2021年中考数学专题测试25 平行四边形

这是一份2021年中考数学专题测试25 平行四边形，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题25 平行四边形
（满分：100分 时间：90分钟）
班级_________ 姓名_________学号_________ 分数_________
一、单选题(共10小题，每小题3分，共计30分)
1．（2020·河北中考真题）如图，将绕边的中点顺时针旋转180°．嘉淇发现，旋转后的与构成平行四边形，并推理如下：
点，分别转到了点，处，
而点转到了点处．
∵，
∴四边形是平行四边形．

小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵，”和“∴四边形……”之间作补充．下列正确的是（）
A．嘉淇推理严谨，不必补充 B．应补充：且，
C．应补充：且 D．应补充：且，
2．（2020·山东潍坊市·中考真题）如图，点E是的边上的一点，且，连接并延长交的延长线于点F，若，则的周长为（）

A．21 B．28 C．34 D．42
3．（2020·四川遂宁市·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（　　）

A． B． C． D．
4．（2020·宁夏中考真题）如图，菱形的边长为13，对角线，点E、F分别是边、的中点，连接并延长与的延长线相交于点G，则（）

A．13 B．10 C．12 D．5
5．（2020·贵州毕节市·中考真题）如图，在矩形中，对角线，相交于点，点，分别是，的中点，连接，若，，则的长是（）

A． B． C． D．
6．（2020·辽宁葫芦岛市·中考真题）一个零件的形状如图所示，，则的度数是（）

A．70° B．80° C．90° D．100°
7．（2019·山东临沂市·中考真题）如图，在平行四边形中，、是上两点，，连接、、、，添加一个条件，使四边形是矩形，这个条件是( )

A． B．
C． D．
8．（2020·山东临沂市·中考真题）如图，P是面积为S的内任意一点，的面积为，的面积为，则（ ）

A． B．
C． D．的大小与P点位置有关
9．（2020·四川宜宾市·中考真题）如图，M，N分别是的边AB，AC的中点，若，则=（）

A． B． C． D．
10．（2020·四川南充市·中考真题）如图，面积为S的菱形ABCD中，点O为对角线的交点，点E是线段BC单位中点，过点E作EF⊥BD于F，EG⊥AC与G，则四边形EFOG的面积为（）

A． B． C． D．
二、填空题(共5小题，每小题4分，共计20分)
11．（2020·广东广州市·中考真题）如图，点的坐标为，点在轴上，把沿轴向右平移到，若四边形的面积为9，则点的坐标为_______．

12．（2020·广东深圳市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，ABCO为平行四边形，O（0，0），A（3，1），B（1，2），反比例函数的图象经过OABC的顶点C，则k=___．

13．（2020·辽宁鞍山市·中考真题）如图，在中，点E是的中点，，的延长线交于点F．若的面积为1，则四边形的面积为________．

14．（2020·吉林中考真题）如图，在中，，分别是边，的中点．若的面积为．则四边形的面积为_______．

15．（2020·浙江金华市·中考真题）如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数是______°．

三、解答题(共5小题，每小题10分，共计50分)
16．（2020·四川乐山市·中考真题）点是平行四边形的对角线所在直线上的一个动点（点不与点、重合），分别过点、向直线作垂线，垂足分别为点、．点为的中点．
（1）如图1，当点与点重合时，线段和的关系是；
（2）当点运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？
（3）如图3，点在线段的延长线上运动，当时，试探究线段、、之间的关系．

17．（2020·山东济南市·中考真题）如图，在▱ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 O 的一条直线分别交 AD，BC 于点 E，F．求证：AE=CF．

18．（2020·广东广州市·中考真题）如图，平面直角坐标系中，的边在轴上，对角线，交于点，函数的图象经过点和点．

（1）求的值和点的坐标；
（2）求的周长．
19．（2020·吉林长春市·中考真题）如图，在中，是对角线、的交点，，，垂足分别为点、．

（1）求证：．
（2）若，，求的值．
20．（2020·黑龙江大庆市·中考真题）如图，在矩形中，为对角线的中点，过点作直线分别与矩形的边，交于，两点，连接，．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，且，求的长










一、单选题(共10小题，每小题3分，共计30分)
1．（2020·河北中考真题）如图，将绕边的中点顺时针旋转180°．嘉淇发现，旋转后的与构成平行四边形，并推理如下：
点，分别转到了点，处，
而点转到了点处．
∵，
∴四边形是平行四边形．

小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵，”和“∴四边形……”之间作补充．下列正确的是（）
A．嘉淇推理严谨，不必补充 B．应补充：且，
C．应补充：且 D．应补充：且，
【答案】B
【分析】
根据平行四边形的判定方法“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”即可作答．
【详解】
根据旋转的性质得： CB=AD，AB=CD，
∴四边形ABDC是平行四边形；
故应补充“AB=CD”，
故选：B．
2．（2020·山东潍坊市·中考真题）如图，点E是的边上的一点，且，连接并延长交的延长线于点F，若，则的周长为（）

A．21 B．28 C．34 D．42
【答案】C
【分析】
根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CF，AB=CD，
∴△ABE∽△DFE，
∴，
∵，
∴AE=6，AB=8，
∴AD=AE+DE=6+3=9，
∴的周长为：（8+9）×2=34．
故选：C．
3．（2020·四川遂宁市·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，证明AB＝AF＝2k，DF＝DG＝k，再利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．
【详解】
解：由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBG，
∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G，
∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k，
∴CG＝CD+DG＝3k，
∵AB∥DG，
∴△ABE∽△CGE，
∴，
故选：C．
4．（2020·宁夏中考真题）如图，菱形的边长为13，对角线，点E、F分别是边、的中点，连接并延长与的延长线相交于点G，则（）

A．13 B．10 C．12 D．5
【答案】B
【分析】
连接对角线BD，交AC于点O，求证四边形BDEG是平行四边形，EG=BD，利用勾股定理求出OD的长，BD=2OD，即可求出EG．
【详解】
连接BD，交AC于点O，
由题意知：菱形ABCD的边长为13，点E、F分别是边CD、BC的中点，
∴AB=BC=CD=DA=13， EFBD，
∵AC、BD是菱形的对角线，AC=24，
∴AC⊥BD，AO=CO=12，OB=OD，
又∵ABCD，EFBD
∴DEBG，BDEG
在四边形BDEG中，
∵DEBG，BDEG
∴四边形BDEG是平行四边形
∴BD=EG
在△COD中，
∵OC⊥OD，CD=13，CO=12
∴OD=OB=5
∴BD=EG=10
故选B．

5．（2020·贵州毕节市·中考真题）如图，在矩形中，对角线，相交于点，点，分别是，的中点，连接，若，，则的长是（）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由勾股定理求出BD的长，根据矩形的性质求出OD的长，最后根据三角形中位线定理得出EF的长即可．
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AC=BD，OA=OC=OD=OB，
∵，，
∴AC=
∴BD=10cm，
∴，
∵点，分别是，的中点，
∴．
故选：D．
6．（2020·辽宁葫芦岛市·中考真题）一个零件的形状如图所示，，则的度数是（）

A．70° B．80° C．90° D．100°
【答案】B
【分析】
延长DE与BC交于点F，则四边形ABFD是平行四边形，则∠A=∠F，利用三角形内角和定理，即可求出答案．
【详解】
解：延长DE与BC交于点F，如图：

∵，
∴四边形ABFD是平行四边形，
∴∠A=∠F，
在△BDF中，，
∴，
∴∠A=80°；
故选：B．
7．（2019·山东临沂市·中考真题）如图，在平行四边形中，、是上两点，，连接、、、，添加一个条件，使四边形是矩形，这个条件是( )

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由平行四边形的性质可知：，，再证明即可证明四边形是平行四边形．
【详解】
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵对角线上的两点、满足，
∴，即，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
故选A．
8．（2020·山东临沂市·中考真题）如图，P是面积为S的内任意一点，的面积为，的面积为，则（ ）

A． B．
C． D．的大小与P点位置有关
【答案】C
【分析】
过点P作AD的垂线PF，交AD于F，再延长FP交BC于点E，表示出S1+ S2，得到即可．
【详解】
解：如图，过点P作AD的垂线PF，交AD于F，再延长FP交BC于点E，
根据平行四边形的性质可知PE⊥BC，AD=BC，
∴S1=AD×PF，S2=BC×PE，
∴S1+ S2
=AD×PF+BC×PE
=AD×（PE+PE）
=AD×EF
=S，
故选C．

9．（2020·四川宜宾市·中考真题）如图，M，N分别是的边AB，AC的中点，若，则=（）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由M，N分别是的边AB，AC的中点，可知MN为△ABC的中位线，即可得到，从而可求出∠B的值．
【详解】
解：∵M，N分别是的边AB，AC的中点，
∴MN∥BC，
∴∠ANM=∠C，
∵，
∴，
又∵
∴，
故选：D．
10．（2020·四川南充市·中考真题）如图，面积为S的菱形ABCD中，点O为对角线的交点，点E是线段BC单位中点，过点E作EF⊥BD于F，EG⊥AC与G，则四边形EFOG的面积为（）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由菱形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，S＝AC×BD，证出四边形EFOG是矩形，EF∥OC，EG∥OB，得出EF、EG都是△OBC的中位线，则EF＝OC＝AC，EG＝OB＝BD，由矩形面积即可得出答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，S＝AC×BD，
∵EF⊥BD于F，EG⊥AC于G，
∴四边形EFOG是矩形，EF∥OC，EG∥OB，
∵点E是线段BC的中点，
∴EF、EG都是△OBC的中位线，
∴EF＝OC＝AC，EG＝OB＝BD，
∴矩形EFOG的面积＝EF×EG＝AC×BD＝ =S；
故选：B．
二、填空题(共5小题，每小题4分，共计20分)
11．（2020·广东广州市·中考真题）如图，点的坐标为，点在轴上，把沿轴向右平移到，若四边形的面积为9，则点的坐标为_______．

【答案】(4，3)
【分析】
过点A作AH⊥x轴于点H，得到AH=3，根据平移的性质证明四边形ABDC是平行四边形，得到AC=BD，根据平行四边形的面积是9得到，求出BD即可得到答案.
【详解】
过点A作AH⊥x轴于点H，
∵A（1,3），
∴AH=3，
由平移得AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABDC是平行四边形，
∴AC=BD，
∵，
∴BD=3，
∴AC=3，
∴C(4，3)
故答案为：(4，3).

12．（2020·广东深圳市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，ABCO为平行四边形，O（0，0），A（3，1），B（1，2），反比例函数的图象经过OABC的顶点C，则k=___．

【答案】-2
【分析】
连接OB，AC，交点为P，根据O，B的坐标求解P的坐标，再根据平行四边形的性质：对角线互相平分即可求出则C点坐标，根据待定系数法即可求得k的值．
【详解】
解：连接OB，AC，交点为P，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AP=CP，OP=BP，
∵O（0，0），B（1，2），
∴P的坐标，
∵A（3，1），
∴C的坐标为（-2，1），
∵反比例函数（k≠0）的图象经过点C，
∴k=-2×1=-2，
故答案为-2．

13．（2020·辽宁鞍山市·中考真题）如图，在中，点E是的中点，，的延长线交于点F．若的面积为1，则四边形的面积为________．

【答案】3
【分析】
根据□ABCD的对边互相平行的性质及中位线的性质知EC是△ABF的中位线；然后根证明△ABF∽△CEF，再由相似三角形的面积比是相似比的平方及△ECF的面积为1求得△ABF的面积；最后根据图示求得S四边形ABCE=S△ABF-S△CEF=3．
【详解】
解：∵在□ABCD中，AB∥CD，点E是CD中点，
∴EC是△ABF的中位线；
在△ABF和△CEF中，
∠B=∠DCF，∠F=∠F，
∴△ABF∽△ECF，
∴，
∴S△ABF：S△CEF=1：4；
又∵△ECF的面积为1，
∴S△ABF=4，
∴S四边形ABCE=S△ABF-S△CEF=3．
故答案为：3．
14．（2020·吉林中考真题）如图，在中，，分别是边，的中点．若的面积为．则四边形的面积为_______．

【答案】
【分析】
先根据三角形中位线定理得出，再根据相似三角形的判定与性质得出，从而可得的面积，由此即可得出答案．
【详解】
点，分别是边，的中点


，即
又

则四边形的面积为
故答案为：．
15．（2020·浙江金华市·中考真题）如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数是______°．

【答案】30
【分析】
根据平行四边形的性质解答即可．
【详解】
解：四边形是平行四边形，

，
，
故答案为：30．
三、解答题(共5小题，每小题10分，共计50分)
16．（2020·四川乐山市·中考真题）点是平行四边形的对角线所在直线上的一个动点（点不与点、重合），分别过点、向直线作垂线，垂足分别为点、．点为的中点．
（1）如图1，当点与点重合时，线段和的关系是；
（2）当点运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？
（3）如图3，点在线段的延长线上运动，当时，试探究线段、、之间的关系．

【答案】（1）；（2）补图见解析，仍然成立，证明见解析；（3），证明见解析
【分析】
（1）证明△AOE≌△COF即可得出结论；
（2）（1）中的结论仍然成立，作辅助线，构建全等三角形，证明△AOE≌△CGO，得OE＝OG，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出结论；
（3）FC＋AE＝OE，理由是：作辅助线，构建全等三角形，与（2）类似，同理得，得出，，再根据，，推出，即可得证．
【详解】
解：（1）如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴∠AEO＝∠CFO＝90°，
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF；
（2）补全图形如图所示，仍然成立，

证明如下：延长交于点，
∵，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）当点在线段的延长线上时，线段、、之间的关系为，
证明如下：延长交的延长线于点，如图所示，

由（2）可知，
∴，，
又∵，，
∴，
∴．
17．（2020·山东济南市·中考真题）如图，在▱ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 O 的一条直线分别交 AD，BC 于点 E，F．求证：AE=CF．

【答案】证明见解析.
【分析】
利用平行四边形的性质得出 AO=CO，AD∥BC，进而得出∠EAC=∠FCO， 再利用 ASA 求出△AOE≌△COF，即可得出答案．
【详解】
∵▱ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，
∴AO=CO，AD∥BC，
∴∠EAC=∠FCO，
在△AOE 和△COF 中，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF．
18．（2020·广东广州市·中考真题）如图，平面直角坐标系中，的边在轴上，对角线，交于点，函数的图象经过点和点．

（1）求的值和点的坐标；
（2）求的周长．
【答案】（1）k=12，M（6,2）；（2）28
【分析】
（1）将点A（3,4）代入中求出k的值，作AD⊥x轴于点D，ME⊥x轴于点E，证明△MEC∽△ADC，得到，求出ME=2，代入即可求出点M的坐标；
（2）根据勾股定理求出OA=5，根据点A、M的坐标求出DE，即可得到OC的长度，由此求出答案.
【详解】
（1）将点A（3,4）代入中，得k=，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴MA=MC，
作AD⊥x轴于点D，ME⊥x轴于点E，
∴ME∥AD，
∴△MEC∽△ADC，
∴，
∴ME=2，
将y=2代入中，得x=6，
∴点M的坐标为（6,2）；

（2）∵A（3,4），
∴OD=3，AD=4，
∴,
∵A（3,4），M（6,2），
∴DE=6-3=3，
∴CD=2DE=6，
∴OC=3+6=9，
∴的周长=2(OA+OC)=28.
19．（2020·吉林长春市·中考真题）如图，在中，是对角线、的交点，，，垂足分别为点、．

（1）求证：．
（2）若，，求的值．
【答案】（1）见解析1；（2）
【分析】
（1）根据题意由平行四边形性质得，由ASA证得，即可得出结论；
（2）根据题意由（1）得OE=OF，则OE=2，在Rt△OEB中，由三角函数定义即可得出结果．
【详解】
解：（1）证明：在中，
∵，
∴
∴
又∵
∴
∴
（2）∵，
∴
∵
∴
在中，，.
20．（2020·黑龙江大庆市·中考真题）如图，在矩形中，为对角线的中点，过点作直线分别与矩形的边，交于，两点，连接，．

（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，且，求的长
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）通过证明△AOM和△CON全等，可以得到，又因为，所以可以证明四边形为平行四边形；
（2）根据，从而可以证明平行四边形是菱形，得到，再使用勾股定理计算出BN的长度，从而可以得到DM的长度．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形
∴，
∴
在△AOM和△CON中

∴△AOM△CON
∴
又∵
∴四边形为平行四边形．
（2）∵四边形为平行四边形
∵
∴平行四边形是菱形
∴
∵
设BN的长度为x
在Rt△ABN中，，




∴