专题25平行四边形的性质与判定三年（2021-2023）中考数学真题

这是一份专题25平行四边形的性质与判定三年（2021-2023）中考数学真题，共73页。试卷主要包含了如图，是的中位线，点在上，，在中，如图，在中，一定正确的是等内容，欢迎下载使用。
专题25平行四边形的性质与判定三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编
三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编
专题25平行四边形的性质与判定
一．选择题（共23小题）
（2023•通辽）
1．如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式时，若平移到，，，则的平移距离为（    ）
  
A．3 B．4 C．5 D．12
（2023•陕西）
2．如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（   ）

A． B．7 C． D．8
（2023•邵阳）
3．如图，在四边形中， ，若添加一个条件，使四边形为平形四边形，则下列正确的是（    ）
  
A． B． C． D．
（2023•衡阳）
4．如图，在四边形中，已知，添加下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（　　）
  
A． B． C． D．
（2023•成都）
5．如图，在中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（    ）
  
A． B． C． D．
（2023•云南）
6．如图，两点被池塘隔开，三点不共线．设的中点分别为．若米，则（    ）
  
A．4米 B．6米 C．8米 D．10米
（2023•泸州）
7．如图，的对角线，相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是中点，若，则的长为（  　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
（2022•常州）
8．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边的中点，若DE＝2，则BC的长度是（　　）

A．6 B．5
C．4 D．3
（2022•湘潭）
9．在中（如图），连接，已知，，则（    ）

A． B． C． D．
（2022•广东）
10．如图，在中，一定正确的是（    ）

A． B． C． D．
（2022•广东）
11．如图，在中，，点D，E分别为，的中点，则（    ）

A． B． C．1 D．2
（2022•河北）
12．依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（    ）
A． B． C． D．
（2022•朝阳）
13．将一个三角尺按如图所示的方式放置在一张平行四边形的纸片上，∠EFG＝90°，∠EGF＝60°，∠AEF＝50°，则∠EGC的度数为（　　）

A．100° B．80° C．70° D．60°
（2022•内江）
14．如图，在▱ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分线BM交CD边于点M，则DM的长为（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8
（2022•日照）
15．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点O在坐标原点，点E是对角线AC上一动点（不包含端点），过点E作EF//BC，交AB于F，点P在线段EF上．若OA=4，OC=2，∠AOC=45°，EP=3PF，P点的横坐标为m，则m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．
（2022•舟山）
16．如图，在中，，点E，F，G分别在边，，上，，，则四边形的周长是（    ）

A．32 B．24 C．16 D．8
（2022•安顺）
17．如图，在中，，，是边的中点，是边上一点，若平分的周长，则的长为（    ）

A． B． C． D．
（2022•无锡）
18．如图，在ABCD中，，，点E在AD上，，则的值是（    ）

A． B． C． D．
（2022•益阳）
19．1.如图，在▱ABCD中，AB＝8，点E是AB上一点，AE＝3，连接DE，过点C作CF∥DE，交AB的延长线于点F，则BF的长为（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2
（2022•沈阳）
20．如图，在中，，点D、E分别是直角边AC、BC的中点，连接DE，则度数是（    ）

A．70° B．60° C．30° D．20°
（2021•苏州）
21．如图，在平行四边形中，将沿着所在的直线翻折得到，交于点，连接，若，，，则的长是（    ）

A．1 B． C． D．
（2021•泰安）
22．如图，在平行四边形中，E是的中点，则下列四个结论：①；②若，，则；③若，则；④若，则与全等．其中正确结论的个数为（   ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（2021•河北）
23．如图1，中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（    ）

A．甲、乙、丙都是 B．只有甲、乙才是
C．只有甲、丙才是 D．只有乙、丙才是
二．填空题（共15小题）
（2023•兰州）
24．如图，在中，，于点E，若，则 ．
  
（2023•福建）
25．如图，在中，O为的中点，过点O且分别交于点E，F，若，则的长为 ．

（2023•金华）
26．如图，把两根钢条的一个端点连在一起，点分别是的中点．若，则该工件内槽宽的长为 ．
    
（2023•株洲）
27．如图所示，在平行四边形中，，，的平分线交线段于点E，则 ．
  
（2023•凉山州）
28．如图，的顶点的坐标分别是．则顶点的坐标是 ．
  
（2022•泰安）
29．如图，四边形为平行四边形，则点B的坐标为 ．

（2022•广州）
30．如图，在中，AD=10，对角线AC 与BD相交于点O，AC+BD=22，则△BOC的周长为

（2022•淮安）
31．如图，在中，，若，则的度数是 ．

（2022•邵阳）
32．如图，在等腰中，，顶点在的边上，已知，则 ．

（2022•毕节市）
33．如图，在中，，点P为边上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则长度的最小值为 ．

（2022•福建）
34．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．若BC＝12，则DE的长为 ．

（2022•西藏）
35．如图，如果要测量池塘两端A，B的距离，可以在池塘外取一点C，连接AC，BC，点D，E分别是AC，BC的中点，测得DE的长为25米，则AB的长为 米．

（2022•临沂）
36．如图，在正六边形中，，是对角线上的两点，添加下列条件中的一个：①；②；③；④．能使四边形是平行四边形的是 （填上所有符合要求的条件的序号）．

（2022•荆州）
37．如图，点E，F分别在□ABCD的边AB，CD的延长线上，连接EF，分别交AD，BC于G，H．添加一个条件使△AEG≌△CFH，这个条件可以是 ．（只需写一种情况）

（2021•西宁）
38．如图，在中，，D，E分别是，的中点，连接，，若，，则点A到BC的距离是 ．

三．解答题（共22小题）
（2023•无锡）
39．如图，中，点D、E分别为的中点，延长到点F，使得，连接．求证：
  
(1)；
(2)四边形是平行四边形．
（2023•长沙）
40．如图，在中，平分，交于点E，交的延长线于点F．
    
(1)求证：；
(2)若，求的长和的面积．
（2023•菏泽）
41．如图，在中，平分，交于点E，平分，交AD于点F，求证：．

（2023•扬州）
42．如图，点E、F、G、H分别是各边的中点，连接相交于点M，连接相交于点N．
  
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若的面积为4，求的面积．
（2023•株洲）
43．如图所示，在中，点D、E分别为的中点，点H在线段上，连接，点G、F分别为的中点．
  
(1)求证：四边形为平行四边形
(2)，求线段的长度．
（2023•广安）
44．如图，在四边形中，与交于点，，垂足分别为点，且．求证：四边形是平行四边形．
  
（2023•南充）
45．如图，在中，点，在对角线上，．求证：
  
(1)；
(2)．
（2023•自贡）
46．如图，在平行四边形中，点M，N分别在边，上，且，求证：．
  
（2022•鞍山）
47．如图，在四边形中，，，垂足分别为点E，F，且，．求证：四边形是平行四边形．
  
（2022•徐州）
48．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．求证：
  
(1)△ABE≌△CDF；
(2)四边形AECF是平行四边形．
（2022•泸州）
49．如图，分别是的边上的点，已知，求证：．
  
（2022•无锡）
50．已知，点B，D在线段AF上，，且．

(1)求证：；
(2)连接，，求证：四边形是平行四边形．
（2022•梧州）
51．如图，在中，E，G，H，F分别是上的点，且．求证：．

（2022•长沙）
52．如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，．
  
(1)求证：；
(2)若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF，，求BD的长及四边形ABCD的周长．
（2022•新疆）
53．在中，点D，F分别为边AC，AB的中点．延长DF到点E，使，连接BE．

(1)求证：；
(2)求证：四边形BCDE是平行四边形．
（2022•宿迁）
54．如图，在中，点E、F分别是边、的中点，求证：．

（2022•无锡）
55．如图，在▱ABCD中，点O为对角线BD的中点，EF过点O且分别交AB、DC于点E、F，连接DE、BF．

求证：
(1)△DOF≌△BOE；
(2)DE=BF．
（2022•内蒙古）
56．如图，在平行四边形中，点O是的中点，连接并延长交的延长线于点E，连接，．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，判断四边形的形状，并说明理由．
（2022•株洲）
57．如图所示，点在四边形的边上，连接，并延长交的延长线于点，已知，．

(1)求证：；
(2)若，求证：四边形为平行四边形．
（2022•广西）
58．如图，在中，BD是它的一条对角线，

(1)求证：；
(2)尺规作图：作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E，F（不写作法，保留作图痕迹）；
(3)连接BE，若，求的度数．
（2021•宿迁）
59．在①；②；③这三个条件中任选一个合适的补充条件在下面横线上，并完成证明过程．
已知，如图，四边形是平行四边形，对角线交于点O，点在上，______（填写序号）求证：．

（2021•岳阳）
60．如图，在四边形中，，，垂足分别为点，．

（1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形为平行四边形，你添加的条件是________；
（2）添加了条件后，证明四边形为平行四边形．




参考答案：
1．B
【分析】根据平移的方向可得，平移到，则点与点重合，故的平移距离为的长．
【详解】解：用平移方法说明平行四边形的面积公式时，将平移到，
故平移后点与点重合，则的平移距离为，
故选：B．
【点睛】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
2．C
【分析】根据三角形中中位线定理证得，求出，进而证得，根据相似三角形的性质求出，即可求出结论．
【详解】解：是的中位线，
，，
，
，
，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握三角形中位线定理和相似三角形的判定方法是解决问题的关键．
3．D
【分析】根据平行四边形的判定定理逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A．根据，，不能判断四边形为平形四边形，故该选项不正确，不符合题意；    
B． ∵，∴，不能判断四边形为平形四边形，故该选项不正确，不符合题意；        
C．根据，，不能判断四边形为平形四边形，故该选项不正确，不符合题意；        
D．∵，
∴，
∵
∴，
∴
∴四边形为平形四边形，
故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
4．C
【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可知A项不符合题意；根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可知B项不符合题意；根据全等三角形的判定与性质可知D项不符合题意进而即可判断．
【详解】解：∵，，
∴由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
∴项能判定四边形是平行四边形，
故项不符合题意；
∵，，
∴由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
∴项能判定四边形是平行四边形，
故项不符合题意；
∵，但和不一定平行，
∴项不能判定四边形是平行四边形，
故符合题意；
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴项能判定四边形是平行四边形，
故项不符合题意；
故选：．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，掌握平行四边形的判定是解题的关键．
5．B
【分析】根据平行四边形的性质逐项分析判断即可求解．
【详解】∵四边形是平行四边形，对角线与相交于点，
A. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；    
B. ，故该选项正确，符合题意；
C. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；    
D. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
6．B
【分析】根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】解∶∵的中点分别为，
∴是的中位线，
∴米，
故选∶B．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
7．A
【分析】根据平行四边形的性质可得，，，根据平分，可得，进而可得，可得，再根据三角形中位线定理即可.
【详解】解：∵四边形是平行四边形，，
∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵E是中点，
∴；
故选：A.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握这些知识是解题的关键.
8．C
【分析】直接利用三角形中位线定理得出答案．
【详解】∵在△ABC中，D，E分别是AB，AC边的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵DE＝2，
∴BC的长度是：4．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了三角形的中位线，正确把握三角形中位线定理是解题关键．
9．C
【分析】根据平行四边形的对边平行和两直线平行内错角相等的性质，再通过等量代换即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴ABCD
∴∠DCA＝∠CAB，
∵∠DCA+∠ACB，，
∴40º+80º=120º，
故选：C．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质和平行线的性质，解题的关键是熟记性质并熟练运用．
10．C
【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，然后对各选项进行判断即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质．解题的关键在于熟练掌握平行四边形的性质．
11．D
【分析】利用中位线的性质：平行三角形的第三边且等于第三边的一半即可求解．
【详解】∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴，
∵BC=4，
∴DE=2，
故选：D．
【点睛】本题考查了中位线的判定与性质，掌握中位线的判定与性质是解答本题的关键．
12．D
【分析】根据平行四边形的判定及性质定理判断即可；
【详解】解：平行四边形对角相等，故A错误；
一组对边平行不能判断四边形是平行四边形，故B错误；
三边相等不能判断四边形是平行四边形，故C错误；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故D正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定及性质，掌握平行四边形的判定及性质是解题的关键．
13．B
【分析】由平行四边形的性质可得AB∥DC，再根据三角形内角和定理，即可得到∠GEF的度数，依据平行线的性质，即可得到∠EGC的度数．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠AEG=∠EGC，
∵∠EFG=90°，∠EGF=60°，
∴∠GEF=30°，
∴∠GEA=80°，
∴∠EGC=80°．
故选：B．
【点睛】此题考查的是平行四边形的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
14．B
【分析】根据平行四边形的性质及角平分线的性质可得∠CBM＝∠CMB，利用等边对等角即可得MC＝BC＝8，进而可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝12，BC＝AD＝8，AB∥CD，
∴∠ABM＝∠CMB，
∵BM是∠ABC的平分线，
∴∠ABM＝∠CBM，
∴∠CBM＝∠CMB，
∴MC＝BC＝8，
∴DM＝CD﹣MC＝12﹣8＝4，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和角平分线的性质，掌握其相关性质是解题的关键．
15．A
【分析】先求确定A、C、B三个点坐标，然后求出AB和AC的解析式，再表示出EF的长，进而表示出点P的横坐标，最后根据不等式的性质求解即可．
【详解】解：由题意可得，
设直线AB的解析式为y=kx+b
则 解得：
∴直线AB的解析式为：y=x-4，
∴x=y+4，
设直线AC的解析式为y=mx+n
则 解得：
∴直线AC的解析式为：，
∴，
∴点F的横坐标为：y+4，点E的坐标为：，
∴，
∵EP=3PF，
∴，
∴点P的横坐标为：，
∵，
∴．
∴
故答案为：A．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形性质、求一次函数的解析式、不等式性质等知识，根据题意表示出点P的横坐标是解答本题的关键．
16．C
【分析】根据，，可得四边形AEFG是平行四边形，从而得到FG=AE，AG=EF，再由，可得∠BFE=∠C，从而得到∠B=∠BFE，进而得到BE=EF，再根据四边形的周长是2（AE+EF），即可求解．
【详解】解∶∵，，
∴四边形AEFG是平行四边形，
∴FG=AE，AG=EF，
∵，
∴∠BFE=∠C，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠B=∠BFE，
∴BE=EF，
∴四边形的周长是2（AE+EF）=2（AE+BE）=2AB=2×8=16．
故选：C
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
17．C
【分析】延长至，使得，连接，构造等边三角形，根据题意可得是的中位线，即可求解．
【详解】解：如图，延长至，使得，连接，

，
,
又，
是等边三角形，
，
是边的中点，是边上一点，平分的周长，
，，
，
，
，
即，
是的中位线，
．
故选C．
【点睛】本题考查了三角形中位线的性质与判定，等边三角形的性质，三角形中线的定义，构造等边三角形是解题的关键．
18．D
【分析】过点B作BF⊥AD于F，由平行四边形性质求得∠A=75°，从而求得∠AEB=180°-∠A-∠ABE=45°，则△BEF是等腰直角三角形，即BF=EF，设BF=EF=x，则BD=2x，DF=，DE=DF-EF=（-1）x，AF=AD-DF=BD-DF=（2-）x，继而求得AB2=AF2+BF2=（2-）2x2+X2=（8-4）x2，从而求得，再由AB=CD，即可求得答案．
【详解】解：如图，过点B作BF⊥AD于F，

∵ABCD，
∴CD=AB，CDAB，
∴∠ADC+∠BAD=180°，
∵
∴∠A=75°，
∵∠ABE=60°，
∴∠AEB=180°-∠A-∠ABE=45°，
∵BF⊥AD，
∴∠BFD=90°，
∴∠EBF=∠AEB=45°，
∴BF=FE，
∵AD=BD，
∴∠ABD=∠A=75°，
∴∠ADB=30°，
设BF=EF=x，则BD=2x，由勾股定理，得DF=，
∴DE=DF-EF=（-1）x，AF=AD-DF=BD-DF=（2-）x，
由勾股定理，得AB2=AF2+BF2=（2-）2x2+x2=（8-4）x2，
∴
∴，
∵AB=CD，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，过点B作BF⊥AD于F，构建直角三角形与等腰直角三角形是解题的关键．
19．C
【分析】根据平行四边形的性质可知CD＝AB＝8，由AE＝3，可得BE的长，再判定四边形DEFC是平行四边形，根据平行四边形的性质可得EF的长，由BF＝EF﹣BE，即可求出BF．
【详解】解：∵在▱ABCD中，AB＝8，
∴CD＝AB＝8，AB∥CD，
∵AE＝3，
∴BE＝AB﹣AE＝5，
∵CF∥DE，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴DC＝EF＝8，
∴BF＝EF﹣BE＝8﹣5＝3．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及判定，能够熟练运用平行四边形的判定是解题的关键．
20．B
【分析】因为点D、E分别是直角边AC、BC的中点，所以DE是的中位线，三角形的中位线平行于第三边，进而得到，求出的度数，即为的度数．
【详解】解：∵点D、E分别是直角边AC、BC的中点，
∴DE是的中位线，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查三角形中位线的性质以及三角形内角和，由三角形中位线定义，找到平行线是解答本题的关键．
21．B
【分析】利用平行四边形的性质、翻折不变性可得△AEC为等腰直角三角形，根据已知条件可得CE得长，进而得出ED的长，再根据勾股定理可得出；
【详解】解：∵四边形是平行四边形
∴AB=CD ∠B=∠ADC=60°，∠ACB＝∠CAD
由翻折可知：BA＝AB′＝DC，∠ACB＝∠AC B′=45°，
∴△AEC为等腰直角三角形
∴AE=CE
∴Rt△AE B′≌Rt△CDE
∴EB′=DE
∵在等腰Rt△AEC中，
∴
∵在Rt△DEC中， ，∠ADC=60°
∴∠DCE=30°
∴DE=1
在等腰Rt△DE B′中，EB′=DE=1
∴=
故选：B
【点睛】本题考查翻折变换、等腰三角形的性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22．D
【分析】依次分析各选项，进行推理论证即可；其中①可通过证明，进一步转换后可以得到结论，②可先得到该平行四边形是矩形，利用矩形的性质等得到MN垂直平分BC，即可完成求证，③可以先证明两个三角形的共线边上的高的关系，再利用三角形面积公式即可完成证明，④可以先证明后可进一步证明，即可完成求证．
【详解】解：∵平行四边形中，E是的中点，
∴，，，
∴,,
∴,
∴，
∴，
故①正确；
若，
则平行四边形是矩形，
由矩形的对角线相等，而点E是矩形的对角线的交点可知，
E点到B、C两点的距离相等，
∴E点在BC的垂直平分线上，
由，可得BN=CN，
所以N点是BC的中点，
∴MN垂直平分BC，
∴，
故②正确；
若，则BN=2CN，
如图1，分别过D、E两点向BC作垂线，垂足分别为Q点和P点，
∵E点是BD中点，
∴DQ=2EP，
∵，

∴，
故③正确；
若，
因为，
所以，
分别过N、C两点向AD作垂线，垂足分别为H、K，
由平行线间的距离处处相等可知：NH=CK，
∴，
∴，
∴,
∴，
又∵，
∴,
故④正确；
故选：D．

【点睛】本题综合考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、线段的垂直平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等内容，解决本题的关键是牢记相关概念与性质，能熟练运用全等三角形的判定与性质进行角或边之间关系的转化等，本题对推理分析能力要求较高，属于中等难度偏上的题目，对学生的综合分析能力有一定的要求．
23．A
【分析】甲方案：利用对角线互相平分得证；
乙方案：由，可得,即可得，
再利用对角线互相平分得证；
丙方案:方法同乙方案．
【详解】连接交于点
甲方案：四边形是平行四边形



四边形为平行四边形．
乙方案：
四边形是平行四边形
，，

又

(AAS)



四边形为平行四边形．
丙方案:
四边形是平行四边形
，，，

又分别平分
， 即
（ASA）



四边形为平行四边形．
所以甲、乙、丙三种方案都可以．
故选A．
【点睛】本题考查了平行四边的性质与判定，三角形全等的性质和判定，角平分线的概念等知识，能正确的利用全等三角的证明得到线段相等，结合平行四边形的判定是解题关键．
24．
【分析】证明，，由，可得，结合，可得．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，平行四边形的性质，三角形的内角和定理的应用，熟记基本几何图形的性质是解本题的关键．
25．10
【分析】由平行线四边形的性质得到，因此，，又，即可证明，得到，于是得出．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∵O为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：10．
【点睛】本题考查平行线的性质，全等三角形的判定和性质，关键是证明．
26．8
【分析】利用三角形中位线定理即可求解．
【详解】解：∵点分别是的中点，
∴，
∴，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理的应用，掌握“三角形的中位线是第三边的一半”是解题的关键．
27．2
【分析】根据平行四边形的性质可得，则，再由角平分线的定义可得，从而求得，则，即可得出结论．
【详解】解：∵四边形是平行四边形；
，．
，
的平分线交于点，
，
，
，
，，
，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定，其中掌握平行四边形的性质是解题的关键．
28．
【分析】根据“平行四边形的对边平行且相等的性质”得到点的纵坐标与点的纵坐标相等，且，即可得到结果．
【详解】解：在中，，，
，
，
点的纵坐标与点的纵坐标相等，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和坐标与图形的性质，此题充分利用了“平行四边形的对边相等且平行”的性质．
29．
【分析】根据平行四边形的性质以及点的平移即可得出结论．
【详解】解：四边形为平行四边形，
，即将点平移到的过程与将点平移到的过程保持一致，
将点平移到的过程是：（向左平移4各单位长度）；（上下无平移）；
将点平移到的过程按照上述一致过程进行得到，即，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形的性质及点的平移，掌握点的平移的代数表示是解决问题的关键．
30．21
【分析】根据平行四边形对角线互相平分，求出OC+OB的长，即可解决问题．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=OC=AC，BO=OD=BD，BC=AD=10,
∵AC+BD=22，
∴OC+BO=11，
∵BC=10，
∴△BOC的周长=OC+OB+BC=11+10=21．
故答案为：21．
【点睛】本题考查平行四边形的性质以及三角形周长等知识，解题的关键是记住平行四边形的对角线互相平分，属于中考基础题．
31．##40度
【分析】根据平行四边形对边平行可得，利用平行线的性质可得，因此利用直角三角形两个锐角互余求出即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，难度较小，解题的关键是能够综合运用上述知识．
32．110º
【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠ABC的度数；再根据平行四边形对边平行和两直线平行同旁内角互补的性质，得出∠2+∠ABE=180º，代入求解即可．
【详解】解：∵是等腰三角形，∠A=120º，
∴∠ABC=∠C=(180º-∠A)÷2=30º，
∵四边形是平行四边形，
∴OFDE，
∴∠2+∠ABE=180º，
即∠2+30º+40º=180º，
∴∠2=110º．
故答案为：110º．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质和平行四边形的性质，解题的关键是数形结合，熟练运用上述知识求解．
33．##2.4

【分析】利用勾股定理得到BC边的长度，根据平行四边形的性质，得知OP最短即为PQ最短，利用垂线段最短得到点P的位置，再证明利用对应线段的比得到的长度，继而得到PQ的长度．
【详解】解：∵，
∴，
∵四边形APCQ是平行四边形，
∴PO＝QO，CO＝AO，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作BC的垂线，

∵,
∴,
∴，
∴，
∴，
∴则PQ的最小值为，
故答案为：．
【点睛】考查线段的最小值问题，结合了平行四边形性质和相似三角形求线段长度，本题的关键是利用垂线段最短求解，学生要掌握转换线段的方法才能解出本题．
34．6
【分析】利用中位线的性质计算即可．
【详解】∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
又BC=12，
∴，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，中位线平行且等于第三边的一半，熟记中位线的性质是解题的关键．
35．50
【分析】应用三角形的中位线定理，计算得结论．
【详解】解：∵D，E分别是AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线．
∴AB=2DE=2×25=50（米）．
故答案为：50．
【点睛】本题考查了三角形的中位线，掌握“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”是解决本题的关键．
36．①②④
【分析】根据正六边形的性质，依次结合题给的条件，先证有关三角形是否全等，再证四边形是平行四边形．
【详解】解：由正六边形的性质知：
∠ABM=∠DEN，AB=DE，∠BAF=∠CDE，
①若BM=EN，
在△ABM和△DEN中，
，
∴（SAS），
∴AM=DN，∠AMB=∠DNE，
∴∠AMN=∠DNM，
∴AMDN，
∴四边形是平行四边形；
②若，则
∠BAN=∠EDM，
在和中，
，
∴(ASA)，
∴AN=DM，∠ANM=∠DMN，
∴ANDM
∴四边形是平行四边形；
③若，结合条件AB=DE，∠ABM=∠DEN，SSA无法证明，也就无法证明四边形是平行四边形；
④若，
在△ABM和△DEN中，
，
∴（AAS），
∴AM=DN，∠AMB=∠DNE，
∴∠AMN=∠DNM，
∴AMDN，
∴四边形是平行四边形；
综上所述，①②④符合题意．
故答案为：①②④．
【点睛】此题考查了正六边形的性质、全等三角形的判定以及平行四边形的判定．解题的关键是熟练运用上述知识逐一进行判断．
37．（答案不唯一）
【分析】由平行四边形的性质可得： 证明 再补充两个三角形中的一组相对应的边相等即可．
【详解】解： ，


所以补充：
△AEG≌△CFH，
故答案为：（答案不唯一）
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握“平行四边形的性质与利用ASA证明三角形全等”是解本题的关键．
38．
【分析】根据题意可求得AC、AB、BC的长度，设点A到BC的距离是h，由的面积相等可列式，从而点A到BC的距离即可求解．
【详解】解：∵在中，，D，E分别是，的中点，，
∴，DE//AC，
∴∠BDE=∠BAC=90°，
∴∠ADE=90°，
，
∴，
∴，
设点A到BC的距离是h，
则，
即，
解得：，
∴点A到BC的距离是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用、三角形中位线的性质，三角形的面积公式，解题的关键是用勾股定理和中位线的性质求出各线段的长度．
39．(1)见解析
(2)见解析

【分析】（1）根据三角形的中位线定理得到，，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质和平行四边形的判定定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵点D、E分别为的中点，
∴，，
∴，
在与中，，
∴；
（2）证明：由（1）证得，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，平行四边形的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
40．(1)见解析
(2)；的面积为

【分析】（1）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，求得，根据等腰三角形的判定定理即可得到；
（2）根据线段的和差得到；过D作交的延长线于H，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式即可得到的面积．
【详解】（1）证明：在中，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴；
过D作交的延长线于H，
  
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形面积的计算、等腰三角形的判定和性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键．
41．见解析
【分析】根据平行四边形的性质，进而利用角平分线得出，证明与全等解答即可．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵平分，交于点E，平分，交AD于点F，
∴，
在与中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、角平分线定义；熟练掌握平行四边形的性质，证出是解题的关键．
42．(1)见解析
(2)12

【分析】（1）根据平行四边形的性质，线段的中点平分线段，推出四边形，四边形均为平行四边形，进而得到：，即可得证；
（2）连接，推出，，进而得到，求出，再根据，即可得解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵点E、F、G、H分别是各边的中点，
∴，
∴四边形为平行四边形，
同理可得：四边形为平行四边形，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：连接，
  
∵为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可得：
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，以及三角形的中位线定理，证明三角形相似，是解题的关键．
43．(1)见解析
(2)

【分析】（1）由三角形中位线定理得到，，得到，即可证明四边形为平行四边形；
（2）由四边形为平行四边形得到，由得到，由勾股定理即可得到线段的长度．
【详解】（1）解：∵点D、E分别为的中点，
∴，
∵点G、F分别为、的中点．
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形；
（2）∵四边形为平行四边形，
∴，
∵
∴，
∵，
∴．
【点睛】此题考查了中位线定理、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，证明四边形为平行四边形和利用勾股定理计算是解题的关键．
44．见详解
【分析】先证明，再证明 ，再由平行四边形的判定即可得出结论．
【详解】证明：，，
，


又，
，
，
∵，
，
四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
45．(1)证明见解析
(2)证明见解析

【分析】（1）根据平行四边形的性质推出相应的线段和相应的角度相等，再利用已知条件求证，最后证明即可求出答案．
（2）根据三角形全等证明角度相等，再利用邻补角定义推出即可证明两直线平行．
【详解】（1）证明：四边形为平行四边形，
，，，
．
，，
．
．
．
（2）证明：由（1）得，
．
，，
．
．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，邻补角定义，三角形全等，平行线的判定，解题的关键在于熟练掌握平行四边形的性质．
46．见解析
【分析】由平行四边形的性质得，，再证，然后由平行四边形的判定即可得出结论．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
，，
，
，
即，
又，
∴四边形是平行四边形，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明是解题的关键．
47．见解析
【分析】首先由可得，进而有，证明，则有，从而可证明结论成立．
【详解】证明：∵，
∴，
∴；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，证明两个三角形全等是解题的关键．
48．(1)见解析
(2)见解析

【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，根据平行线的性质可得，结合已知条件根据SAS即可证明；
（2）根据可得，根据邻补角的意义可得，可得，根据一组对边平行且相等即可得出．
【详解】（1）证明：解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
又，
∴（SAS）；
（2）证明：∵，
∴

∴，
∴四边形AECF是平行四边形
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．
49．见解析
【分析】根据平行四边形的性质可得到，进而可知，最后利用全等三角形的判定与性质即可解答．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
50．(1)见解析
(2)见解析

【分析】（1）由得到，即，由得到，即可证明；
（2）连接，，由（1）知，可得，，则，即可证得结论．
【详解】（1）证明：如图所示：

∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
在和中，
∵，
∴．
（2）连接，，
由（1）知，
∴，．
∴．
∴四边形是平行四边形．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定等知识，证明是解题的关键．
51．证明过程见解析
【分析】先由四边形ABCD为平行四边形得到∠A=∠C，AB=CD，进而根据BE=DH得到AE=CH，最后再证明△AEF≌△CHG即可．
【详解】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A=∠C，AB=CD，
又已知BE=DH，
∴AB-BE=CD-DH，
∴AE=CH，
在△AEF和△CHG中
，
∴△AEF≌△CHG(SAS)，
∴EF=HG．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和三角形全等的判定方法，属于基础题，熟练掌握平行四边形的性质是解决本题的关键．
52．(1)见解析
(2)，四边形ABCD的周长为

【分析】（1）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得证；
（2）根据三角形中位线的性质可得，进而可得的长，中，勾股定理求得，根据菱形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边，，
四边形是菱形，
；
（2）解：点E，F分别为AD，AO的中点，
是的中位线，
，
，
，
四边形是菱形，
，
，
在中，，，
，
菱形形的周长为．
【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，三角形中位线的性质，勾股定理，掌握菱形的性质与判定是解题的关键．
53．(1)见解析
(2)见解析

【分析】（1）利用SAS直接证明；
（2）利用和已知条件证明，即可推出四边形BCDE是平行四边形．
【详解】（1）证明：∵点F为边AB的中点，
∴，
在与中，
，
∴；
（2）证明：∵点D为边AC的中点，
∴，
由（1）得，
∴，，
∴，，
∴四边形BCDE是平行四边形．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定方法，难度较小，根据所给条件正确选用平行四边形的判定方法是解题的关键．
54．见解析
【分析】由平行四边形的性质可得，由中点的性质可得，可证四边形是平行四边形，即可求解．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点E、F分别是边、的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，灵活运用平行四边形的判定是解题的关键．
55．(1)见解析
(2)见解析

【分析】（1）根据平行四边形ABCD的性质，利用ASA即可证明△DOF≌△BOE；
（2）证明四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，O是BD的中点，
∴AB∥DC，OB=OD，
∴∠OBE=∠ODF．
在△BOE和△DOF中，，
∴△BOE≌△DOF（ASA）；
（2）证明：∵△BOE≌△DOF，
∴EO=FO，
∵OB=OD，
∴四边形BEDF是平行四边形．
∴DE=BF．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，证明三角形全等是解决问的关键．
56．(1)见解析
(2)四边形是菱形．理由见解析

【分析】（1）证明，得到，即可得证；
（2）根据平行四边形的性质和，推出，即可得出四边形是菱形．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵点O是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）四边形是菱形．
理由：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定．熟练掌握平行四边形的性质，菱形的判定方法，是解题的关键．
57．(1)见解析
(2)见解析

【分析】（1）利用SAS可以直接证明；
（2）由可得，由内错角相等，两直线平行，得出，结合已知条件即可证明四边形为平行四边形．
【详解】（1）证明：∵与是对顶角，
∴，
在与中，
，
∴
（2）证明：由（1）知，
∴，
∴，
∵点在的延长线上，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定和平行四边形的判定，难度较小，熟练掌握全等三角形、平行线及平行四边形的判定方法是解题的关键．
58．(1)见解析
(2)见解析
(3)50°

【分析】（1）由平行四边形的性质得出，可利用“SSS”证明三角形全等；
（2）根据垂直平分线的作法即可解答；
（3）根据垂直平分线的性质可得，由等腰三角形的性质可得，再根据三角形外角的性质求解即可．
【详解】（1）四边形ABCD是平行四边形，
，
，

（2）如图，EF即为所求；

（3） BD的垂直平分线为EF，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的作法和性质，等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
59．①或②；证明见解析
【分析】选①，连接，根据平行四边形的性质可得，，再由，可得，从而得到四边形是平行四边形，即可；选②，根据平行四边形的性质可得，再由，可得，可证明，即可．
【详解】解：选①，证明如下：
如图，连接，

∵四边形是平行四边形，    
∴，，
∵，
∴，    
∴四边形是平行四边形，
∴；
选②，证明如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，    
∴，
∴；
故答案为：①或②
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．
60．（1）（答案不唯一，符合题意即可）；（2）见解析
【分析】（1）由题意可知，要使得四边形为平行四边形，则使得即可，从而添加适当条件即可；
（2）根据（1）的思路，利用平行四边形的定义证明即可．
【详解】（1）显然，直接添加，可根据定义得到结果，
故答案为：（答案不唯一，符合题意即可）；
（2）证明：∵，，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题关键．