2021-2022学年上海市复兴高级中学高一下学期期末考试线上自测数学试卷（含详解）

上海市复兴高级中学2021学年第二学期期末线上自测

高一年级数学试卷

一、填空题（每题8分，共80分）

1 已知向量，，，______．

2. 已知复平面上有点A和点B，向量与向量所对应的复数分别为与，则点B的坐标为____________．

3. 已知，，，则点的坐标为____________．

4. 已知等比数列，首项，公比，前项和为；则____________．

5. ，若，则____________．

6. 计算的结果是________.

7. 已知向量、满足，，且，则向量在上的投影为____________．

8. 已知数列中，，，则通项公式____________．

9. 若lg 2，lg(2x－1)，lg(2x＋3)成等差数列，则x值是________.

10. 已知数列的前项和为，点在直线上．若，数列的前项和为，则满足的的最大值为________．

二、选择题（每题8分，共16分）

11. 已知，“”是“z为实数”的（    ）条件

A. 充分非必要 B. 必要非充分

C. 充要 D. 既非充分也非必要

12. 在直角中，是直角，CA=4，CB=3，的内切圆交CA，CB于点D，E，点P是图中阴影区域内的一点(不包含边界)．若，则的值可以是（    ）

A. 1 B. 2 C. 4 D. 8

三、解答题（14+20+20=54分）

13. 已知、两个单位向量．

（1）若，试求的值；

（2）若、的夹角为，试求向量与的夹角的余弦值．

14. 设方程的两根为．

（1）若，求的值；

（2）若方程至少有一根的模为1，求的值．

15. 首项为的无穷等比数列所有项的和为1，为的前n项和，又，常数，数列满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的通项公式；

（3）若是严格减数列，求t最小值.

上海市复兴高级中学2021学年第二学期期末线上自测

高一年级数学试卷

一、填空题（每题8分，共80分）

1. 已知向量，，，______．

【答案】

【分析】由两个向量垂直的坐标运算进行计算即可.

【详解】因为，所以，所以，解得．

故答案为：

2. 已知复平面上有点A和点B，向量与向量所对应的复数分别为与，则点B的坐标为____________．

【答案】

【分析】根据向量的线性运算结合复数的几何意义即可求解.

【详解】解：因为，所以点B的坐标为.

故答案为：.

3. 已知，，，则点的坐标为____________．

【答案】

【分析】利用平面向量线性运算的坐标表示即可求解.

【详解】解：设，因为，，所以，

又，所以，解得，故点的坐标为.

故答案为：.

4. 已知等比数列，首项，公比为，前项和为；则____________．

【答案】

【分析】根据等比数列求和公式直接计算即可.

【详解】由已知得，

故答案为：.

5. ，若，则____________．

【答案】

【分析】根据共轭复数的定义及性质结合复数模的定义即可求解.

【详解】解：因为，所以，则，故

所以.

故答案为：.

6. 计算的结果是________.

【答案】

【分析】

把化为三角形式，然后模相除，辐角相减得商的模和辐角，再化为代数形式．

详解】解析1：

.

解析2：原式.

【点睛】本题考查复数的除法，解题时把所有复数化为三角形式，然后模相除，辐角相减得商的模和辐角，再化为代数形式即可．当然也可以化为代数形式计算．

7. 已知向量、满足，，且，则向量在上的投影为____________．

【答案】

【分析】根据题意可求出向量、的夹角，再根据向量在上的投影为即可得解.

【详解】解：因为，，且，

所以，

所以，

所以向量在上投影为.

故答案为：.

8. 已知数列中，，，则通项公式____________．

【答案】

【分析】根据题意可得数列是等比数列，从而可求出数列的通项，即可得出答案.

【详解】解：因为，所以，

因为，

所以，

所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，

所以，

所以.

故答案为：.

9. 若lg 2，lg(2x－1)，lg(2x＋3)成等差数列，则x的值是________.

【答案】log25

【分析】由题意得lg2+lg（2x+3）=2lg（2x﹣1），由对数的运算性质得lg[2•（2x+3）]=lg（2x﹣1）2，解可得2x的值，由指数的运算性质可得答案．

【详解】若lg2，lg（2x﹣1），lg（2x+3）成等差数列，则lg2+lg（2x+3）=2lg（2x﹣1），

由对数的运算性质可得lg[2•（2x+3）]=lg（2x﹣1）2，

解得2x=5或2x=﹣1（不符合指数函数的性质，舍去）

则x=log25

故答案为log25

【点睛】本题考查指数、对数的运算性质以及等差数列的性质，解题时注意结合指数函数的性质，否则容易产生增根．

10. 已知数列的前项和为，点在直线上．若，数列的前项和为，则满足的的最大值为________．

【答案】13

【分析】由题设易得，即可求，进而得，讨论为奇数、偶数求，结合已知不等关系求的最大值即可.

【详解】由题意知：，则，

当时，；当时，；而，

∴，，

∴，

∴，

当为奇数时，，

当为偶数时，，

∴要使，即或，解得且.

故答案为：13.

【点睛】关键点点睛：由的关系求通项公式，讨论写出，进而由不等关系求的最大值.

二、选择题（每题8分，共16分）

11. 已知，“”是“z为实数”的（    ）条件

A. 充分非必要 B. 必要非充分

C. 充要 D. 既非充分也非必要

【答案】C

【分析】化简得到是实数，再利用充分条件必要条件的定义判断.

【详解】设,

因为，所以,

所以是实数；

当是实数时，.

所以“”是“z为实数”的充要条件.

故选：C

【点睛】方法点睛：充分条件必要条件的定义的判断常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.

12. 在直角中，是直角，CA=4，CB=3，的内切圆交CA，CB于点D，E，点P是图中阴影区域内的一点(不包含边界)．若，则的值可以是（    ）

A. 1 B. 2 C. 4 D. 8

【答案】B

【分析】先由内切圆性质求出半径，再利用坐标法得到的几何意义，最后利用线性规划方法数形结合可解.

【详解】在中，CA=4，CB=3，则AB=5，

设内切圆半径为r，且，

则，

以C为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，则，.

，令，则点P在直线上(t为截距).

又点P是图中阴影区域内的一点(不包含边界)．即直线与阴影区域(不包含边界)有公共点.

由图可知，当且时，才满足题意，所以排除选项ACD.

故选：B.

【点睛】解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义，依据可行域的情况数形结合决定参数取值．

三、解答题（14+20+20=54分）

13. 已知、是两个单位向量．

（1）若，试求的值；

（2）若、的夹角为，试求向量与的夹角的余弦值．

【答案】（1）   

（2）

【分析】（1）平方后由数量积运算律求解

（2）由数量积的定义求解

【小问1详解】

，，是两个单位向量，

，，

；

．

【小问2详解】

，，，

，

，

，

，．

14. 设方程的两根为．

（1）若，求的值；

（2）若方程至少有一根的模为1，求的值．

【答案】（1）   

（2）的值为-2，0，1

【分析】（1）利用方程根与系数的关系得到，结合即可得出结论；

（2）讨论两根为实数根和虚数根的情况分别求解的值.

【小问1详解】

解：因为方程两根为，

所以，，

又，则，所以.

故.

【小问2详解】

解：①若为实数根，则，即，

设，则，

将代入方程得，即（满足），

将代入方程得，即（满足）；

②若为共轭虚根，则，即，

设，则，

故（满足）.

综上，的值为-2，0，1.

15. 首项为的无穷等比数列所有项的和为1，为的前n项和，又，常数，数列满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列通项公式；

（3）若是严格减数列，求t的最小值.

【答案】（1）   

（2）   

（3）的最小值为1

【分析】（1）根据无穷等比数列所有项的和为1，求出公比，再根据等比数列的通项公式可得；

（2）求出,代入可得；

（3）求出，然后根据数列递减可得恒成立，由不等式恒成立可得答案.

【小问1详解】

设无穷等比数列的公比为，则,所以，解得，

所以.

【小问2详解】

因为,所以,

所以,

所以.

【小问3详解】

,,所以,

因为是递减数列，

所以

恒成立，

所以恒成立，所以恒成立，

因为为递减函数，所以时，取得最大值，

所以,又因为，所以的最小值为1.