2018-2020江苏中考数学真题汇编 专题13 圆与正多边形

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2018-2020江苏中考数学试题汇编
——圆与正多边形
一．选择题（共11小题）
1．（2020•南京）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，与轴、轴都相切，且经过矩形的顶点，与相交于点．若的半径为5，点的坐标是．则点的坐标是　　
A． B． C． D．

第1题 第2题
2．（2020•徐州）如图，是的弦，点在过点的切线上，，交于点．若，则的度数等于　　
A． B． C． D．
3．（2019•苏州）如图，为的切线，切点为，连接、，与交于点，延长与交于点，连接．若，则的度数为　　
A． B． C． D．

第3题 第4题
4．（2018•苏州）如图，是半圆的直径，为圆心，是半圆上的点，是上的点，若，则的度数为　　
A． B． C． D．
5．（2020•常州）如图，是的弦，点是优弧上的动点不与、重合），，垂足为，点是的中点．若的半径是3，则长的最大值是　　
A．3 B．4 C．5 D．6

第5题 第6题
6．（2018•常州）如图，是的直径，是的切线，切点为，如果，则的度数为　　
A． B． C． D．
7．（2018•常州）某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺的0刻度固定在半圆的圆心处，刻度尺可以绕点旋转．从图中所示的图尺可读出的值是　　
A． B． C． D．

第7题 第8题
8．（2020•扬州）如图，小明从点出发沿直线前进10米到达点，向左转后又沿直线前进10米到达点，再向左转后沿直线前进10米到达点照这样走下去，小明第一次回到出发点时所走的路程为　　
A．100米 B．80米 C．60米 D．40米
9．（2020•扬州）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点、、都在格点上，以为直径的圆经过点、，则的值为　　
A． B． C． D．

第9题 第10题 第11题
10．（2019•无锡）如图，是的切线，切点为，的延长线交于点，若，则的度数为　　
A． B． C． D．
11．（2018•无锡）如图，矩形中，是的中点，过、、三点的圆与边、分别交于点、点，给出下列说法：（1）与的交点是圆的圆心；（2）与的交点是圆的圆心；（3）与圆相切，其中正确说法的个数是　　
A．0 B．1 C．2 D．3
二．填空题（共20小题）
12．（2020•南京）如图，在边长为的正六边形中，点在上，则的面积为　　．

第12题 第13题 第14题
13．（2019•南京）如图，、是的切线，、为切点，点、在上．若，则　　．
14．（2018•南京）如图，在矩形中，，，以为直径作．将矩形绕点
旋转，使所得矩形的边与相切，切点为，边与相交于点
，则的长为　　．
15．（2018•南京）如图，五边形是正五边形．若，则　　．

第15题 第16题 第17题
16．（2020•徐州）如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为　　．
17．（2019•徐州）如图，、、、为一个外角为的正多边形的顶点．若为正多边形的中心，则　　．
18．（2018•徐州）如图，为的直径，，为半圆的中点，为上一动点，延长至点，使．若点由运动到，则点运动的路径长为　　．

第18题 第19题 第20题
19．（2020•苏州）如图，已知是的直径，是的切线，连接交于点，连接．若，则的度数是　　．
20．（2019•常州）如图，是的直径，、是上的两点，，则
　　．
21．（2019•常州）如图，半径为的与边长为8的等边三角形的两边、都相切，连接，则　　．

第21题 第22题 第23题
22．（2018•常州）如图，是的内接三角形，，的长是，则的半径是　　．
23．（2020•扬州）如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度，则螺帽边长　　．
24．（2019•扬州）如图，是的内接正六边形的一边，点在上，且是的内接正十边形的一边，若是的内接正边形的一边，则　　．

第24题 第25题 第26题
25．（2018•扬州）如图，已知的半径为2，内接于，，则　　．
26．（2020•泰州）如图，直线，垂足为，点在直线上，，为直线上一动点，若以为半径的与直线相切，则的长为　　．
27．（2019•泰州）如图，的半径为5，点在上，点在内，且，过点作的垂线交于点、．设，，则与的函数表达式为　　．

第27题 第28题 第29题
28．（2018•泰州）如图，中，，，，将绕点顺时针旋转得到△，为线段上的动点， 以点为圆心，长为半径作，当与的边相切时，的半径为　　．
29．（2019•无锡）如图，在中，，在内自由移动，若的半径为1，且圆心在内所能到达的区域的面积为，则的周长为　　．
30．（2018•无锡）如图，点、、都在上，，点在劣弧上，且，则　　．

第30题 第31题
31．（2020•盐城）如图，在中，点在上，．则　　．
三．解答题（共19小题）
32．（2020•南京）如图，在中，，是上一点，经过点、、，交于点，过点作，交于点．
求证：（1）四边形是平行四边形；
（2）．

33．（2019•南京）如图，的弦、的延长线相交于点，且．求证：．

34．（2018•南京）如图，在正方形中，是上一点，连接．过点作，垂足为，经过点、、，与相交于点．
（1）求证：；
（2）若正方形的边长为4，，求的半径．

35．（2018•南京）结果如此巧合
下面是小颖对一道题目的解答．
题目：如图，的内切圆与斜边相切于点，，，求的面积．
解：设的内切圆分别与、相切于点、，的长为．
根据切线长定理，得，，．
根据勾股定理，得．
整理，得．
所以



．
小颖发现12恰好就是，即的面积等于与的积．这仅仅是巧合吗？
请你帮她完成下面的探索．
已知：的内切圆与相切于点，，．
可以一般化吗？
（1）若，求证：的面积等于．
倒过来思考呢？
（2）若，求证．
改变一下条件
（3）若，用、表示的面积．

36．（2020•南通）（1）如图①，点在上，点在上，，．求证：．
（2）如图②，为上一点，按以下步骤作图：
①连接；
②以点为圆心，长为半径作弧，交于点；
③在射线上截取；
④连接．
若，求的半径．


37．（2019•南通）如图，在中，，，，以边上一点为圆心，为半径的经过点．
（1）求的半径；
（2）点为劣弧中点，作，垂足为，求的长；
（3）在（2）的条件下，连接，求的值．

38．（2018•南通）如图，为的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为，且交于点．连接，，相交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求直径的长．

39．（2019•徐州）如图，为的直径，为上一点，为的中点．过点作直线的垂线，垂足为，连接．
（1）求证：；
（2）与有怎样的位置关系？请说明理由．


40．（2018•徐州）如图，为的直径，点在外，的平分线与交于点，．
（1）与有怎样的位置关系？请说明理由；
（2）若，，求的长．

41．（2020•苏州）如图，已知，是的平分线，是射线上一点，．动点从点出发，以的速度沿水平向左作匀速运动，与此同时，动点从点出发，也以的速度沿竖直向上作匀速运动．连接，交于点．经过、、三点作圆，交于点，连接、．设运动时间为，其中．
（1）求的值；
（2）是否存在实数，使得线段的长度最大？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
（3）求四边形的面积．

42．（2019•苏州）如图，为的直径，为上一点，是弧的中点，与、分别交于点、．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，求的值．


43．（2018•苏州）如图，是的直径，点在上，垂直于过点的切线，垂足为，垂直，垂足为．延长交于点，连接，与相交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求证：是等腰直角三角形．

44．（2020•扬州）如图，内接于，，点在直径的延长线上，且．
（1）试判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，求阴影部分的面积．

45．如图，是的弦，过点作，交于，．
（1）求证：是的切线；
（2）已知，点是上的一点．
①求的度数；
②若，求的长．




46．（2020•泰州）如图，在中，点为的中点，弦、互相垂直，垂足为，分别与、相交于点、，连接、．
（1）求证：为的中点．
（2）若的半径为8，的度数为，求线段的长．

47．（2019•泰州）如图，四边形内接于，为的直径，为的中点，过点作，交的延长线于点．
（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若的半径为5，，求的长．

48．（2018•泰州）如图，为的直径，为上一点，的平分线交于点，于点．
（1）试判断与的位置关系，并说明理由；
（2）过点作于点，若，，求图中阴影部分的面积．


49．（2020•无锡）如图，过的圆心，交于点、，是的切线，点是切点，已知，．
（1）求证：；
（2）求的周长．

50．（2018•无锡）如图，四边形内接于，，，，，求的长．

























2018-2020江苏中考数学试题汇编
——圆与正多边形
一．选择题（共11小题）
1．（2020•南京）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，与轴、轴都相切，且经过矩形的顶点，与相交于点．若的半径为5，点的坐标是．则点的坐标是　　
A． B． C． D．

第1题 第2题
【解答】设与、轴相切的切点分别是、点，连接、、，延长与交于点，
则轴，轴，
，
四边形是矩形，
，，
四边形为正方形，
，
，
，
，
四边形为矩形，
，，，
，
四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，
，，
，，
，
，
，
，，
，
，
．
故选：．
2．（2020•徐州）如图，是的弦，点在过点的切线上，，交于点．若，则的度数等于　　
A． B． C． D．
【解答】，
，
，
，
，
，
为的切线，
，
，
．
故选：．
3．（2019•苏州）如图，为的切线，切点为，连接、，与交于点，延长与交于点，连接．若，则的度数为　　
A． B． C． D．

第3题 第4题
【解答】为的切线，
，
，
，
，
，
，
；
故选：．
4．（2018•苏州）如图，是半圆的直径，为圆心，是半圆上的点，是上的点，若，则的度数为　　
A． B． C． D．
【解答】，
，
，
故选：．
5．（2020•常州）如图，是的弦，点是优弧上的动点不与、重合），，垂足为，点是的中点．若的半径是3，则长的最大值是　　
A．3 B．4 C．5 D．6

第5题 第6题
【解答】，垂足为，
，
点是的中点．
，
的最大值是直径的长，的半径是3，
的最大值为3，
故选：．
6．（2018•常州）如图，是的直径，是的切线，切点为，如果，则的度数为　　
A． B． C． D．
【解答】是的切线，
，
，
，
，
，
．
故选：．
7．（2018•常州）某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺的0刻度固定在半圆的圆心处，刻度尺可以绕点旋转．从图中所示的图尺可读出的值是　　
A． B． C． D．

第7题 第8题
【解答】如图，把刻度尺与圆的另一个交点记作，连接．
是直径，
，
，，
，
由刻度尺可知，，
，
故选：．
8．（2020•扬州）如图，小明从点出发沿直线前进10米到达点，向左转后又沿直线前进10米到达点，再向左转后沿直线前进10米到达点照这样走下去，小明第一次回到出发点时所走的路程为　　
A．100米 B．80米 C．60米 D．40米
【解答】小明每次都是沿直线前进10米后向左转45度，
他走过的图形是正多边形，
边数，
他第一次回到出发点时，一共走了．
故选：．
9．（2020•扬州）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点、、都在格点上，以为直径的圆经过点、，则的值为　　
A． B． C． D．


第9题 第10题 第11题
【解答】如图，连接．
和所对的弧长都是，
根据圆周角定理知，．
在中，根据锐角三角函数的定义知，
，
，，
，
，
．
故选：．
10．（2019•无锡）如图，是的切线，切点为，的延长线交于点，若，则的度数为　　
A． B． C． D．
【解答】连接，如图，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
11．（2018•无锡）如图，矩形中，是的中点，过、、三点的圆与边、分别交于点、点，给出下列说法：（1）与的交点是圆的圆心；（2）与的交点是圆的圆心；（3）与圆相切，其中正确说法的个数是　　
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】连接、，作于，连接，如图，
是的中点，
，
垂直平分，
点在上，
，
，
与圆相切；
，
点不是的中点，
圆心不是与的交点；
，
，
四边形为的内接矩形，
与的交点是圆的圆心；
（1）错误，（2）（3）正确．
故选：C．
二．填空题（共20小题）
12．（2020•南京）如图，在边长为的正六边形中，点在上，则的面积为　　．

第12题 第13题 第14题
【解答】连接，，过点作于
是正六边形，
，，，
，
，，
，，
，
，
，，
，
，
故答案为．
13．（2019•南京）如图，、是的切线，、为切点，点、在上．若，则　　．
【解答】连接，
、是的切线，
，
，
，
，
，
故答案为：．
14．（2018•南京）如图，在矩形中，，，以为直径作．将矩形绕点旋转，使所得矩形的边与相切，切点为，边与相交于点，则的长为　　．
【解答】连接，延长交于点，作于点，
则，
矩形绕点旋转所得矩形为，
，、，
四边形和四边形都是矩形，，
，
，
，
四边形是矩形，
，即，
，
故答案为：4．
15．（2018•南京）如图，五边形是正五边形．若，则　　．

第15题 第16题 第17题
【解答】过点作，
五边形是正五边形，
，
，，
，
，，
，
．
故答案为：72．
16．（2020•徐州）如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为　　．
【解答】连接，，
、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，
点、、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上，
，
，
这个正多边形的边数，
故答案为：10．
17．（2019•徐州）如图，、、、为一个外角为的正多边形的顶点．若为正多边形的中心，则　　．
【解答】连接、，
多边形的每个外角相等，且其和为，
据此可得多边形的边数为：，
，
．
．
故答案为：
18．（2018•徐州）如图，为的直径，，为半圆的中点，为上一动点，延长至点，使．若点由运动到，则点运动的路径长为　　．

第18题 第19题 第20题
【解答】如图所示：连接，．
，
．
又，
，
，
始终与垂直．
当点在点时，与重合，
当点在点时，，此时，运动到最远处，
点运动路径长为4．
故答案为：4．
19．（2020•苏州）如图，已知是的直径，是的切线，连接交于点，连接．若，则的度数是　　．
【解答】是的切线，
，
，
，
，
，
而，
，
即的度数为，
故答案为：25．
20．（2019•常州）如图，是的直径，、是上的两点，，则
　　．
【解答】，
．
故答案为30．
21．（2019•常州）如图，半径为的与边长为8的等边三角形的两边、都相切，连接，则　　．

第21题 第22题 第23题
【解答】连接，作于，
与等边三角形的两边、都相切，
，
，
，
，
．
故答案为．
22．（2018•常州）如图，是的内接三角形，，的长是，则的半径是　　．
【解答】连接、．
，的长是，
，
，
故答案为2．
23．（2020•扬州）如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度，则螺帽边长　　．
【解答】如图，连接，过点作于，
由正六边形，得
，，
．
由，得．
，即，
解得，
故答案为：．
24．（2019•扬州）如图，是的内接正六边形的一边，点在上，且是的内接正十边形的一边，若是的内接正边形的一边，则　　．

第24题 第25题 第26题
【解答】连接，
是内接正六边形的一边，
，
是内接正十边形的一边，
，
，
；
故答案为：15．
25．（2018•扬州）如图，已知的半径为2，内接于，，则　　．
【解答】设点为优弧上一点，连接、、、，如右图所示，
的半径为2，内接于，，
，
，
，
，
故答案为：．
26．（2020•泰州）如图，直线，垂足为，点在直线上，，为直线上一动点，若以为半径的与直线相切，则的长为　　．
【解答】直线，为直线上一动点，
与直线相切时，切点为，
，
当点在点的左侧，与直线相切时，如图1所示：

；
当点在点的右侧，与直线相切时，如图2所示：
；
与直线相切，的长为或，
故答案为：或．

27．（2019•泰州）如图，的半径为5，点在上，点在内，且，过点作的垂线交于点、．设，，则与的函数表达式为　　．

第27题 第28题 第29题
【解答】连接并延长交于，连接，
则，，
，
，
，
，
，
的半径为5，，，，
，
，
，
故答案为：．
28．（2018•泰州）如图，中，，，，将绕点顺时针旋转得到△，为线段上的动点， 以点为圆心，长为半径作，当与的边相切时，的半径为　　．
【解答】 如图 1 中， 当与直线相切于点时， 连接．设，，
，
，
．
如图 2 中， 当与相切于点时， 易证、、共线，
△，
，
，
，
．
综上所述，的半径为或．
29．（2019•无锡）如图，在中，，在内自由移动，若的半径为1，且圆心在内所能到达的区域的面积为，则的周长为　　．
【解答】如图，由题意点所能到达的区域是，连接，延长交于，作于，于，作于．
，，，
，，
，
，
设，，
，
或（舍弃），
，
四边形是矩形，
，
设，，，
，，，
，
，，，设，
在中，则有，
，
，
，
，
，
，
，，
的周长，
故答案为25．
30．（2018•无锡）如图，点、、都在上，，点在劣弧上，且，则　　．

第30题 第31题
【解答】，，
，
即是等边三角形，
，
，
，
，
，
故答案为：
31．（2020•盐城）如图，在中，点在上，．则　　．
【解答】如图，取上的一点，连接，，
则四边形是的内接四边形，
．
，
，
，
故答案为：130．
三．解答题（共19小题）
32．（2020•南京）如图，在中，，是上一点，经过点、、，交于点，过点作，交于点．
求证：（1）四边形是平行四边形；
（2）．

【解答】证明：（1），
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；

（2）连接，
，，
，
四边形是的内接四边形，
，
，
，
，
，
．

33．（2019•南京）如图，的弦、的延长线相交于点，且．求证：．

【解答】证明：连接，
，
，
，即，
，
．
34．（2018•南京）如图，在正方形中，是上一点，连接．过点作，垂足为，经过点、、，与相交于点．
（1）求证：；
（2）若正方形的边长为4，，求的半径．

【解答】（1）证明：在正方形中，，
，
，
，
，
，
四边形是的内接四边形，
，
，
，
．
（2）如图，连接．
，，
，
，即，
，
，
，
在正方形中，，
，，
，
，
是的直径，
的半径为．
35．（2018•南京）结果如此巧合
下面是小颖对一道题目的解答．
题目：如图，的内切圆与斜边相切于点，，，求的面积．
解：设的内切圆分别与、相切于点、，的长为．
根据切线长定理，得，，．
根据勾股定理，得．
整理，得．
所以



．
小颖发现12恰好就是，即的面积等于与的积．这仅仅是巧合吗？
请你帮她完成下面的探索．
已知：的内切圆与相切于点，，．
可以一般化吗？
（1）若，求证：的面积等于．
倒过来思考呢？
（2）若，求证．
改变一下条件
（3）若，用、表示的面积．

【解答】设的内切圆分别与、相切于点、，的长为，
根据切线长定理，得：、、，
（1）如图1，

在中，根据勾股定理，得：，
整理，得：，
所以



，
（2）由，得：，
整理，得：，




，
根据勾股定理逆定理可得；
（3）如图2，过点作于点，

在中，，，
，
在中，根据勾股定理可得：，
整理，得：，




．
36．（2020•南通）（1）如图①，点在上，点在上，，．求证：．
（2）如图②，为上一点，按以下步骤作图：
①连接；
②以点为圆心，长为半径作弧，交于点；
③在射线上截取；
④连接．
若，求的半径．

【解答】（1）证明：在和中
，
，
；
（2）连接，如图②，
由作法得，
为等边三角形，
，
，
，
，

，
在中，．
即的半径为．
37．（2019•南通）如图，在中，，，，以边上一点为圆心，为半径的经过点．
（1）求的半径；
（2）点为劣弧中点，作，垂足为，求的长；
（3）在（2）的条件下，连接，求的值．

【解答】（1）作于．
在中，，，，
，
，
，
．
（2）如图2中，连接，．设交于．
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
．
（3）连接．
在中，，
．
，
是等边三角形，，
，
．
38．（2018•南通）如图，为的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为，且交于点．连接，，相交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求直径的长．

【解答】（1）证明：，，
，
，
为的直径，
，
，
且平分，
；
（2）为的直径，
，
，
四边形是矩形，
，，
，，
，，
设的为，
，
，
即，
解得，，
，
即直径的长是10．
39．（2019•徐州）如图，为的直径，为上一点，为的中点．过点作直线的垂线，垂足为，连接．
（1）求证：；
（2）与有怎样的位置关系？请说明理由．

【解答】（1）证明：连接，
为的中点，
，
，
，
；
（2）与相切，
理由：，
，
，
，
与相切．
40．（2018•徐州）如图，为的直径，点在外，的平分线与交于点，．
（1）与有怎样的位置关系？请说明理由；
（2）若，，求的长．

【解答】（1）相切．理由如下：
连接，
是的平分线，
，
又，
，
，
，
，
与相切；
（2）若，可得，
，
又，
，
的长．
41．（2020•苏州）如图，已知，是的平分线，是射线上一点，．动点从点出发，以的速度沿水平向左作匀速运动，与此同时，动点从点出发，也以的速度沿竖直向上作匀速运动．连接，交于点．经过、、三点作圆，交于点，连接、．设运动时间为，其中．
（1）求的值；
（2）是否存在实数，使得线段的长度最大？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
（3）求四边形的面积．

【解答】（1）由题意可得，，，
．
（2）当时，线段的长度最大．
如图，过点作，垂足为，则．
平分，
，
，．
设线段的长为，则，，，
，
，
，
．
．
当时，线段的长度最大，最大为．
（3），
是圆的直径．
．
，
是等腰直角三角形．
．
在中，．
四边形的面积，
，
．
四边形的面积为．
42．（2019•苏州）如图，为的直径，为上一点，是弧的中点，与、分别交于点、．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，求的值．
【解答】（1）因为点是弧的中点，
所以，即，
而，
所以，
所以；
（2），
，
，
；
（3），连接，则，
，在中，，
设：，则，
而，则，
，
，
而，
即和的相似比为3，
设：，则，，
，
，，
．
43．（2018•苏州）如图，是的直径，点在上，垂直于过点的切线，垂足为，垂直，垂足为．延长交于点，连接，与相交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求证：是等腰直角三角形．

【解答】证明：（1）连接，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）连接，
，
，
，，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形；
44．（2020•扬州）如图，内接于，，点在直径的延长线上，且．
（1）试判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，求阴影部分的面积．

【解答】（1）证明：连接、，如图，
为的直径，
，
又，
，
又，，
为等边三角形，
，，
，
，
，
为的切线；
（2）作于，
由（1）可知为直角三角形，且，
，，
阴影部分的面积为．
故阴影部分的面积为．
45．如图，是的弦，过点作，交于，．
（1）求证：是的切线；
（2）已知，点是上的一点．
①求的度数；
②若，求的长．
【解答】（1）证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2）①，
，，
，
；
②，
，
的长的长．


46．（2020•泰州）如图，在中，点为的中点，弦、互相垂直，垂足为，分别与、相交于点、，连接、．
（1）求证：为的中点．
（2）若的半径为8，的度数为，求线段的长．

【解答】（1）证明：，
，
点为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
为的中点；
（2）连接，，，，
的度数为，
，
，
，
由（1）同理得：，
，
是的中位线，
．
47．（2019•泰州）如图，四边形内接于，为的直径，为的中点，过点作，交的延长线于点．
（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若的半径为5，，求的长．

【解答】（1）与相切，
理由：连接，
为的直径，
，
为的中点，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
，
与相切；
（2）的半径为5，
，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
48．（2018•泰州）如图，为的直径，为上一点，的平分线交于点，于点．
（1）试判断与的位置关系，并说明理由；
（2）过点作于点，若，，求图中阴影部分的面积．

【解答】（1）与相切，
理由：连接，
，
，
的平分线交于点，
，
，
，
，
，
与相切；

（2）的平分线交于点，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
则，
故图中阴影部分的面积为：．
49．（2020•无锡）如图，过的圆心，交于点、，是的切线，点是切点，已知，．
（1）求证：；
（2）求的周长．

【解答】证明：（1）是的切线，
，
，
，
，
，
，
又，
；
（2），，，
，，
，，
，
，
的周长．
50．（2018•无锡）如图，四边形内接于，，，，，求的长．

【解答】四边形内接于，，
，．
作于，于，则是矩形，．
在中，，，，
，
，
．
，，
，
，
．
在中，，，
．