生产x台机器，则原计划平均每天生产(x−50)台机器，
根据题意，得450x−50−400x=1．
故答案是：450x−50−400x=1．
设现在平均每天生产x台机器，则原计划平均每天生产(x−50)台机器，根据“现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天”列出方程即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，利用本题中“生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天”这一个等量关系，进而得出分式方程是解题关键．
13.【答案】110°
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠ABD=∠CDB，
由折叠的性质得：∠EBD=∠ABD，
∴∠ABD=∠CDB=∠EBD，
∵∠1=∠CDB+∠EBD=56°，
∴∠ABD=∠CDB=28°，
∴∠A=180°−∠2−∠ABD=180°−42°−28°=110°，
故答案为：110°．
由平行四边形的性质和折叠的性质得∠ABD=∠CDB=∠EBD，再由三角形的外角性质得∠ABD=∠CDB=28°，然后由三角形内角和定理即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质是解题的关键．
14.【答案】a≤2
【解析】解：解不等式x−1>0，得：x>1，
解不等式2x−a>0，得：x>a2，
∵不等式组的解集为x>1，
∴a2≤1，
解得a≤2，
故答案为：a≤2．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大可得答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
15.【答案】4
【解析】解：在Rt△ABC中，∵∠ABC=30°，
∴AC=12AB=5，
∵△ABC沿CB向右平移得到△DEF，
∴AD=BE，AD//BE，
∴四边形ABED为平行四边形，
∵四边形ABED的面积等于20，
∴AC⋅BE=20，即5BE=20，
∴BE=4，
即平移距离等于4．
故答案为：4．
先根据含30度的直角三角形三边的关系得到AC，再根据平移的性质得AD=BE，AD//BE，于是可判断四边形ABED为平行四边形，则根据平行四边形的面积公式得到BE的方程，则可计算出BE=4，即得平移距离．
本题考查了含30°角的直角三角形的性质，平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．也考查了平行四边形的判定与性质．
16.【答案】1
【解析】解：延长BF交AD于G，如图：
∵∠AEC+∠BAE=180°，∠AEC+∠AEB=180°，
∴∠BAE=∠AEB，
∴BE=AB=3，
∵BF⊥AE，
∴AF=EF，
∵AD//BC，
∴∠FAG=∠FEB，∠FGA=∠FBE，
∴△AFG≌△EFB(AAS)，
∴AG=BE=3，BF=FG，
∴GD=AD−AG=BC−AG=5−3=2，
∵点O为BD的中点，
∴OF是△BDG中位线，
∴OF=12GD=1，
故答案为：1．
延长BF交AD于G，由∠AEC+∠BAE=180°，∠AEC+∠AEB=180°，得∠BAE=∠AEB，BE=AB=3，根据BF⊥AE，知AF=EF，可得△AFG≌△EFB(AAS)，AG=BE=3，BF=FG，故GD=AD−AG=BC−AG=2，根据OF是△BDG中位线，即得OF=12GD=1．
本题考查平行四边形性质及应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰三角形等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
17.【答案】解：如图，四边形MONP即为所求．
【解析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，作出图形即可．
本题考查作图−复杂作图，平行四边形的判定等知识，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法，属于中考常考题型．
18.【答案】解：(1)−8ax2+16axy−8ay2
=−8a(x2−2xy+y2)
=−8a(x−y)2；
(2)2(x+3)≤4x+7①x+22>x②，
解不等式①，得x≥−12，
解不等式②，得x<2，
所以不等式组的解集是−12≤x<2；
(3)xx−1−1=3x2−1，
方程两边都乘(x+1)(x−1)，得x(x+1)−(x+1)(x−1)=3，
解得：x=2，
检验：当x=2时，(x+1)(x−1)≠0，
所以分式方程的解是x=2；
(4)(4−xx−1−x)÷x−2x2−x
=4−x−x(x−1)x−1⋅x(x−1)x−2
=−x2+4x−1⋅x(x−1)x−2
=−(x+2)(x−2)x−1⋅x(x−1)x−2
=−x(x+2)
=−x2−2x．
【解析】(1)先提取公因式，再关键完全平方公式分解因式即可；
(2)先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出表示组的解集即可；
(3)方程两边都乘(x+1)(x−1)得出x(x+1)−(x+1)(x−1)=3，求出方程的解，再进行检验即可；
(4)先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，最后根据分式的乘法法则进行计算即可．
本题考查了分解因式，解一元一次不等式组，解分式方程和分式的混合运算等知识点，能熟记因式分解的方法是解(1)的关键，能根据求不等式组解集的规律是解(2)的关键，能把分式方程转化成整式方程是解(3)的关键，能正确根据分式的运算法则进行计算是解(4)的关键．
19.【答案】解：(1)线段A1B1如图所示；
(2)线段A1B2如图所示；
(3)S△ABB2=4×4−12×2×2−12×2×4−12×2×4=6．
【解析】本题考查了平移变换和旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
(1)根据网格结构找出点A1、B1的位置，然后顺次连接即可；
(2)根据网格结构找出点B2的位置，然后连接即可；
(3)利用正方形的面积减去三个三角形的面积，列式计算即可得解．
20.【答案】解：设平常的速度是x千米/小时，
根据题意，得(1−12)⋅4xx−20+2=5，
解得x=60，
经检验，x=60是原方程的根，
4×60=240(千米)，
答：小强家到他奶奶家的距离是240千米．
【解析】设平常的速度是x千米/小时，根据“到达奶奶家时共用了5小时”列分式方程，求解即可．
本题考查了分式方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
解：设平常的速度是x千米/小时，
根据题意，得(1−12)⋅4xx−20+2=5，
解得x=60，
经检验，x=60是原方程的根，
4×60=240(千米)，
答：小强家到他奶奶家的距离是240千米．
21.【答案】①②
【解析】解：(1)①3(x+1)−x=9，
3x+3−x=9，
3x−x=9−3，
2x=6，
x=3；
②4x−7=0，
4x=7，
x=74；
③x−12+1=x，
x−1+2=2x，
x−2x=1−2，
−x=−1，
x=1；
2x−2>x−1①3(x−2)−x≤4②，
解不等式①得：x>1，
解不等式②得：x≤5，
∴原不等式组的解集为：1
故答案为：①②；
(2)3x+12≥x①x−12≥2x+13−2②，
解不等式①得：x≥−1，
解不等式②得：x≤13，
∴原不等式组的解集为：−1≤x≤13，
∵2x−k=6，
∴2x=6+k，
∴x=6+k2，
∵关于x的方程2x−k=6是不等式组3x+12≥xx−12≥2x+13−2的“关联方程”，
∴−1≤6+k2≤13，
解得：−8≤k≤20，
∴k的取值范围为：−8≤k≤20．
(1)先解方程①②③，再解一元一次不等式组，然后根据关联方程”的定义即可解答；
(2)先解一元一次不等式组，再解一元一次方程，然后根据关联方程”的定义可得−1≤6+k2≤13，最后进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，解一元一次方程，一元一次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
22.【答案】证明：(1)如图1，
∵OB=OC，
∴∠ACE=∠DBF，
在△ACE和△DBF中，
∠ACE=∠DBF∠E=∠FAE=FD，
∴△ACE≌△DBF(AAS)；
(2)如图2，
∵∠ACE=∠DBF，∠DBG=∠DBF，
∴∠ACE=∠DBG，
∴CE//BG，
∵CE=BF，BG=BF，
∴CE=BG，
∴四边形BGCE是平行四边形．
【解析】(1)直接利用等腰三角形的性质结合全等三角形的判定与性质得出即可；
(2)利用翻折变换的性质得出∠DBG=∠DBF，再利用平行线的判定方法得出CE//BG，进而求出四边形BGCE是平行四边形．
此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的判定等知识，得出CE//BG是解题关键．
23.【答案】解：(1)设乙工程队每天能完成xm2的改造，则甲工程队每天能完成3xm2的改造，
依题意得：720x−7203x=8，
解得：x=60，
经检验，x=60是原方程的解，且符合题意，
∴3x=180．
答：甲工程队每天能完成180m2的改造，乙工程队每天能完成60m2的改造．
(2)设应安排乙工程队改造a天，则安排甲工程队改造1600−60a180天，
依题意得：2.7×1600−60a180+0.8×a≤22，
解得：a≥20．
答：至少应安排乙工程队改造20天．
【解析】(1)设乙工程队每天能完成xm2的改造，则甲工程队每天能完成3xm2的改造，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合“两队各自独立完成面积为720m2区域的改造时，甲队比乙队少用8天”，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
(2)设应安排乙工程队改造a天，则安排甲工程队改造1600−60a180天，根据社区要使这次改造的总费用不超过22万元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
24.【答案】(1)证明：∵点E是BD的中点，
∴BE=DE，
∵AD//BC，
∴∠ADE=∠CBE，
在△ADE和△CBE中，
∠ADE=∠CBEDE=BE∠AED=∠CEB，
∴△ADE≌△CBE(ASA)，
∴AE=CE，
∵AE=CE，BE=DE，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，
∵DF=CD，
∴DF=AB；
(2)解：∵AE=CE，BE=DE，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，
∵DF=CD，
∴DF=AB，
又∵DF//AB，
∴四边形ABDF是平行四边形；
过C作CH⊥BD于H，过D作DQ⊥AF于Q，如图所示：
∵四边形ABCD和四边形ABDF是平行四边形，AB=4，AF=8，∠F=30°，
∴DF=AB=4，CD=AB=4，BD=AF=8，BD//AF，
∴∠BDC=∠F=30°，
∵CH⊥BD，DQ⊥AF，
∴∠CHD=∠DQF=90°，
∴DQ=12DF=2，CH=12DC=2，
∴四边形ABCF的面积=S平行四边形ABDF+S△BDC=AF×DQ+12×BD×CH=8×2+×8×2=24．
【解析】(1)由平行线的性质得∠ADE=∠CBE，再由ASA证明△ADE≌△CBE，根据平行四边形的性质即可得出结论；
(2)过C作CH⊥BD于H，过D作DQ⊥AF于Q，求出高DQ和CH，再根据面积公式求出即可．
本题考查了平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、三角形的面积等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△ADE≌△CBE是解此题的关键．
25.【答案】103
【解析】解：(1)作AM⊥BC于M，如图所示：则∠AMB=90°，
∵∠ABC=60°，
∴∠BAM=30°，
∴BM=12AB=4，AM= 3BM=4 3，
由题意得CQ=2t，
∴BQ=BC−CQ=16−2t，
∴△BPQ的面积为S=12BQ×AM=12(16−2t)×4 3=−4 3t+32 3，
即S=−4 3t+32 3(0
∵AD//BC，
∴四边形PQCD的面积=12(PD+CQ)×AM=12(6−t+2t)×4 3=12 3+2 3t，
∵△BPQ的面积=四边形PQCD的面积相等，
∴−4 3t+32 3=12 3+2 3t，
解得：t=103，
即t=103时，△BPQ的面积与四边形PQCD的面积相等；
故答案为：103；
(3)解：∵AD//BC，则点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形时，PD=EQ，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE=12BC=8，
分两种情况：
①当Q运动到E和B之间，则得：
2t−8=6−t，
解得：t=143，
②当Q运动到E和C之间，则得：8−2t=6−t，
解得：t=2，
综上所述，当运动时间t为2秒或143秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
(1)作AM⊥BC于M，求出∠BAM=30°，由直角三角形的性质得出BM=12AB=4，AM= 3BM=4 3，由题意得CQ=2t，得出BQ=BC−CQ=16−2t，由三角形面积公式即可得出答案；
(2)由题意得；AP=t，CQ=2t，则PD=AD−AP=6−t，由梯形面积公式求出四边形PQCD的面积=12(PD+CQ)×AM=12(6−t+2t)×4 3=12 3+2 3t，由题意得出方程，解方程即可；
(3)有两种情况，①当Q运动到E和B之间，②当Q运动到E和C之间，根据平行四边形的判定，由AD//BC，所以当PD=QE时为平行四边形．根据此设运动时间为t，列出关于t的方程求解．
本题是四边形综合题目，考查了梯形的性质、平行四边形的性质、三角形面积公式、含30°角的直角三角形的性质、梯形面积公式等知识；本题综合性强，熟练掌握梯形的性质和直角三角形的性质是解题的关键．
2022-2023学年山东省青岛市即墨区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为( )
A. x(a−b)=ax−bx B. x2−1+y2=(x−1)(x+1)+y2
C. x2−1=(x+1)(x−1) D. ax+bx+c=x(a+b)+c
3. 如图，射线OC是∠AOB角平分线，D是OC射线上一点，DP⊥OA于点P，DP=4，若点Q是射线OB上一点，OQ=3，则△ODQ的面积为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
4. 在如图所示的单位正方形网格中，△ABC经过单移后将到△A1B1C1，已知在AC上一点P(2.4,2)平移后的对应点为P1，点P1绕点O逆时针旋转180°，得到对应点P2，则点P2的坐标为( )
A. (1.4,1) B. (1.5,2) C. (1.6,1) D. (2.4,1)
5. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CE垂直平分线段AD于E，且CD平分∠BCE，AC=8cm，则AB=( )
A. 10cm B. 16cm C. 24cm D. 30cm
6. 如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，若AE=4，DE=3，AB=5，则AC的长为( )
A. 3 2 B. 4 2 C. 5 2 D. 5 22
7. 若关于x的不等式4x+m≥0有且仅有两个负整数解，则m的取值范围是( )
A. 8
A. ①②④ B. ①③④ C. ①②③④ D. ①④
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. 已知2x−y=1，xy=2，则4x3y−4x2y2+xy3的值为______ ．
10. 已知分式x+2x2−4x+a，当x=1时，分式无意义，则a= ______ ．
11. 如图，在△ABC中，∠B=60°，BC=18，点D在边AB上，CA=CD，BD=7，则AD的长是______ ．
12. 某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天，设现在平均每天生产x台机器，则依题意可列方程：______．
13. 如图将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在E处，若∠1=56°，∠2=42°，则∠A的度数为 ．
14. 若关于x的一元一次不等式组x−1>02x−a>0的解是x>1，则a的取值范围是______．
15. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AB=10，将△ABC沿CB方向向右平移得到△DEF，若四边形ABED的面积为20，则平移距离为______ ．
16. 在平行四边形ABCD中，AB=3，BC=5，点E为BC边上一点，且∠AEC+∠BAE=180°，点O为BD的中点，过点B作BF⊥AE于点F，连接OF，则OF的长为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题4.0分)
如图，点M、N在∠AOB的边上，∠AOB的内部求作一点P，使得四边形MONP是平行四边形.(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出结论)
结论：
18. (本小题16.0分)
计算
(1)因式分解：−8ax2+16axy−8ay2；
(2)解不等式组：2(x+3)≤4x+7x+22>x；
(3)解方程：xx−1−1=3x2−1；
(4)化简：(4−xx−1−x)÷x−2x2−x．
19. (本小题6.0分)
如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A、B都在格点上(两条网格线的交点叫格点)．
(1)将线段AB向上平移两个单位长度，点A的对应点为点A1，点B的对应点为点B1，请画出平移后的线段A1B1；
(2)将线段A1B1绕点A1按逆时针方向旋转90°，点B1的对应点为点B2，请画出旋转后的线段A1B2；
(3)连接AB2、BB2，求△ABB2的面积．
20. (本小题6.0分)
小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家，匀速行驶需要4小时．某天，他们以平常的速度行驶了12的路程时遇到了暴雨，立即将车速减少了20千米/小时，到达奶奶家时共用了5小时，问小强家到他奶奶家的距离是多少千米？
21. (本小题6.0分)
新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程x−1=3的解为x=4，而不等式组x−1>1x−2<3的解集为2
(1)在方程①3(x+1)−x=9；②4x−7=0；③x−12+1=x中，不等式组2x−2>x−13(x−2)−x≤4的“关联方程”是______ ；(填序号)
(2)若关于x的方程2x−k=6是不等式组3x+12≥xx−12≥2x+13−2的“关联方程”，求k的取值范围？
22. (本小题8.0分)
如图，已知点A、B、C、D在一条直线上，BF、CE相交于O，AE=DF，∠E=∠F，OB=OC．
(1)求证：△ACE≌△DBF；
(2)如果把△DBF沿AD折翻折使点F落在点G，连接BE和CG. 求证：四边形BGCE是平行四边形．
23. (本小题8.0分)
某村计划对面积为1600m2的农场进行数字化硬件改造升级，经投标由甲、乙两个工程队来完成.已知甲队每天能完成改造的面积是乙队每天能完成改造面积的3倍，如果两队各自独立完成面积为720m2区域的改造时，甲队比乙队少用8天．
(1)求甲、乙两工程队每天各能完成多少面积的改造；
(2)若甲队每天改造费用是2.7万元，乙队每天改造费用为0.8万元，要使这次改造的总费用不超过22万元，则至少应安排乙工程队改造多少天？
24. (本小题8.0分)
如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AC与BD交于点E，点E是BD的中点，延长CD到点F，使DF=CD，连接AF．
(1)求证：AB=DF．
(2)若AB=4，AF=8，∠F=30°，求四边形ABCF的面积．
25. (本小题10.0分)
如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠ABC=60°，AB=8，BC=16，AD=6，E是BC的中点，点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动，点Q同时以每秒2个单位的长度的速度从点C出发，沿CB向B运动，点P停止运动时，点Q也随之停止运动，设运动时间为t秒．
(1)设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
(2)当t= ______ 时，△BPQ的面积与四边形PQCD的面积相等；
(3)当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
2.【答案】C
【解析】
【解答】
解：A、是整式的乘法运算，故选项错误；
B、右边不是整式乘积的形式，故选项错误；
C、x2−1=(x+1)(x−1)，正确；
D、右边不是整式乘积的形式，故选项错误．
故选：C．
【分析】
根据因式分解的定义作答．因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，熟练地掌握因式分解的定义是解题关键．
3.【答案】D
【解析】解：作DE⊥OB于E，如图，
∵OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA，DE⊥OB，
∴DE=DP=4，
∴S△ODQ=12×3×4=6．
故选：D．
作DE⊥OB于E，如图，根据角平分线的性质得DE=DP=4，然后根据三角形面积公式计算S△ODQ．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
4.【答案】C
【解析】解：∵A点坐标为：(2,4)，A1(−2,1)，
∴点P(2.4,2)平移后的对应点P1为：(−1.6,−1)，
∵点P1绕点O逆时针旋转180°，得到对应点P2，
∴P2点的坐标为：(1.6,1)．
故选：C．
根据平移的性质得出，△ABC的平移方向以及平移距离，即可得出P1坐标，进而利用中心对称图形的性质得出P2点的坐标．
此题主要考查了旋转的性质以及平移的性质，根据已知得出平移距离是解题关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵CE垂直平分线段AD，
∴CA=CD，
∵CE⊥AD，
∴∠ACE=∠DCE，
∵CD平分∠BCE，
∴∠BCD=∠DCE，
∴∠ACE=∠DCE=∠BCD=30°，
∴∠ACD=60°，
∵CA=CD，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠A=60°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=30°，
∴AB=2AC=16cm，
故选：B．
根据线段垂直平分线的性质得到CA=CD，根据角平分线的定义得到∠BCD=∠DCE，求出∠ABC=30°，根据含30°角的直角三角形的性质计算即可．
本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质，求出∠ABC=30°是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：如图，连接EC，
∵平行四边形ABCD中，OE⊥AC
∴EO垂直平分AC，
∵AE=4，DE=3，AB=5，
∴EC=AE=4，CD=AB=5，
∵EC2+DE2=32+42=25，CD2=25，
∴EC2+DE2=CD2，
∴△EDC是直角三角形，△AEC是等腰直角三角形，
∴AC= AE2+EC2= 16+16= 32=4 2．
故选：B．
连接EC，根据已知条件证明△EDC是直角三角形，进而可得△AEC是等腰直角三角形，根据勾股定理即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理，证明△EDC是直角三角形是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：解不等式4x+m≥0得：x≥−m4，
∵关于x的不等式4x+m≥0有且仅有两个负整数解，一定是−1和−2，
根据题意得：−3<−m4≤−2，
解得：8≤m<12．
故选D．
先解关于x的不等式，再根据不等式有三个正整数解可得关于m的不等式组，解不等式组即可得．
本题主要考查一元一次不等式的整数解，根据不等式的整数解得出关于m的不等式组是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：①连接AD，交BE于点O，
∵正六边形ABCDEF中，∠BAO=∠ABO=∠OED=∠ODE=60°，
∴△AOB和△DOE是等边三角形，
∴OA=OD，OB=OE，
∵BM=EN，
∴OM=ON，
∴四边形AMDN是平行四边形，故①符合题意；
②∵∠FAN=∠CDM，∠CDA=∠DAF，
∴∠OAN=∠ODM，
∴AN//DM，
又∵∠AON=∠DOM，OA=OD，
∴△AON≌△DOM(ASA)，
∴AN=DM，
∴四边形AMDN是平行四边形，故②符合题意；
③∵AM=DN，AB=DE，∠ABM=∠DEN，
∴△ABM与△DEN不一定全等，不能得出四边形AMDN是平行四边形，故③不符合题意；
④∵∠AMB=∠DNE，∠ABM=∠DEN，AB=DE，
∴△ABM≌△DEN(AAS)，
∴AM=DN，
∵∠AMB+∠AMN=180°，∠DNM+∠DNE=180°，
∴∠AMN=∠DNM，
∴AM//DN，
∴四边形AMDN是平行四边形，故④符合题意，
综上所述：符合题意的是①②④．
故选：A．
①连接AD，交BE于点O，证出OM=ON，由对角线互相平分的四边形是平行四边形可得出结论；②证明△AON≌△DOM(ASA)，由全等三角形的性质得出AN=DM，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得出结论；③不能证明△ABM与△DEN全等，则可得出结论；④证明△ABM≌△DEN(AAS)，得出AM=DN，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，正六边形的性质，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
9.【答案】2
【解析】解：原式=xy(4x2−4xy+y2)
=xy(2x−y)2，
∵2x−y=1，xy=2，
∴原式=2×12=2．
故答案为：2．
先对原式进行因式分解，把它转化为已知代数式组成的整式，再整体代入求值．
本题是因式分解的应用，考查了求代数式的值，因式分解，关键是通过因式分解，和整体代入的方法求值．
10.【答案】3
【解析】解：把x=1代入得：1+21−4+a=3a−3，
此时分式无意义，
∴a−3=0，
解得a=3．
故答案为：3．
把x=1代入分式，根据分式无意义得出关于a的方程，求出即可．
本题考查了分式的加减和分式无意义的条件，能得出关于a的方程是解此题的关键．
11.【答案】4
【解析】解：过点C作CE⊥AD，垂足为E，
∴∠CEB=90°，
∵∠B=60°，
∴∠BCE=90°−∠B=30°，
∵BC=18，
∴BE=12BC=9，
∵BD=7，
∴DE=BE−BD=2，
∵CA=CD，CE⊥AD，
∴AD=2DE=4，
故答案为：4．
过点C作CE⊥AD，垂足为E，根据垂直定义可得∠CEB=90°，从而可得∠BCE=30°，然后在Rt△BCE中，利用含30度角的直角三角形的性质可得BE=9，从而求出DE=2，最后利用等腰三角形的三线合一性质可得AD=2DE=4，即可解答．
本题考查了等腰直角三角形的性质，含30度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
12.【答案】450x−50−400x=1
【解析】解：设现在平均每天生产x台机器，则原计划平均每天生产(x−50)台机器，
根据题意，得450x−50−400x=1．
故答案是：450x−50−400x=1．
设现在平均每天生产x台机器，则原计划平均每天生产(x−50)台机器，根据“现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天”列出方程即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，利用本题中“生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天”这一个等量关系，进而得出分式方程是解题关键．
13.【答案】110°
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠ABD=∠CDB，
由折叠的性质得：∠EBD=∠ABD，
∴∠ABD=∠CDB=∠EBD，
∵∠1=∠CDB+∠EBD=56°，
∴∠ABD=∠CDB=28°，
∴∠A=180°−∠2−∠ABD=180°−42°−28°=110°，
故答案为：110°．
由平行四边形的性质和折叠的性质得∠ABD=∠CDB=∠EBD，再由三角形的外角性质得∠ABD=∠CDB=28°，然后由三角形内角和定理即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质是解题的关键．
14.【答案】a≤2
【解析】解：解不等式x−1>0，得：x>1，
解不等式2x−a>0，得：x>a2，
∵不等式组的解集为x>1，
∴a2≤1，
解得a≤2，
故答案为：a≤2．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大可得答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
15.【答案】4
【解析】解：在Rt△ABC中，∵∠ABC=30°，
∴AC=12AB=5，
∵△ABC沿CB向右平移得到△DEF，
∴AD=BE，AD//BE，
∴四边形ABED为平行四边形，
∵四边形ABED的面积等于20，
∴AC⋅BE=20，即5BE=20，
∴BE=4，
即平移距离等于4．
故答案为：4．
先根据含30度的直角三角形三边的关系得到AC，再根据平移的性质得AD=BE，AD//BE，于是可判断四边形ABED为平行四边形，则根据平行四边形的面积公式得到BE的方程，则可计算出BE=4，即得平移距离．
本题考查了含30°角的直角三角形的性质，平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．也考查了平行四边形的判定与性质．
16.【答案】1
【解析】解：延长BF交AD于G，如图：
∵∠AEC+∠BAE=180°，∠AEC+∠AEB=180°，
∴∠BAE=∠AEB，
∴BE=AB=3，
∵BF⊥AE，
∴AF=EF，
∵AD//BC，
∴∠FAG=∠FEB，∠FGA=∠FBE，
∴△AFG≌△EFB(AAS)，
∴AG=BE=3，BF=FG，
∴GD=AD−AG=BC−AG=5−3=2，
∵点O为BD的中点，
∴OF是△BDG中位线，
∴OF=12GD=1，
故答案为：1．
延长BF交AD于G，由∠AEC+∠BAE=180°，∠AEC+∠AEB=180°，得∠BAE=∠AEB，BE=AB=3，根据BF⊥AE，知AF=EF，可得△AFG≌△EFB(AAS)，AG=BE=3，BF=FG，故GD=AD−AG=BC−AG=2，根据OF是△BDG中位线，即得OF=12GD=1．
本题考查平行四边形性质及应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰三角形等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
17.【答案】解：如图，四边形MONP即为所求．
【解析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，作出图形即可．
本题考查作图−复杂作图，平行四边形的判定等知识，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法，属于中考常考题型．
18.【答案】解：(1)−8ax2+16axy−8ay2
=−8a(x2−2xy+y2)
=−8a(x−y)2；
(2)2(x+3)≤4x+7①x+22>x②，
解不等式①，得x≥−12，
解不等式②，得x<2，
所以不等式组的解集是−12≤x<2；
(3)xx−1−1=3x2−1，
方程两边都乘(x+1)(x−1)，得x(x+1)−(x+1)(x−1)=3，
解得：x=2，
检验：当x=2时，(x+1)(x−1)≠0，
所以分式方程的解是x=2；
(4)(4−xx−1−x)÷x−2x2−x
=4−x−x(x−1)x−1⋅x(x−1)x−2
=−x2+4x−1⋅x(x−1)x−2
=−(x+2)(x−2)x−1⋅x(x−1)x−2
=−x(x+2)
=−x2−2x．
【解析】(1)先提取公因式，再关键完全平方公式分解因式即可；
(2)先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出表示组的解集即可；
(3)方程两边都乘(x+1)(x−1)得出x(x+1)−(x+1)(x−1)=3，求出方程的解，再进行检验即可；
(4)先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，最后根据分式的乘法法则进行计算即可．
本题考查了分解因式，解一元一次不等式组，解分式方程和分式的混合运算等知识点，能熟记因式分解的方法是解(1)的关键，能根据求不等式组解集的规律是解(2)的关键，能把分式方程转化成整式方程是解(3)的关键，能正确根据分式的运算法则进行计算是解(4)的关键．
19.【答案】解：(1)线段A1B1如图所示；
(2)线段A1B2如图所示；
(3)S△ABB2=4×4−12×2×2−12×2×4−12×2×4=6．
【解析】本题考查了平移变换和旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
(1)根据网格结构找出点A1、B1的位置，然后顺次连接即可；
(2)根据网格结构找出点B2的位置，然后连接即可；
(3)利用正方形的面积减去三个三角形的面积，列式计算即可得解．
20.【答案】解：设平常的速度是x千米/小时，
根据题意，得(1−12)⋅4xx−20+2=5，
解得x=60，
经检验，x=60是原方程的根，
4×60=240(千米)，
答：小强家到他奶奶家的距离是240千米．
【解析】设平常的速度是x千米/小时，根据“到达奶奶家时共用了5小时”列分式方程，求解即可．
本题考查了分式方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
解：设平常的速度是x千米/小时，
根据题意，得(1−12)⋅4xx−20+2=5，
解得x=60，
经检验，x=60是原方程的根，
4×60=240(千米)，
答：小强家到他奶奶家的距离是240千米．
21.【答案】①②
【解析】解：(1)①3(x+1)−x=9，
3x+3−x=9，
3x−x=9−3，
2x=6，
x=3；
②4x−7=0，
4x=7，
x=74；
③x−12+1=x，
x−1+2=2x，
x−2x=1−2，
−x=−1，
x=1；
2x−2>x−1①3(x−2)−x≤4②，
解不等式①得：x>1，
解不等式②得：x≤5，
∴原不等式组的解集为：1
故答案为：①②；
(2)3x+12≥x①x−12≥2x+13−2②，
解不等式①得：x≥−1，
解不等式②得：x≤13，
∴原不等式组的解集为：−1≤x≤13，
∵2x−k=6，
∴2x=6+k，
∴x=6+k2，
∵关于x的方程2x−k=6是不等式组3x+12≥xx−12≥2x+13−2的“关联方程”，
∴−1≤6+k2≤13，
解得：−8≤k≤20，
∴k的取值范围为：−8≤k≤20．
(1)先解方程①②③，再解一元一次不等式组，然后根据关联方程”的定义即可解答；
(2)先解一元一次不等式组，再解一元一次方程，然后根据关联方程”的定义可得−1≤6+k2≤13，最后进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，解一元一次方程，一元一次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
22.【答案】证明：(1)如图1，
∵OB=OC，
∴∠ACE=∠DBF，
在△ACE和△DBF中，
∠ACE=∠DBF∠E=∠FAE=FD，
∴△ACE≌△DBF(AAS)；
(2)如图2，
∵∠ACE=∠DBF，∠DBG=∠DBF，
∴∠ACE=∠DBG，
∴CE//BG，
∵CE=BF，BG=BF，
∴CE=BG，
∴四边形BGCE是平行四边形．
【解析】(1)直接利用等腰三角形的性质结合全等三角形的判定与性质得出即可；
(2)利用翻折变换的性质得出∠DBG=∠DBF，再利用平行线的判定方法得出CE//BG，进而求出四边形BGCE是平行四边形．
此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的判定等知识，得出CE//BG是解题关键．
23.【答案】解：(1)设乙工程队每天能完成xm2的改造，则甲工程队每天能完成3xm2的改造，
依题意得：720x−7203x=8，
解得：x=60，
经检验，x=60是原方程的解，且符合题意，
∴3x=180．
答：甲工程队每天能完成180m2的改造，乙工程队每天能完成60m2的改造．
(2)设应安排乙工程队改造a天，则安排甲工程队改造1600−60a180天，
依题意得：2.7×1600−60a180+0.8×a≤22，
解得：a≥20．
答：至少应安排乙工程队改造20天．
【解析】(1)设乙工程队每天能完成xm2的改造，则甲工程队每天能完成3xm2的改造，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合“两队各自独立完成面积为720m2区域的改造时，甲队比乙队少用8天”，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
(2)设应安排乙工程队改造a天，则安排甲工程队改造1600−60a180天，根据社区要使这次改造的总费用不超过22万元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
24.【答案】(1)证明：∵点E是BD的中点，
∴BE=DE，
∵AD//BC，
∴∠ADE=∠CBE，
在△ADE和△CBE中，
∠ADE=∠CBEDE=BE∠AED=∠CEB，
∴△ADE≌△CBE(ASA)，
∴AE=CE，
∵AE=CE，BE=DE，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，
∵DF=CD，
∴DF=AB；
(2)解：∵AE=CE，BE=DE，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，
∵DF=CD，
∴DF=AB，
又∵DF//AB，
∴四边形ABDF是平行四边形；
过C作CH⊥BD于H，过D作DQ⊥AF于Q，如图所示：
∵四边形ABCD和四边形ABDF是平行四边形，AB=4，AF=8，∠F=30°，
∴DF=AB=4，CD=AB=4，BD=AF=8，BD//AF，
∴∠BDC=∠F=30°，
∵CH⊥BD，DQ⊥AF，
∴∠CHD=∠DQF=90°，
∴DQ=12DF=2，CH=12DC=2，
∴四边形ABCF的面积=S平行四边形ABDF+S△BDC=AF×DQ+12×BD×CH=8×2+×8×2=24．
【解析】(1)由平行线的性质得∠ADE=∠CBE，再由ASA证明△ADE≌△CBE，根据平行四边形的性质即可得出结论；
(2)过C作CH⊥BD于H，过D作DQ⊥AF于Q，求出高DQ和CH，再根据面积公式求出即可．
本题考查了平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、三角形的面积等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△ADE≌△CBE是解此题的关键．
25.【答案】103
【解析】解：(1)作AM⊥BC于M，如图所示：则∠AMB=90°，
∵∠ABC=60°，
∴∠BAM=30°，
∴BM=12AB=4，AM= 3BM=4 3，
由题意得CQ=2t，
∴BQ=BC−CQ=16−2t，
∴△BPQ的面积为S=12BQ×AM=12(16−2t)×4 3=−4 3t+32 3，
即S=−4 3t+32 3(0
∵AD//BC，
∴四边形PQCD的面积=12(PD+CQ)×AM=12(6−t+2t)×4 3=12 3+2 3t，
∵△BPQ的面积=四边形PQCD的面积相等，
∴−4 3t+32 3=12 3+2 3t，
解得：t=103，
即t=103时，△BPQ的面积与四边形PQCD的面积相等；
故答案为：103；
(3)解：∵AD//BC，则点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形时，PD=EQ，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE=12BC=8，
分两种情况：
①当Q运动到E和B之间，则得：
2t−8=6−t，
解得：t=143，
②当Q运动到E和C之间，则得：8−2t=6−t，
解得：t=2，
综上所述，当运动时间t为2秒或143秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
(1)作AM⊥BC于M，求出∠BAM=30°，由直角三角形的性质得出BM=12AB=4，AM= 3BM=4 3，由题意得CQ=2t，得出BQ=BC−CQ=16−2t，由三角形面积公式即可得出答案；
(2)由题意得；AP=t，CQ=2t，则PD=AD−AP=6−t，由梯形面积公式求出四边形PQCD的面积=12(PD+CQ)×AM=12(6−t+2t)×4 3=12 3+2 3t，由题意得出方程，解方程即可；
(3)有两种情况，①当Q运动到E和B之间，②当Q运动到E和C之间，根据平行四边形的判定，由AD//BC，所以当PD=QE时为平行四边形．根据此设运动时间为t，列出关于t的方程求解．
本题是四边形综合题目，考查了梯形的性质、平行四边形的性质、三角形面积公式、含30°角的直角三角形的性质、梯形面积公式等知识；本题综合性强，熟练掌握梯形的性质和直角三角形的性质是解题的关键．
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