江苏省南京市江宁区2021-2022学年八年级下学期期末考试数学试卷(word版含答案)

这是一份江苏省南京市江宁区2021-2022学年八年级下学期期末考试数学试卷(word版含答案)，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

江苏省南京市江宁区2021-2022学年八年级下学期期末考试
数学试题
（附答案详细解析）
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
1．（2分）下列四个图形中，属于中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2分）为了了解某区12000名八年级学生的体重情况，从中随机抽取了500名学生的体重进行调查．其中，下面说法错误的是（　　）
A．此调查属于抽样调查
B．12000名学生的体重是总体
C．每个学生的体重是个体
D．500名学生是所抽取的一个样本
3．（2分）下列各式中，化简后能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2分）下列式子从左到右变形一定正确的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
5．（2分）已知点（﹣2，a），（2，b），（3，c）在函数y＝（k为常数）的图象上，则下列判断正确的是（　　）
A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．c＜b＜a
6．（2分）平面直角坐标系中，菱形ABCD如图所示，OA＝3，点D在线段AB的垂直平分线上，若菱形ABCD绕点O逆时针旋转，旋转速度为每秒45°，则第2022秒时点D的对应坐标为（　　）

A．（2，3） B．（﹣2，﹣3） C．（3，﹣2） D．（﹣3，2）
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．）
7．（2分）使分式有意义的x的取值范围是　 　．
8．（2分）计算：（）2＝　 　；＝　 　．
9．（2分）一个圆形转盘分成3个区域，分别涂上红色、绿色、黄色．小明转动到红色的频数为20，频率为40%，则小明共转动转盘 　 　次．
10．（2分）分式和的最简公分母为 　 　．
11．（2分）如图，在矩形ABCD中无重叠放入面积分别为12cm2和18cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为 　 　cm2．

12．（2分）如图，正比例函数y＝ax与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，BC∥x轴，AC∥y轴，若S△ABC＝12，则b＝　 　．

13．（2分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝16，BD＝12，E是边AD上一点，直线OE交BC于点F，将菱形沿直线EF折叠，点A、B的对应点分别为A′、B′，若AE＝4，则B′F的长为 　 　．

14．（2分）如图，在▱ABCD中，∠D＝80°，若△ABC是等腰三角形，则∠ACB的度数为 　 　°．

15．（2分）已知一次函数y1＝kx+b（k≠0）与反比例函数y2＝（m＜0）相交于点A（﹣3，a），B（﹣1，c），不等式kx＞﹣b的解集是 　 　．
16．（2分）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，D为射线BC上一动点（点D在点C的右侧），将线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE，连接BE，F为BE的中点，连接CF，在点D运动的过程中，线段CF长度的最小值为 　 　．

三、解答题（本大题共10小题，共68分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（4分）计算：
18．（8分）（1）化简：﹣；
（2）解方程﹣＝；
（3）观察（1）、（2）的式子及结果，写出一条你的发现．
19．（5分）先化简，再求值：（）÷（1﹣），其中a＝2﹣．
20．（8分）某区教育部门为了了解八年级学生每学期参加综合实践活动的情况，随机调查了部分学生，并将他们某一学期参加综合实践活动的天数进行统计，绘制了下面两幅不完整的统计图（如图）．请你根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）参加调查的八年级学生总人数为 　 　人；
（2）根据图中信息，补全条形统计图；
（3）扇形统计图中“活动时间为6天”的扇形所对应的圆心角的度数为 　 　°；
（4）全区共有八年级学生12000人，请你估计“活动时间至少5天”的大约有多少人？

21．（6分）在一个不透明的抽奖袋中装有红色、黄色、白色、黑色四种除颜色外都相同的小球，从袋子中摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖，黑色表示谢谢参与．
（1）若小明获得1次抽奖机会，小明中奖是 　 　事件；（填随机、必然、不可能）
（2）小明观察后发现，平均每8个人中会有1人抽中一等奖，2人抽中二等奖，3人未获奖，若袋中共有24个球，请你估算袋中白球的数量；
（3）在（2）的条件下，如果在抽奖袋中增加两个黄球，抽中一等奖的概率会怎样变化？请说明理由；继续添加小球，能否使抽中一等奖的概率还原？若能，请设计一种添加方案．若不能，请说明理由．
22．（7分）如图，△ABC的中线AF与中位线DE相交于点O．
（1）求证：AF与DE互相平分；
（2）当△ABC满足 　 　时，四边形ADFE是正方形．

23．（8分）如图，已知平行四边形ABCD，根据所学知识，利用直尺和圆规在平行四边形内作一个菱形．
（1）小明的作图中，用到的作图依据有 　 　.（填序号）
①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
③有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
④对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
（2）请再用两种不同的方法作图．（保留作图痕迹，不写作法）


24．（7分）为落实“精准扶贫惠民政策”，某村计划将自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工，恰好在规定时间内完成．若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合作施工15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．请你根据以上信息，提出一个用分式方程解决的问题，并写出解答过程．
25．（6分）材料阅读：古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量》中提出：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p＝，那么三角形的面积为S＝，这一公式称为海伦公式．
我国南宋时期数学家秦九韶在《数书九章》中提出利用三角形三边a，b，c，求三角形面积的公式S＝，被称之为秦九韶公式．
（1）海伦公式与秦九韶公式本质上是同一个公式．你同意这种说法吗？请利用以下数据验证两公式的一致性．
如图①，在△ABC中，BC＝a＝7，AC＝b＝5，AB＝c＝6，求△ABC的面积．
（2）在（1）的基础上，作∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O．过点O作OD⊥AB，OD的长为 　 　．

26．（9分）“卓越数学兴趣小组”准备对函数y＝|﹣3|图象和性质进行探究，他们制定了以下探究步骤：
（1）该小组认为此函数与反比例函数有关，于是他们首先画出了反比例函数y＝的图象（如图1），然后画出了y＝﹣3的图象，请在图1中画出此图象（草图）．
（2）他们发现函数y＝﹣3图象可以由y＝的图象平移得到，请写出平移过程．
（3）他们发现可以根据函数y＝﹣3图象画出函数y＝|﹣3|的图象，请在图2中画出此图象（草图），并写出其中的两条函数性质．
（4）他们研究后发现，方程|﹣3|＝a中，随着a的变化，方程的解的个数也会有所变化，请结合图象，就a的取值范围讨论方程解的情况．



江苏省南京市江宁区2021-2022学年八年级下学期期末考试
数学试题
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
1．（2分）下列四个图形中，属于中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形．版权所有
【分析】根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【解答】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：C．
【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（2分）为了了解某区12000名八年级学生的体重情况，从中随机抽取了500名学生的体重进行调查．其中，下面说法错误的是（　　）
A．此调查属于抽样调查
B．12000名学生的体重是总体
C．每个学生的体重是个体
D．500名学生是所抽取的一个样本
【考点】总体、个体、样本、样本容量；全面调查与抽样调查．版权所有
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【解答】解：A、此调查属于抽样调查，说法正确，故A不符合题意；
B、12000名学生的体重是总体，说法正确，故B不符合题意；
C、每个学生的体重是个体，说法正确，故C不符合题意；
D、500名学生的体重是所抽取的一个样本，原来的说法错误，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
3．（2分）下列各式中，化简后能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】同类二次根式．版权所有
【分析】先根据二次根式的性质进行化简，再看看能否合并即可．
【解答】解：A、＝2，与不能合并，故本选项不符合题意；
B、＝，与能合并，故本选项符合题意；
C、＝，与不能合并，故本选项不符合题意；
D、＝2，与不能合并，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的性质和同类二次根式，能熟记同类二次根式的定义是解此题的关键．
4．（2分）下列式子从左到右变形一定正确的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【考点】分式的基本性质．版权所有
【分析】根据分式的基本性质，进行计算即可解答．
【解答】解：A、＝±，故A不符合题意；
B、≠，故B不符合题意；
C、＝（a≠0），故C不符合题意；
D、＝，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
5．（2分）已知点（﹣2，a），（2，b），（3，c）在函数y＝（k为常数）的图象上，则下列判断正确的是（　　）
A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．c＜b＜a
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．版权所有
【分析】根据反比例函数的性质得到函数y＝（k为常数）的图象分布在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小，则b＞c＞0，a＜0．
【解答】解：∵k2+2＞0，
∴函数y＝（k为常数）的图象分布在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小，
∵﹣2＜0＜2＜3，
∴b＞c＞0，a＜0，
∴a＜c＜b．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
6．（2分）平面直角坐标系中，菱形ABCD如图所示，OA＝3，点D在线段AB的垂直平分线上，若菱形ABCD绕点O逆时针旋转，旋转速度为每秒45°，则第2022秒时点D的对应坐标为（　　）

A．（2，3） B．（﹣2，﹣3） C．（3，﹣2） D．（﹣3，2）
【考点】菱形的性质；坐标与图形变化﹣旋转；线段垂直平分线的性质．版权所有
【分析】根据菱形的性质和垂直平分线的性质，可以得到点D的坐标，然后根据旋转的性质，可以得到点D在第2022秒对应的点D在第四象限，然后即可写出点D对应的坐标．
【解答】解：作DE⊥BC于点E，如右图所示，
由题意可得，BE＝EC＝OB，
∵OA＝3，∠AOB＝90°，AB＝2OB，
∴OB＝，AB＝2，
∴点D的坐标为（2，3），
∵360°÷45°＝8，2022÷8＝252…6，
∴第2022秒时点D的对应坐标为在第四象限，此时点D对应的坐标为（3，﹣2），
故选：C．

【点评】本题考查菱形的性质、线段垂直平分线的性质、坐标与图形变换，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．）
7．（2分）使分式有意义的x的取值范围是　x≠﹣2　．
【考点】分式有意义的条件．版权所有
【分析】根据分式有意义，分母不等于0列不等式求解即可．
【解答】解：由题意得，x+2≠0，
解得x≠﹣2．
故答案为：x≠﹣2．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握相关定义是解题关键．
8．（2分）计算：（）2＝　9　；＝　9　．
【考点】二次根式的乘除法；二次根式的性质与化简．版权所有
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．
【解答】解：（）2＝9，
＝9，
故答案为：9，9．
【点评】本题考查二次根式的加减运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算法则，本题属于基础题．
9．（2分）一个圆形转盘分成3个区域，分别涂上红色、绿色、黄色．小明转动到红色的频数为20，频率为40%，则小明共转动转盘 　50　次．
【考点】频数与频率．版权所有
【分析】根据频率＝频数÷总次数，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
20÷40%＝50，
∴小明共转动转盘50次，
故答案为：50．
【点评】本题考查了频数与频率，熟练掌握频率＝频数÷总次数是解题的关键．
10．（2分）分式和的最简公分母为 　2（a+b）（a﹣b）　．
【考点】最简公分母．版权所有
【分析】根据最简公分母的定义即可得出答案．
【解答】解：分式，，两个分式的最简公分母为2（a+b）（a﹣b），
故答案为：2（a+b）（a﹣b）．
【点评】本题考查最简公分母，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，这是解题的关键．
11．（2分）如图，在矩形ABCD中无重叠放入面积分别为12cm2和18cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为 　（6﹣12）　cm2．

【考点】二次根式的应用．版权所有
【分析】根据题意列代数式，再利用二次根式的运算求解．
【解答】解：根据题意可得：
×﹣12
＝6﹣12．
故答案为：6﹣12．
【点评】本题考查列二次根式的应用，正确使用公式是解题得关键．
12．（2分）如图，正比例函数y＝ax与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，BC∥x轴，AC∥y轴，若S△ABC＝12，则b＝　6　．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．版权所有
【分析】先设A点坐标，根据反比例函数正比例函数的中心对称性再确定B点坐标，于是可得到C点坐标，然后根据三角形面积公式得到关于b的方程，解方程即可．
【解答】解：设A点坐标为（m，），则B点坐标为（﹣m，﹣），
∴C点坐标为（m，﹣），
∴AC＝，BC＝2m，
∴△ABC的面积＝AC•BC＝•2m•＝12，
∴b＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了反比例函数一次函数的交点问题，根据函数的性质得出A、B、C的坐标是解题的关键．
13．（2分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝16，BD＝12，E是边AD上一点，直线OE交BC于点F，将菱形沿直线EF折叠，点A、B的对应点分别为A′、B′，若AE＝4，则B′F的长为 　6　．

【考点】翻折变换（折叠问题）；菱形的性质．版权所有
【分析】根据菱形的性质，由AC＝16，BD＝12，即可计算出BC的长，易证△AOE≌△COF，可得AE＝CF＝4，再根据翻折的性质即可得出答案．
【解答】解：∵AC＝16，BD＝12，
∴BO＝＝8，CO＝，
∴BC＝10，
∵四边形ABCD是菱形，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE＝CF＝4，
根据折叠的性质可得，
B′F＝BF＝BC﹣CF＝10﹣4＝6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了翻折变换（折叠问题）及菱形的性质，熟练掌握翻折变换（折叠问题）及菱形的性质进行求解是解决本题的关键．
14．（2分）如图，在▱ABCD中，∠D＝80°，若△ABC是等腰三角形，则∠ACB的度数为 　50或80或20　°．

【考点】平行四边形的性质；等腰三角形的性质．版权所有
【分析】分三种情况，根据平行四边形的性质及等腰三角形的性质即可得结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D＝80°，
若△ABC是等腰三角形，分三种情况：
①若AB＝BC，
∴∠ACB＝∠BAC，
∴∠ACB＝50°；
②若AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝80°；
③若AC＝BC，
∴∠B＝∠BAC＝80°，
∴∠ACB＝20°，
故∠ACB的度数为50°或80°或20°．
故答案为：50或80或20．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，解决本题的关键熟练掌握平行四边形的性质．
15．（2分）已知一次函数y1＝kx+b（k≠0）与反比例函数y2＝（m＜0）相交于点A（﹣3，a），B（﹣1，c），不等式kx＞﹣b的解集是 　﹣3＜x＜﹣1或x＞0　．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．版权所有
【分析】找出直线在反比例函数图象的上方部分图象的自变量x的取值即可．
【解答】解：∵当k+b＞时，﹣3＜x＜﹣1或x＞0，
∴不等式kx＞﹣b的解集是﹣3＜x＜﹣1或x＞0．
故答案为：﹣3＜x＜﹣1或x＞0．

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，数形结合是解题的关键．
16．（2分）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，D为射线BC上一动点（点D在点C的右侧），将线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE，连接BE，F为BE的中点，连接CF，在点D运动的过程中，线段CF长度的最小值为 　　．

【考点】旋转的性质；等边三角形的性质．版权所有
【分析】连接CE，取BC的中点N，连接NF，先由等腰三角形的性质得∠DCE＝30°，再由三角形中位线定理得NF∥CE，则∠CNF＝∠DCE＝30°，得点F的轨迹为直线NF，且∠CNF＝30°，当CF⊥NF时，CF最短，即可求解．
【解答】解：连接CE，取BC的中点N，连接NF，如图2所示：

∵△CDE为等腰三角形，∠CDE＝120°，
∴∠DCE＝30°，
∵点N为BC的中点，点F为BE的中点，
∴NF是△BCE的中位线，
∴NF∥CE，
∴∠CNF＝∠DCE＝30°，
∴点F的轨迹为直线NF，且∠CNF＝30°，
当CF⊥NF时，CF最短，
∵AB＝BC＝6，
∴CN＝3，
在Rt△CNF中，∠CNF＝30°，
∴CF＝CN＝，
∴线段CF长度的最小值为，
故答案为：．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，确定点F的轨迹是解题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共68分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（4分）计算：
【考点】实数的运算．版权所有
【分析】首先计算开方方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：
＝﹣2+3+﹣1+2×
＝+1
【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
18．（8分）（1）化简：﹣；
（2）解方程﹣＝；
（3）观察（1）、（2）的式子及结果，写出一条你的发现．
【考点】解分式方程．版权所有
【分析】（1）原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（3）观察式子与分式方程的左边相同，根据（1）的结果猜出（2）中分式方程无解．
【解答】解：（1）原式＝﹣
＝
＝﹣
＝﹣；
（2）去分母得：1﹣3x＝6x﹣2，
解得：x＝，
检验：把x＝代入得：3（3x﹣1）＝0，
∴x＝是增根，分式方程无解；
（3）根据题意猜出分式方程无解．
【点评】此题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键．
19．（5分）先化简，再求值：（）÷（1﹣），其中a＝2﹣．
【考点】分式的化简求值；二次根式的性质与化简．版权所有
【分析】先将小括号内的式子进行通分计算，然后算括号外面的除法，最后代入求值．
【解答】解：原式＝[﹣]÷（﹣）
＝÷
＝•
＝，
当a＝2﹣时，
原式＝＝．
【点评】本题考查分式的化简求值，理解二次根式的性质，掌握分式混合运算的运算顺序（先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的）和计算法则是解题关键．
20．（8分）某区教育部门为了了解八年级学生每学期参加综合实践活动的情况，随机调查了部分学生，并将他们某一学期参加综合实践活动的天数进行统计，绘制了下面两幅不完整的统计图（如图）．请你根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）参加调查的八年级学生总人数为 　200　人；
（2）根据图中信息，补全条形统计图；
（3）扇形统计图中“活动时间为6天”的扇形所对应的圆心角的度数为 　54　°；
（4）全区共有八年级学生12000人，请你估计“活动时间至少5天”的大约有多少人？

【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．版权所有
【分析】（1）根据2天的人数和所占的百分比求出参加调查的八年级学生总人数；
（2）用总人数减去其他活动天数的人数求出活动5天的人数，再补全统计图即可；
（3）用360°乘以“活动时间为6天”的人数所占的百分比即可得出“活动时间为6天”的扇形所对应的圆心角的度数；
（4）根据全市共有的八年级学生数乘以“活动时间不少于5天”的人数所占的百分比即可．
【解答】解：（1）参加调查的八年级学生总人数为：20÷10%＝200（人）；
故答案为：200；
（2）实践活动7天的人数有：200×5%＝10（人），
实践活动5天的人数有：200﹣20﹣30﹣60﹣30﹣10＝50（人），
补全统计图如下：

（3）“活动时间为6天”的扇形所对应的圆心角的度数是：360°×15%＝54°；
故答案为：54；
（4）根据题意得：12000×＝5400（人），
答：估计“活动时间至少5天”的大约有5400人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21．（6分）在一个不透明的抽奖袋中装有红色、黄色、白色、黑色四种除颜色外都相同的小球，从袋子中摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖，黑色表示谢谢参与．
（1）若小明获得1次抽奖机会，小明中奖是 　随机　事件；（填随机、必然、不可能）
（2）小明观察后发现，平均每8个人中会有1人抽中一等奖，2人抽中二等奖，3人未获奖，若袋中共有24个球，请你估算袋中白球的数量；
（3）在（2）的条件下，如果在抽奖袋中增加两个黄球，抽中一等奖的概率会怎样变化？请说明理由；继续添加小球，能否使抽中一等奖的概率还原？若能，请设计一种添加方案．若不能，请说明理由．
【考点】概率公式；用样本估计总体；随机事件．版权所有
【分析】（1）根据随机事件的定义，结合题目问题情境进行判断即可；
（2）求出“获三等奖”的概率即可估计白球的数量；
（3）根据概率的定义，加入2个黄球，球的总数为10个，而红球1个，因此概率发生变化；再根据添加红球和其它颜色的球，使红球的概率为即可．
【解答】解：（1）袋子中装有红色、黄色、白色、黑色四种颜色的小球，摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖，而黑色表示谢谢参与，
所以小明中奖是随机事件，
故答案为：随机；
（2）由题意得，获得三等奖的概率为＝，
24×＝6（个），
答：袋中共有24个球，估计袋中白球大约有6个；
（3）加入2个黄球，球的总数为10个，而红球只有1个，因此红球的概率为，所以抽中一等奖的概率降低了；
可以还原为，
设加入1个红球，x个其它颜色的球，由于红球的概率为，所以有，
＝，
解得x＝7，
所以设计方案为：继续添加1个红球，7个其它颜色的球，能是摸到红球的概率还原为．
【点评】本题考查概率的公式，随机事件、必然事件、不可能事件，掌握概率的计算方法，理解随机事件、必然事件、不可能事件的定义是正确解答的前提．
22．（7分）如图，△ABC的中线AF与中位线DE相交于点O．
（1）求证：AF与DE互相平分；
（2）当△ABC满足 　AB＝AC，∠BAC＝90°　时，四边形ADFE是正方形．

【考点】正方形的判定；三角形中位线定理；平行四边形的判定与性质．版权所有
【分析】（1）证明四边形DFEA是平行四边形，即可得出结论；
（2）由等腰三角形的性质得出AF⊥BC，再根据三角形中位线定理及正方形的判定可得出结论．
【解答】（1）证明：∵△ABC的中线AF与中位线DE相交于点O，
∴EF是△ABC的中位线，AD＝BD，
∴EF∥AB，EF＝AB＝AD，
∴四边形DFEA是平行四边形，
∴AF与DE互相平分．
（2）解：当△ABC满足AB＝AC，∠BAC＝90°时，四边形ADFE是正方形，
由（1）得：四边形ADFE是平行四边形，
∵AB＝AC，AF是△ABC的中线，
∴AF⊥BC，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∴AF⊥DE，
∴平行四边形ADFE是菱形．
又∵∠BAC＝90°，
∴四边形ADFE是正方形．
故答案为：AB＝AC，∠BAC＝90°．
【点评】本题考查了正方形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
23．（8分）如图，已知平行四边形ABCD，根据所学知识，利用直尺和圆规在平行四边形内作一个菱形．
（1）小明的作图中，用到的作图依据有 　①③　.（填序号）
①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
③有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
④对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
（2）请再用两种不同的方法作图．（保留作图痕迹，不写作法）


【考点】作图—复杂作图；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质．版权所有
【分析】连接AC，作AC的中垂线交CD、AB于G、H，则四边形AHCG是菱形；分别作∠DAB与∠ADC的平分线AF、DE，分别交DC于点F，交AB于点E，则四边形AEFD是菱形．
【解答】解：（1）小明的作图中，用到的作图依据有：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
故答案为：①③；
（2）如图，四边形AGCH和AEFD即为所求．

【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
24．（7分）为落实“精准扶贫惠民政策”，某村计划将自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工，恰好在规定时间内完成．若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合作施工15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．请你根据以上信息，提出一个用分式方程解决的问题，并写出解答过程．
【考点】分式方程的应用．版权所有
【分析】问题：甲单独施工需要多少天？设甲单独施工需要x天，根据“如果由甲、乙队先合作施工15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天”列分式方程，求解即可．
【解答】解：问题：甲单独施工需要多少天？
设甲单独施工需要x天，
根据题意，得，
解得x＝30，
经检验，x＝30是原方程的根，且符合题意，
答：甲单独施工需要30天．
【点评】本题考查了分式方程的应用，提出问题并根据题意建立方程是解题的关键．
25．（6分）材料阅读：古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量》中提出：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p＝，那么三角形的面积为S＝，这一公式称为海伦公式．
我国南宋时期数学家秦九韶在《数书九章》中提出利用三角形三边a，b，c，求三角形面积的公式S＝，被称之为秦九韶公式．
（1）海伦公式与秦九韶公式本质上是同一个公式．你同意这种说法吗？请利用以下数据验证两公式的一致性．
如图①，在△ABC中，BC＝a＝7，AC＝b＝5，AB＝c＝6，求△ABC的面积．
（2）在（1）的基础上，作∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O．过点O作OD⊥AB，OD的长为 　　．

【考点】二次根式的应用；角平分线的性质；数学常识．版权所有
【分析】（1）分别代入公式求解，答案一样就是一致的．
（2）利用公式求解．
【解答】解：（1）我同意这种说法．
验证：利用海伦公式：P＝0.5（5+6+7）＝9．
△ABC的面积的面积为：＝6；
利用秦九韶公式：
△ABC的面积的面积为＝6．
∵＝6，
海伦公式与秦九韶公式本质上是同一个公式．
（2）∵∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，
∴O为△ABC的内心，且O到三角形的三条边的距离相等，距离为OD的长，设为x，
∴△ABC的面积等于：0.5×（5+6+7）x＝6，
解得：x＝．
所以OD的长为：．
故填：．
【点评】本题考查学生的运算能力和对三角形内心的理解，熟练运算是解本题的关键．
26．（9分）“卓越数学兴趣小组”准备对函数y＝|﹣3|图象和性质进行探究，他们制定了以下探究步骤：
（1）该小组认为此函数与反比例函数有关，于是他们首先画出了反比例函数y＝的图象（如图1），然后画出了y＝﹣3的图象，请在图1中画出此图象（草图）．
（2）他们发现函数y＝﹣3图象可以由y＝的图象平移得到，请写出平移过程．
（3）他们发现可以根据函数y＝﹣3图象画出函数y＝|﹣3|的图象，请在图2中画出此图象（草图），并写出其中的两条函数性质．
（4）他们研究后发现，方程|﹣3|＝a中，随着a的变化，方程的解的个数也会有所变化，请结合图象，就a的取值范围讨论方程解的情况．


【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数与一元一次方程；反比例函数的定义；反比例函数的图象；反比例函数的性质．版权所有
【分析】（1）画出函数y＝﹣3的图象即可；
（2）观察图象即可得到结论；
（3）画出函数y＝|﹣3|的图象，由图象可知，①当x＜﹣1时，y随x的增大而增大；②当x＞1时，y随x的增大而增大；
（4）分5种情况得到结论．
【解答】解：（1）画出函数y＝﹣3的图象如图1，

（2）函数y＝﹣3图象可以由y＝的图象先向左平移一个单位，再向下平移3个单位得到；
（3）画出函数y＝|﹣3|的图象如图2，

由图象可知，①当x＜﹣1时，y随x的增大而增大；
②当x＞1时，y随x的增大而增大；
（4）方程|﹣3|＝a中，随着a的变化，方程的解的个数也会有所变化，
当a＜0时，方程|﹣3|＝a无解；
当a＝0，方程|﹣3|＝a有1个解；
当0＜a＜3时，方程|﹣3|＝a有2个解；
当a＝3时，方程|﹣3|＝a有1个解；
当a＞3时，方程|﹣3|＝a有2个解．
【点评】本题考查了反比例函数的图形和性质，函数与方程的关系，数形结合是解题的关键．