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2018-2020江苏中考数学真题汇编 专题17 一次函数、反比例函数综合
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这是一份2018-2020江苏中考数学真题汇编 专题17 一次函数、反比例函数综合，共34页。
2018-2020江苏中考数学试题汇编
一次函数、反比例函数综合
一．选择题（共16小题）
1．（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，函数y=4x（x＞0）与y＝x﹣1的图象交于点P（a，b），则代数式1a-1b的值为（ ）
A．-12 B．12 C．-14 D．14
第1题 第2题
2．（2019•徐州）若A（x1，y1）、B（x2，y2）都在函数y=2019x的图象上，且x1＜0＜x2，则（ ）
A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．y1＝﹣y2
3．（2018•徐州）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝kx与y=-2x的图象交于A，B两点，过A作y轴的垂线，交函数y=4x的图象于点C，连接BC，则△ABC的面积为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．（2020•苏州）如图，平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D（3，2）在对角线OB上，反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象经过C、D两点．已知平行四边形OABC的面积是152，则点B的坐标为（ ）
第4题 第6题
A．（4，83） B．（92，3） C．（5，103） D．（245，165）
5．（2019•苏州）若一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象经过点A（0，﹣1），B（1，1），则不等式kx+b＞1的解集为（ ）
A．x＜0 B．x＞0 C．x＜1 D．x＞1
6．（2018•苏州）如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数y=kx在第一象限内的图象经过点D，交BC于点E．若AB＝4，CE＝2BE，tan∠AOD=34，则k的值为（ ）
A．3 B．23 C．6 D．12
7．（2020•常州）如图，点D是▱OABC内一点，CD与x轴平行，BD与y轴平行，BD=2，∠ADB＝135°，S△ABD＝2．若反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过A、D两点，则k的值是（ ）
A．22 B．4 C．32 D．6
第7题 第9题
8．（2019•扬州）若反比例函数y=-2x的图象上有两个不同的点关于y轴的对称点都在一次函数y＝﹣x+m的图象上，则m的取值范围是（ ）
A．m＞22 B．m＜﹣22
C．m＞22或m＜﹣22 D．﹣22＜m＜22
9．（2019•无锡）如图，已知A为反比例函数y=kx（x＜0）的图象上一点，过点A作AB⊥y轴，垂足为B．若△OAB的面积为2，则k的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
10．（2018•无锡）已知点P（a，m），Q（b，n）都在反比例函数y=-2x的图象上，且a＜0＜b，则下列结论一定正确的是（ ）
A．m+n＜0 B．m+n＞0 C．m＜n D．m＞n
11．（2019•淮安）当矩形面积一定时，下列图象中能表示它的长y和宽x之间函数关系的是（ ）
A．B． C．D．
12．（2020•宿迁）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=-12x+2上的一个动点，将Q绕点P（1，0）顺时针旋转90°，得到点Q'，连接OQ'，则OQ'的最小值为（ ）
A．455 B．5 C．523 D．655
第12题 第13题
13．（2019•宿迁）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点A与原点O重合，顶点B落在x轴的正半轴上，对角线AC、BD交于点M，点D、M恰好都在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，则ACBD的值为（ ）
A．2 B．3 C．2 D．5
14．（2020•镇江）如图①，AB＝5，射线AM∥BN，点C在射线BN上，将△ABC沿AC所在直线翻折，点B的对应点D落在射线BN上，点P，Q分别在射线AM、BN上，PQ∥AB．设AP＝x，QD＝y．若y关于x的函数图象（如图②）经过点E（9，2），则cosB的值等于（ ）
A．25 B．12 C．35 D．710
15．（2018•镇江）如图，一次函数y＝2x与反比例函数y=kx（k＞0）的图象交于A，B两点，点P在以C（﹣2，0）为圆心，1为半径的⊙C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最大值为32，则k的值为（ ）
A．4932 B．2518 C．3225 D．98
第15题 第16题
16．（2018•连云港）如图，菱形ABCD的两个顶点B、D在反比例函数y=kx的图象上，对角线AC与BD的交点恰好是坐标原点O，已知点A（1，1），∠ABC＝60°，则k的值是（ ）
A．﹣5 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣2
二．填空题（共13小题）
17．（2020•南京）将一次函数y＝﹣2x+4的图象绕原点O逆时针旋转90°，所得到的图象对应的函数表达式是 ．
18．将双曲线y=3x向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y＝kx﹣2﹣k（k＞0）相交于两点，其中一个点的横坐标为a，另一个点的纵坐标为b，则（a﹣1）（b+2）＝ ．
19．（2019•南通）如图，过点C（3，4）的直线y＝2x+b交x轴于点A，∠ABC＝90°，AB＝CB，曲线y=kx（x＞0）过点B，将点A沿y轴正方向平移a个单位长度恰好落在该曲线上，则a的值为 ．
第19题 第20题
20．（2020•苏州）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣4，0）、（0，4），点C（3，n）在第一象限内，连接AC、BC．已知∠BCA＝2∠CAO，则n＝ ．
21．（2018•扬州）如图，在等腰Rt△ABO，∠A＝90°，点B的坐标为（0，2），若直线l：y＝mx+m（m≠0）把△ABO分成面积相等的两部分，则m的值为 ．
第21题 第22题
22．（2020•泰州）如图，点P在反比例函数y=3x的图象上，且横坐标为1，过点P作两条坐标轴的平行线，与反比例函数y=kx（k＜0＝的图象相交于点A、B，则直线AB与x轴所夹锐角的正切值为 ．
23．（2019•无锡）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式3kx﹣b＞0的解集为 ．
第23题 第24题
24．（2020•盐城）如图，已知点A（5，2）、B（5，4）、C（8，1）．直线l⊥x轴，垂足为点M（m，0）．其中m＜52，若△A′B′C′与△ABC关于直线l对称，且△A′B′C′有两个顶点在函数y=kx（k≠0）的图象上，则k的值为 ．
25．（2019•盐城）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣1的图象分别交x、y轴于点A、B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是 ．
第25题 第26题 第27题
26．（2018•盐城）如图，点D为矩形OABC的AB边的中点，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点D，交BC边于点E．若△BDE的面积为1，则k＝ ．
27．（2020•淮安）如图，等腰△ABC的两个顶点A（﹣1，﹣4）、B（﹣4，﹣1）在反比例函数y=k1x（x＜0）的图象上，AC＝BC．过点C作边AB的垂线交反比例函数y=k1x（x＜0）的图象于点D，动点P从点D出发，沿射线CD方向运动32个单位长度，到达反比例函数y=k2x（x＞0）图象上一点，则k2＝ ．
28．（2020•宿迁）如图，点A在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，点B在x轴负半轴上，直线AB交y轴于点C，若ACBC=12，△AOB的面积为6，则k的值为 ．
第28题 第29题
29．（2018•宿迁）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=2x（x＞0）的图象与正比例函数y＝kx、y=1kx（k＞1）的图象分别交于点A、B．若∠AOB＝45°，则△AOB的面积是 ．
三．解答题（共19小题）
30．（2020•南通）如图，直线l1：y＝x+3与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B．
（1）求直线l2的解析式；
（2）点M在直线l1上，MN∥y轴，交直线l2于点N，若MN＝AB，求点M的坐标．
31．（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，﹣4）、B（2，0），交反比例函数y=mx（x＞0）的图象于点C（3，a），点P在反比例函数的图象上，横坐标为n（0＜n＜3），PQ∥y轴交直线AB于点Q，D是y轴上任意一点，连接PD、QD．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△DPQ面积的最大值．
32．（2019•徐州）如图，平面直角坐标系中，O为原点，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上．△AOB的两条外角平分线交于点P，P在反比例函数y=9x的图象上．PA的延长线交x轴于点C，PB的延长线交y轴于点D，连接CD．
（1）求∠P的度数及点P的坐标；
（2）求△OCD的面积；
（3）△AOB的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由．
33．（2019•苏州）如图，A为反比例函数y=kx（其中x＞0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB＝4．连接OA，AB，且OA＝AB＝210．
（1）求k的值；
（2）过点B作BC⊥OB，交反比例函数y=kx（其中x＞0）的图象于点C，连接OC交AB于点D，求ADDB的值．
2018-2020江苏中考数学试题汇编
一次函数、反比例函数综合
一．选择题（共16小题）
1．（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，函数y=4x（x＞0）与y＝x﹣1的图象交于点P（a，b），则代数式1a-1b的值为（ ）
A．-12 B．12 C．-14 D．14
第1题 第2题
【解答】
函数y=4x（x＞0）与y＝x﹣1的图象交于点P（a，b），
∴ab＝4，b＝a﹣1，
∴1a-1b=b-aab=-14；
故选：C．
2．（2019•徐州）若A（x1，y1）、B（x2，y2）都在函数y=2019x的图象上，且x1＜0＜x2，则（ ）
A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．y1＝﹣y2
【解答】∵函数y=2019x，
∴该函数图象在第一、三象限、在每个象限内y随x的增大而减小，
∵A（x1，y1）、B（x2，y2）都在函数y=2019x的图象上，且x1＜0＜x2，
∴y1＜y2，
故选：A．
3．（2018•徐州）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝kx与y=-2x的图象交于A，B两点，过A作y轴的垂线，交函数y=4x的图象于点C，连接BC，则△ABC的面积为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【解答】∵正比例函数y＝kx与反比例函数y=-2x的图象交点关于原点对称，
∴设A点坐标为（x，-2x），则B点坐标为（﹣x，2x），C（﹣2x，-2x），
∴S△ABC=12×（﹣2x﹣x）•（-2x-2x）=12×（﹣3x）•（-4x）＝6．
故选：C．
4．（2020•苏州）如图，平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D（3，2）在对角线OB上，反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象经过C、D两点．已知平行四边形OABC的面积是152，则点B的坐标为（ ）
A．（4，83） B．（92，3） C．（5，103） D．（245，165）
【解答】∵反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象经过点D（3，2），
∴2=k3，
∴k＝6，
∴反比例函数y=6x，
∵OB经过原点O，
∴设OB的解析式为y＝mx，
∵OB经过点D（3，2），
则2＝3m，
∴m=23，
∴OB的解析式为y=23x，
∵反比例函数y=6x经过点C，
∴设C（a，6a），且a＞0，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC∥OA，S平行四边形OABC＝2S△OBC，
∴点B的纵坐标为6a，
∵OB的解析式为y=23x，
∴B（9a，6a），
∴BC=9a-a，
∴S△OBC=12×6a×（9a-a），
∴2×12×6a×（9a-a）=152，
解得：a＝2，
∴B（92，3），
故选：B．
5．（2019•苏州）若一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象经过点A（0，﹣1），B（1，1），则不等式kx+b＞1的解集为（ ）
A．x＜0 B．x＞0 C．x＜1 D．x＞1
第4题 第6题
【解答】如图所示：不等式kx+b＞1的解为：x＞1．
故选：D．
6．（2018•苏州）如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数y=kx在第一象限内的图象经过点D，交BC于点E．若AB＝4，CE＝2BE，tan∠AOD=34，则k的值为（ ）
A．3 B．23 C．6 D．12
【解答】∵tan∠AOD=ADOA=34，
∴设AD＝3a、OA＝4a，
则BC＝AD＝3a，点D坐标为（4a，3a），
∵CE＝2BE，
∴BE=13BC＝a，
∵AB＝4，
∴点E（4+4a，a），
∵反比例函数y=kx经过点D、E，
∴k＝12a2＝（4+4a）a，
解得：a=12或a＝0（舍），
则k＝12×14=3，
故选：A．
7．（2020•常州）如图，点D是▱OABC内一点，CD与x轴平行，BD与y轴平行，BD=2，∠ADB＝135°，S△ABD＝2．若反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过A、D两点，则k的值是（ ）
A．22 B．4 C．32 D．6
第7题 第9题
【解答】作AM⊥y轴于M，延长BD，交AM于E，设BC与y轴的交点为N，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA∥BC，OA＝BC，
∴∠AOM＝∠CNM，
∵BD∥y轴，
∴∠CBD＝∠CNM，
∴∠AOM＝∠CBD，
∵CD与x轴平行，BD与y轴平行，
∴∠CDB＝90°，BE⊥AM，
∴∠CDB＝∠AMO，
∴△AOM≌△CBD（AAS），
∴OM＝BD=2，
∵S△ABD=12BD⋅AE=2，BD=2，
∴AE＝22，
∵∠ADB＝135°，
∴∠ADE＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE＝AE＝22，
∴D的纵坐标为32，
设A（m，2），则D（m﹣22，32），
∵反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过A、D两点，
∴k=2m＝（m﹣22）×32，
解得m＝32，
∴k=2m＝6．
故选：D．
8．（2019•扬州）若反比例函数y=-2x的图象上有两个不同的点关于y轴的对称点都在一次函数y＝﹣x+m的图象上，则m的取值范围是（ ）
A．m＞22 B．m＜﹣22
C．m＞22或m＜﹣22 D．﹣22＜m＜22
【解答】∵反比例函数y=-2x的图象上有两个不同的点关于y轴的对称点在反比例函数y=2x的图象上，
∴解方程组y=2xy=-x+m得x2﹣mx+2＝0，
∵y=2x的图象与一次函数y＝﹣x+m有两个不同的交点，
∴方程x2﹣mx+2＝0有两个不同的实数根，
∴△＝m2﹣8＞0，
∴m＞22或m＜﹣22，
故选：C．
9．（2019•无锡）如图，已知A为反比例函数y=kx（x＜0）的图象上一点，过点A作AB⊥y轴，垂足为B．若△OAB的面积为2，则k的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【解答】
∵AB⊥y轴，
∴S△OAB=12|k|，
∴12|k|＝2，
∵k＜0，
∴k＝﹣4．
故选：D．
10．（2018•无锡）已知点P（a，m），Q（b，n）都在反比例函数y=-2x的图象上，且a＜0＜b，则下列结论一定正确的是（ ）
A．m+n＜0 B．m+n＞0 C．m＜n D．m＞n
【解答】y=-2x的k＝﹣2＜0，图象位于二四象限，
∵a＜0，
∴P（a，m）在第二象限，
∴m＞0；
∵b＞0，
∴Q（b，n）在第四象限，
∴n＜0．
∴n＜0＜m，
即m＞n，
故D正确；
故选：D．
11．（2019•淮安）当矩形面积一定时，下列图象中能表示它的长y和宽x之间函数关系的是（ ）
A．B． C．D．
【解答】∵根据题意xy＝矩形面积（定值），
∴y是x的反比例函数，（x＞0，y＞0）．
故选：B．
12．（2020•宿迁）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=-12x+2上的一个动点，将Q绕点P（1，0）顺时针旋转90°，得到点Q'，连接OQ'，则OQ'的最小值为（ ）
A．455 B．5 C．523 D．655
第12题 第13题
【解答】作QM⊥x轴于点M，Q′N⊥x轴于N，
设Q（m，-12m+2），则PM＝m﹣1，QM=-12m+2，
∵∠PMQ＝∠PNQ′＝∠QPQ′＝90°，
∴∠QPM+∠NPQ′＝∠PQ′N+∠NPQ′，
∴∠QPM＝∠PQ′N
在△PQM和△Q′PN中，
∠PMQ=∠PNQ'=90°∠QPM=∠PQ'NPQ=PQ'
∴△PQM≌△Q′PN（AAS），
∴PN＝QM=-12m+2，Q′N＝PM＝m﹣1，
∴ON＝1+PN＝3-12m，
∴Q′（3-12m，1﹣m），
∴OQ′2＝（3-12m）2+（1﹣m）2=54m2﹣5m+10=54（m﹣2）2+5，
当m＝2时，OQ′2有最小值为5，
∴OQ′的最小值为5，
故选：B．
13．（2019•宿迁）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点A与原点O重合，顶点B落在x轴的正半轴上，对角线AC、BD交于点M，点D、M恰好都在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，则ACBD的值为（ ）
A．2 B．3 C．2 D．5
【解答】设D（m，km），B（t，0），
∵M点为菱形对角线的交点，
∴BD⊥AC，AM＝CM，BM＝DM，
∴M（m+t2，k2m），
把M（m+t2，k2m）代入y=kx得m+t2•k2m=k，
∴t＝3m，
∵四边形ABCD为菱形，
∴OD＝AB＝t，
∴m2+（km）2＝（3m）2，解得k＝22m2，
∴M（2m，2m），
在Rt△ABM中，tan∠MAB=BMAM=2m2m=12，
∴ACBD=2．
故选：A．
14．（2020•镇江）如图①，AB＝5，射线AM∥BN，点C在射线BN上，将△ABC沿AC所在直线翻折，点B的对应点D落在射线BN上，点P，Q分别在射线AM、BN上，PQ∥AB．设AP＝x，QD＝y．若y关于x的函数图象（如图②）经过点E（9，2），则cosB的值等于（ ）
A．25 B．12 C．35 D．710
【解答】∵AM∥BN，PQ∥AB，
∴四边形ABQP是平行四边形，
∴AP＝BQ＝x，
由图②可得当x＝9时，y＝2，
此时点Q在点D下方，且BQ＝x＝9时，y＝2，如图①所示，
∴BD＝BQ﹣QD＝x﹣y＝7，
∵将△ABC沿AC所在直线翻折，点B的对应点D落在射线BN上，
∴BC＝CD=12BD=72，AC⊥BD，
∴cosB=BCAB=725=710，
故选：D．
15．（2018•镇江）如图，一次函数y＝2x与反比例函数y=kx（k＞0）的图象交于A，B两点，点P在以C（﹣2，0）为圆心，1为半径的⊙C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最大值为32，则k的值为（ ）
A．4932 B．2518 C．3225 D．98
第15题 第16题
【解答】连接BP，
由对称性得：OA＝OB，
∵Q是AP的中点，
∴OQ=12BP，
∵OQ长的最大值为32，
∴BP长的最大值为32×2＝3，
如图，当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴于D，
∵CP＝1，
∴BC＝2，
∵B在直线y＝2x上，
设B（t，2t），则CD＝t﹣（﹣2）＝t+2，BD＝﹣2t，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC2＝CD2+BD2，
∴22＝（t+2）2+（﹣2t）2，
t＝0（舍）或-45，
∴B（-45，-85），
∵点B在反比例函数y=kx（k＞0）的图象上，
∴k=-45×(-85)=3225；
故选：C．
16．（2018•连云港）如图，菱形ABCD的两个顶点B、D在反比例函数y=kx的图象上，对角线AC与BD的交点恰好是坐标原点O，已知点A（1，1），∠ABC＝60°，则k的值是（ ）
A．﹣5 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣2
【解答】∵四边形ABCD是菱形，
∴BA＝BC，AC⊥BD，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵点A（1，1），
∴OA=2，
∴BO=OAtan30°=6，
∵直线AC的解析式为y＝x，
∴直线BD的解析式为y＝﹣x，
∵OB=6，
∴点B的坐标为（-3，3），
∵点B在反比例函数y=kx的图象上，
∴3=k-3，
解得，k＝﹣3，
故选：C．
二．填空题（共13小题）
17．（2020•南京）将一次函数y＝﹣2x+4的图象绕原点O逆时针旋转90°，所得到的图象对应的函数表达式是 ．
【解答】在一次函数y＝﹣2x+4中，令x＝0，则y＝4，令y＝0，则x＝2，
∴直线y＝﹣2x+4经过点（0，4），（2，0）
将一次函数y＝﹣2x+4的图象绕原点O逆时针旋转90°，则点（0，4）的对应点为（﹣4，0），（2，0）的对应点是（0，2）
设对应的函数解析式为：y＝kx+b，
将点（﹣4，0）、（0，2）代入得-4k+b=0b=2，解得k=12b=2，
∴旋转后对应的函数解析式为：y=12x+2，
故答案为y=12x+2．
18．将双曲线y=3x向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y＝kx﹣2﹣k（k＞0）相交于两点，其中一个点的横坐标为a，另一个点的纵坐标为b，则（a﹣1）（b+2）＝ ．
【解答】一次函数y＝kx﹣2﹣k（k＞0）的图象过定点P（1，﹣2），而点P（1，﹣2）恰好是原点（0，0）向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的，
因此将双曲线y=3x向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y＝kx﹣2﹣k（k＞0）相交于两点，在没平移前是关于原点对称的，
平移前，这两个点的坐标为为（a﹣1，3a-1），（3b+2，b+2），
∴a﹣1=-3b+2，
∴（a﹣1）（b+2）＝﹣3，
故答案为：﹣3．
19．（2019•南通）如图，过点C（3，4）的直线y＝2x+b交x轴于点A，∠ABC＝90°，AB＝CB，曲线y=kx（x＞0）过点B，将点A沿y轴正方向平移a个单位长度恰好落在该曲线上，则a的值为 ．
第19题 第20题
【解答】作CD⊥x轴于D，BF⊥x轴于F，过B作BE⊥CD于E，
∵过点C（3，4）的直线y＝2x+b交x轴于点A，
∴4＝2×3+b，解得b＝﹣2，
∴直线为y＝2x﹣2，
令y＝0，则求得x＝1，
∴A（1，0），
∵BF⊥x轴于F，过B作BE⊥CD于E，
∴BE∥x轴，
∴∠ABE＝∠BAF，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABE+∠EBC＝90°，
∵∠BAF+∠ABF＝90°，
∴∠EBC＝∠ABF，
在△EBC和△FBA中
∠EBC=∠ABF∠BEC=∠BFA=90°BC=AB
∴△EBC≌△FBA（AAS），
∴CE＝AF，BE＝BF，
设B（m，km），
∵4-km=m﹣1，m﹣3=km，
∴4﹣（m﹣3）＝m﹣1，
解得m＝4，k＝4，
∴反比例函数的解析式为y=4x，
把x＝1代入得y＝4，
∴a＝4﹣0＝4，
∴a的值为4．
故答案为4．
20．（2020•苏州）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣4，0）、（0，4），点C（3，n）在第一象限内，连接AC、BC．已知∠BCA＝2∠CAO，则n＝ ．
【解答】作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，
∵点A、B的坐标分别为（﹣4，0）、（0，4），点C（3，n）在第一象限内，则E（0，n），D（3，0），
∴BE＝4﹣n，CE＝3，CD＝n，AD＝7，
∵CE∥OA，
∴∠ECA＝∠CAO，
∵∠BCA＝2∠CAO，
∴∠BCE＝∠CAO，
在Rt△CAD中，tan∠CAO=CDAD，在Rt△CBE中，tan∠BCE=BECE，
∴CDAD=BECE，即n3+4=4-n3，
解得n=145，
故答案为145．
21．（2018•扬州）如图，在等腰Rt△ABO，∠A＝90°，点B的坐标为（0，2），若直线l：y＝mx+m（m≠0）把△ABO分成面积相等的两部分，则m的值为 ．
第21题 第22题
【解答】∵y＝mx+m＝m（x+1），
∴函数y＝mx+m一定过点（﹣1，0），
当x＝0时，y＝m，
∴点C的坐标为（0，m），
由题意可得，直线AB的解析式为y＝﹣x+2，
y=-x+2y=mx+m，得x=2-mm+1y=3mm+1，
∵直线l：y＝mx+m（m≠0）把△ABO分成面积相等的两部分，
∴(2-m)⋅2-mm+12=2×12×12，
解得，m1=5-132，m2=5+132（舍去），
故答案为：5-132．
22．（2020•泰州）如图，点P在反比例函数y=3x的图象上，且横坐标为1，过点P作两条坐标轴的平行线，与反比例函数y=kx（k＜0＝的图象相交于点A、B，则直线AB与x轴所夹锐角的正切值为 ．
【解答】点P在反比例函数y=3x的图象上，且横坐标为1，则点P（1，3），
则点A、B的坐标分别为（1，k），（13k，3），
设直线AB的表达式为：y＝mx+t，将点A、B的坐标代入上式得k=m+t3=13km+t，解得m＝﹣3，
故直线AB与x轴所夹锐角的正切值为3，
故答案为3．
23．（2019•无锡）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式3kx﹣b＞0的解集为 ．
第23题 第24题
【解答】∵图象过（﹣6，0），则0＝﹣6k+b，
则b＝6k，
故3kx﹣b＝3kx﹣6k＞0，
∵k＜0，
∴x﹣2＜0，
解得：x＜2．
故答案为：x＜2．
24．（2020•盐城）如图，已知点A（5，2）、B（5，4）、C（8，1）．直线l⊥x轴，垂足为点M（m，0）．其中m＜52，若△A′B′C′与△ABC关于直线l对称，且△A′B′C′有两个顶点在函数y=kx（k≠0）的图象上，则k的值为 ．
【解答】∵点A（5，2）、B（5，4）、C（8，1），直线l⊥x轴，垂足为点M（m，0）．其中m＜52，△A′B′C′与△ABC关于直线l对称，
∴A′（2m﹣5，2），B′（2m﹣5，4），C′（2m﹣8，1），
∵A′、B′的横坐标相同，
∴在函数y=kx（k≠0）的图象上的两点为，A′、C′或B′、C′，
当A′、C′在函数y=kx（k≠0）的图象上时，则k＝2（2m﹣5）＝2m﹣8，解得m＝1，
∴k＝﹣6；
当B′、C′在函数y=kx（k≠0）的图象上时，则k＝4（2m﹣5）＝2m﹣8，解得m＝2，
∴k＝﹣4，
综上，k的值为﹣6或﹣4，
故答案为﹣6或﹣4．
25．（2019•盐城）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣1的图象分别交x、y轴于点A、B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是 ．
第25题 第26题 第27题
【解答】∵一次函数y＝2x﹣1的图象分别交x、y轴于点A、B，
∴令x＝0，得y＝﹣1，令y＝0，则x=12，
∴A（12，0），B（0，﹣1），
∴OA=12，OB＝1，
过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，
∵∠ABC＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AB＝AF，
∵∠OAB+∠ABO＝∠OAB+∠EAF＝90°，
∴∠ABO＝∠EAF，
∴△ABO≌△FAE（AAS），
∴AE＝OB＝1，EF＝OA=12，
∴F（32，-12），
设直线BC的函数表达式为：y＝kx+b，
∴32k+b=-12b=-1，
∴k=13b=-1，
∴直线BC的函数表达式为：y=13x﹣1，
故答案为：y=13x﹣1．
26．（2018•盐城）如图，点D为矩形OABC的AB边的中点，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点D，交BC边于点E．若△BDE的面积为1，则k＝ ．
【解答】设D（a，ka），
∵点D为矩形OABC的AB边的中点，
∴B（2a，ka），
∴E（2a，k2a），
∵△BDE的面积为1，
∴12•a•（ka-k2a）＝1，解得k＝4．
故答案为4．
27．（2020•淮安）如图，等腰△ABC的两个顶点A（﹣1，﹣4）、B（﹣4，﹣1）在反比例函数y=k1x（x＜0）的图象上，AC＝BC．过点C作边AB的垂线交反比例函数y=k1x（x＜0）的图象于点D，动点P从点D出发，沿射线CD方向运动32个单位长度，到达反比例函数y=k2x（x＞0）图象上一点，则k2＝ ．
【解答】把A（﹣1，﹣4）代入y=k1x中得，k1＝4，
∴反比例函数y=k1x为y=4x，
∵A（﹣1，﹣4）、B（﹣4，﹣1），
∴AB的垂直平分线为y＝x，
联立方程驵y=4xy=x，解得x=-2y=-2，或x=2y=2，
∵AC＝BC，CD⊥AB，
∴CD是AB的垂直平分线，
∵CD与反比例函数y=k1x（x＜0）的图象于点D，
∴D（﹣2，﹣2），
∵动点P从点D出发，沿射线CD方向运动32个单位长度，到达反比例函数y=k2x（x＞0）图象上一点，
∴设移动后的点P的坐标为（m，m）（m＞﹣2），则
(m+2)2+(m+2)2=（32）2，
∴m＝1，
∴P（1，1），
把P（1，1）代入y=k2x（x＞0）中，得k2＝1，
故答案为：1．
28．（2020•宿迁）如图，点A在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，点B在x轴负半轴上，直线AB交y轴于点C，若ACBC=12，△AOB的面积为6，则k的值为 ．
第28题 第29题
【解答】过点A作AD⊥y轴于D，则△ADC∽△BOC，
∴DCOC=ACBC=12，
∵ACBC=12，△AOB的面积为6，
∴S△AOC=13S△AOB=2，
∴S△ACD=12S△AOC=1，
∴△AOD的面积＝3，
根据反比例函数k的几何意义得，12|k|=3，
∴|k|＝6，
∵k＞0，
∴k＝6．
故答案为：6．
29．（2018•宿迁）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=2x（x＞0）的图象与正比例函数y＝kx、y=1kx（k＞1）的图象分别交于点A、B．若∠AOB＝45°，则△AOB的面积是 ．
【解答】如图，过B作BD⊥x轴于点D，过A作AC⊥y轴于点C
设点A横坐标为a，则A（a，2a）
∵A在正比例函数y＝kx图象上
∴2a=ka
∴k=2a2
同理，设点B横坐标为b，则B（b，2b）
∴2b=1kb
∴k=b22
∴2a2=b22
∴ab＝2
当点A坐标为（a，2a）时，点B坐标为（2a，a）
∴OC＝OD
将△AOC绕点O顺时针旋转90°，得到△ODA′
∵BD⊥x轴
∴B、D、A′共线
∵∠AOB＝45°，∠AOA′＝90°
∴∠BOA′＝45°
∵OA＝OA′，OB＝OB
∴△AOB≌△A′OB
∵S△BOD＝S△AOC＝2×12=1
∴S△AOB＝2
故答案为：2
三．解答题（共19小题）
30．（2020•南通）如图，直线l1：y＝x+3与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B．
（1）求直线l2的解析式；
（2）点M在直线l1上，MN∥y轴，交直线l2于点N，若MN＝AB，求点M的坐标．
【解答】（1）在y＝x+3中，令y＝0，得x＝﹣3，
∴B（﹣3，0），
把x＝1代入y＝x+3得y＝4，
∴C（1，4），
设直线l2的解析式为y＝kx+b，
∴k+b=43k+b=0，解得k=-2b=6，
∴直线l2的解析式为y＝﹣2x+6；
（2）AB＝3﹣（﹣3）＝6，
设M（a，a+3），由MN∥y轴，得N（a，﹣2a+6），
MN＝|a+3﹣（﹣2a+6）|＝AB＝6，
解得a＝3或a＝﹣1，
∴M（3，6）或（﹣1，2）．
31．（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，﹣4）、B（2，0），交反比例函数y=mx（x＞0）的图象于点C（3，a），点P在反比例函数的图象上，横坐标为n（0＜n＜3），PQ∥y轴交直线AB于点Q，D是y轴上任意一点，连接PD、QD．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△DPQ面积的最大值．
【解答】（1）把A（0，﹣4）、B（2，0）代入一次函数y＝kx+b得，
b=-42k+b=0，解得，k=2b=-4，
∴一次函数的关系式为y＝2x﹣4，
当x＝3时，y＝2×3﹣4＝2，
∴点C（3，2），
∵点C在反比例函数的图象上，
∴k＝3×2＝6，
∴反比例函数的关系式为y=6x，
答：一次函数的关系式为y＝2x﹣4，反比例函数的关系式为y=6x；
（2）点P在反比例函数的图象上，点Q在一次函数的图象上，
∴点P（n，6n），点Q（n，2n﹣4），
∴PQ=6n-（2n﹣4），
∴S△PDQ=12n[6n-（2n﹣4）]＝﹣n2+2n+3＝﹣（n﹣1）2+4，
∵﹣1＜0，
∴当n＝1时，S最大＝4，
答：△DPQ面积的最大值是4．
32．（2019•徐州）如图，平面直角坐标系中，O为原点，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上．△AOB的两条外角平分线交于点P，P在反比例函数y=9x的图象上．PA的延长线交x轴于点C，PB的延长线交y轴于点D，连接CD．
（1）求∠P的度数及点P的坐标；
（2）求△OCD的面积；
（3）△AOB的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由．
【解答】（1）如图，作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PH⊥AB于H．
∴∠PMA＝∠PHA＝90°，
∵∠PAM＝∠PAH，PA＝PA，
∴△PAM≌△PAH（AAS），
∴PM＝PH，∠APM＝∠APH，
同理可证：△BPN≌△BPH，
∴PH＝PN，∠BPN＝∠BPH，
∴PM＝PN，
∵∠PMO＝∠MON＝∠PNO＝90°，
∴四边形PMON是矩形，
∴∠MPN＝90°，
∴∠APB＝∠APH+∠BPH=12（∠MPH+∠NPH）＝45°，
∵PM＝PN，
∴可以假设P（m，m），
∵P（m，m）在y=9x上，
∴m2＝9，
∵m＞0，
∴m＝3，
∴P（3，3）．
（2）设OA＝a，OB＝b，则AM＝AH＝3﹣a，BN＝BH＝3﹣b，
∴AB＝6﹣a﹣b，
∵AB2＝OA2+OB2，
∴a2+b2＝（6﹣a﹣b）2，
可得ab＝6a+6b﹣18，
∴3a+3b﹣9=12ab，
∵PM∥OC，
∴COPM=OAAM，
∴OC3=a3-a，
∴OC=3a3-a，同法可得OD=3b3-b，
∴S△COD=12•OC•DO=12•9ab(3-a)(3-b)=12•9ab9-3a-3b+ab=12•9ab-12ab+ab=9．
（3）设OA＝a，OB＝b，则AM＝AH＝3﹣a，BN＝BH＝3﹣b，
∴AB＝6﹣a﹣b，
∴OA+OB+AB＝6，
∴a+b+a2+b2=6，
∴2ab+2ab≤6，
∴（2+2）ab≤6，
∴ab≤3（2-2），
∴ab≤54﹣362，
∴S△AOB=12ab≤27﹣182，
∴△AOB的面积的最大值为27﹣182．
33．（2019•苏州）如图，A为反比例函数y=kx（其中x＞0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB＝4．连接OA，AB，且OA＝AB＝210．
（1）求k的值；
（2）过点B作BC⊥OB，交反比例函数y=kx（其中x＞0）的图象于点C，连接OC交AB于点D，求ADDB的值．
【解答】（1）过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，AH交OC于点M，如图所示．
∵OA＝AB，AH⊥OB，
∴OH＝BH=12OB＝2，
∴AH=OA2-OH2=6，
∴点A的坐标为（2，6）．
∵A为反比例函数y=kx图象上的一点，
∴k＝2×6＝12．
（2）∵BC⊥x轴，OB＝4，点C在反比例函数y=12x上，
∴BC=kOB=3．
∵AH∥BC，OH＝BH，
∴MH=12BC=32，
∴AM＝AH﹣MH=92．
∵AM∥BC，
∴△ADM∽△BDC，
∴ADDB=AMBC=32．
2018-2020江苏中考数学试题汇编
一次函数、反比例函数综合
一．选择题（共16小题）
1．（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，函数y=4x（x＞0）与y＝x﹣1的图象交于点P（a，b），则代数式1a-1b的值为（ ）
A．-12 B．12 C．-14 D．14
第1题 第2题
2．（2019•徐州）若A（x1，y1）、B（x2，y2）都在函数y=2019x的图象上，且x1＜0＜x2，则（ ）
A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．y1＝﹣y2
3．（2018•徐州）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝kx与y=-2x的图象交于A，B两点，过A作y轴的垂线，交函数y=4x的图象于点C，连接BC，则△ABC的面积为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．（2020•苏州）如图，平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D（3，2）在对角线OB上，反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象经过C、D两点．已知平行四边形OABC的面积是152，则点B的坐标为（ ）
第4题 第6题
A．（4，83） B．（92，3） C．（5，103） D．（245，165）
5．（2019•苏州）若一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象经过点A（0，﹣1），B（1，1），则不等式kx+b＞1的解集为（ ）
A．x＜0 B．x＞0 C．x＜1 D．x＞1
6．（2018•苏州）如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数y=kx在第一象限内的图象经过点D，交BC于点E．若AB＝4，CE＝2BE，tan∠AOD=34，则k的值为（ ）
A．3 B．23 C．6 D．12
7．（2020•常州）如图，点D是▱OABC内一点，CD与x轴平行，BD与y轴平行，BD=2，∠ADB＝135°，S△ABD＝2．若反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过A、D两点，则k的值是（ ）
A．22 B．4 C．32 D．6
第7题 第9题
8．（2019•扬州）若反比例函数y=-2x的图象上有两个不同的点关于y轴的对称点都在一次函数y＝﹣x+m的图象上，则m的取值范围是（ ）
A．m＞22 B．m＜﹣22
C．m＞22或m＜﹣22 D．﹣22＜m＜22
9．（2019•无锡）如图，已知A为反比例函数y=kx（x＜0）的图象上一点，过点A作AB⊥y轴，垂足为B．若△OAB的面积为2，则k的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
10．（2018•无锡）已知点P（a，m），Q（b，n）都在反比例函数y=-2x的图象上，且a＜0＜b，则下列结论一定正确的是（ ）
A．m+n＜0 B．m+n＞0 C．m＜n D．m＞n
11．（2019•淮安）当矩形面积一定时，下列图象中能表示它的长y和宽x之间函数关系的是（ ）
A．B． C．D．
12．（2020•宿迁）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=-12x+2上的一个动点，将Q绕点P（1，0）顺时针旋转90°，得到点Q'，连接OQ'，则OQ'的最小值为（ ）
A．455 B．5 C．523 D．655
第12题 第13题
13．（2019•宿迁）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点A与原点O重合，顶点B落在x轴的正半轴上，对角线AC、BD交于点M，点D、M恰好都在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，则ACBD的值为（ ）
A．2 B．3 C．2 D．5
14．（2020•镇江）如图①，AB＝5，射线AM∥BN，点C在射线BN上，将△ABC沿AC所在直线翻折，点B的对应点D落在射线BN上，点P，Q分别在射线AM、BN上，PQ∥AB．设AP＝x，QD＝y．若y关于x的函数图象（如图②）经过点E（9，2），则cosB的值等于（ ）
A．25 B．12 C．35 D．710
15．（2018•镇江）如图，一次函数y＝2x与反比例函数y=kx（k＞0）的图象交于A，B两点，点P在以C（﹣2，0）为圆心，1为半径的⊙C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最大值为32，则k的值为（ ）
A．4932 B．2518 C．3225 D．98
第15题 第16题
16．（2018•连云港）如图，菱形ABCD的两个顶点B、D在反比例函数y=kx的图象上，对角线AC与BD的交点恰好是坐标原点O，已知点A（1，1），∠ABC＝60°，则k的值是（ ）
A．﹣5 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣2
二．填空题（共13小题）
17．（2020•南京）将一次函数y＝﹣2x+4的图象绕原点O逆时针旋转90°，所得到的图象对应的函数表达式是 ．
18．将双曲线y=3x向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y＝kx﹣2﹣k（k＞0）相交于两点，其中一个点的横坐标为a，另一个点的纵坐标为b，则（a﹣1）（b+2）＝ ．
19．（2019•南通）如图，过点C（3，4）的直线y＝2x+b交x轴于点A，∠ABC＝90°，AB＝CB，曲线y=kx（x＞0）过点B，将点A沿y轴正方向平移a个单位长度恰好落在该曲线上，则a的值为 ．
第19题 第20题
20．（2020•苏州）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣4，0）、（0，4），点C（3，n）在第一象限内，连接AC、BC．已知∠BCA＝2∠CAO，则n＝ ．
21．（2018•扬州）如图，在等腰Rt△ABO，∠A＝90°，点B的坐标为（0，2），若直线l：y＝mx+m（m≠0）把△ABO分成面积相等的两部分，则m的值为 ．
第21题 第22题
22．（2020•泰州）如图，点P在反比例函数y=3x的图象上，且横坐标为1，过点P作两条坐标轴的平行线，与反比例函数y=kx（k＜0＝的图象相交于点A、B，则直线AB与x轴所夹锐角的正切值为 ．
23．（2019•无锡）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式3kx﹣b＞0的解集为 ．
第23题 第24题
24．（2020•盐城）如图，已知点A（5，2）、B（5，4）、C（8，1）．直线l⊥x轴，垂足为点M（m，0）．其中m＜52，若△A′B′C′与△ABC关于直线l对称，且△A′B′C′有两个顶点在函数y=kx（k≠0）的图象上，则k的值为 ．
25．（2019•盐城）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣1的图象分别交x、y轴于点A、B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是 ．
第25题 第26题 第27题
26．（2018•盐城）如图，点D为矩形OABC的AB边的中点，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点D，交BC边于点E．若△BDE的面积为1，则k＝ ．
27．（2020•淮安）如图，等腰△ABC的两个顶点A（﹣1，﹣4）、B（﹣4，﹣1）在反比例函数y=k1x（x＜0）的图象上，AC＝BC．过点C作边AB的垂线交反比例函数y=k1x（x＜0）的图象于点D，动点P从点D出发，沿射线CD方向运动32个单位长度，到达反比例函数y=k2x（x＞0）图象上一点，则k2＝ ．
28．（2020•宿迁）如图，点A在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，点B在x轴负半轴上，直线AB交y轴于点C，若ACBC=12，△AOB的面积为6，则k的值为 ．
第28题 第29题
29．（2018•宿迁）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=2x（x＞0）的图象与正比例函数y＝kx、y=1kx（k＞1）的图象分别交于点A、B．若∠AOB＝45°，则△AOB的面积是 ．
三．解答题（共19小题）
30．（2020•南通）如图，直线l1：y＝x+3与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B．
（1）求直线l2的解析式；
（2）点M在直线l1上，MN∥y轴，交直线l2于点N，若MN＝AB，求点M的坐标．
31．（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，﹣4）、B（2，0），交反比例函数y=mx（x＞0）的图象于点C（3，a），点P在反比例函数的图象上，横坐标为n（0＜n＜3），PQ∥y轴交直线AB于点Q，D是y轴上任意一点，连接PD、QD．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△DPQ面积的最大值．
32．（2019•徐州）如图，平面直角坐标系中，O为原点，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上．△AOB的两条外角平分线交于点P，P在反比例函数y=9x的图象上．PA的延长线交x轴于点C，PB的延长线交y轴于点D，连接CD．
（1）求∠P的度数及点P的坐标；
（2）求△OCD的面积；
（3）△AOB的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由．
33．（2019•苏州）如图，A为反比例函数y=kx（其中x＞0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB＝4．连接OA，AB，且OA＝AB＝210．
（1）求k的值；
（2）过点B作BC⊥OB，交反比例函数y=kx（其中x＞0）的图象于点C，连接OC交AB于点D，求ADDB的值．
2018-2020江苏中考数学试题汇编
一次函数、反比例函数综合
一．选择题（共16小题）
1．（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，函数y=4x（x＞0）与y＝x﹣1的图象交于点P（a，b），则代数式1a-1b的值为（ ）
A．-12 B．12 C．-14 D．14
第1题 第2题
【解答】
函数y=4x（x＞0）与y＝x﹣1的图象交于点P（a，b），
∴ab＝4，b＝a﹣1，
∴1a-1b=b-aab=-14；
故选：C．
2．（2019•徐州）若A（x1，y1）、B（x2，y2）都在函数y=2019x的图象上，且x1＜0＜x2，则（ ）
A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．y1＝﹣y2
【解答】∵函数y=2019x，
∴该函数图象在第一、三象限、在每个象限内y随x的增大而减小，
∵A（x1，y1）、B（x2，y2）都在函数y=2019x的图象上，且x1＜0＜x2，
∴y1＜y2，
故选：A．
3．（2018•徐州）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝kx与y=-2x的图象交于A，B两点，过A作y轴的垂线，交函数y=4x的图象于点C，连接BC，则△ABC的面积为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【解答】∵正比例函数y＝kx与反比例函数y=-2x的图象交点关于原点对称，
∴设A点坐标为（x，-2x），则B点坐标为（﹣x，2x），C（﹣2x，-2x），
∴S△ABC=12×（﹣2x﹣x）•（-2x-2x）=12×（﹣3x）•（-4x）＝6．
故选：C．
4．（2020•苏州）如图，平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D（3，2）在对角线OB上，反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象经过C、D两点．已知平行四边形OABC的面积是152，则点B的坐标为（ ）
A．（4，83） B．（92，3） C．（5，103） D．（245，165）
【解答】∵反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象经过点D（3，2），
∴2=k3，
∴k＝6，
∴反比例函数y=6x，
∵OB经过原点O，
∴设OB的解析式为y＝mx，
∵OB经过点D（3，2），
则2＝3m，
∴m=23，
∴OB的解析式为y=23x，
∵反比例函数y=6x经过点C，
∴设C（a，6a），且a＞0，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC∥OA，S平行四边形OABC＝2S△OBC，
∴点B的纵坐标为6a，
∵OB的解析式为y=23x，
∴B（9a，6a），
∴BC=9a-a，
∴S△OBC=12×6a×（9a-a），
∴2×12×6a×（9a-a）=152，
解得：a＝2，
∴B（92，3），
故选：B．
5．（2019•苏州）若一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象经过点A（0，﹣1），B（1，1），则不等式kx+b＞1的解集为（ ）
A．x＜0 B．x＞0 C．x＜1 D．x＞1
第4题 第6题
【解答】如图所示：不等式kx+b＞1的解为：x＞1．
故选：D．
6．（2018•苏州）如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数y=kx在第一象限内的图象经过点D，交BC于点E．若AB＝4，CE＝2BE，tan∠AOD=34，则k的值为（ ）
A．3 B．23 C．6 D．12
【解答】∵tan∠AOD=ADOA=34，
∴设AD＝3a、OA＝4a，
则BC＝AD＝3a，点D坐标为（4a，3a），
∵CE＝2BE，
∴BE=13BC＝a，
∵AB＝4，
∴点E（4+4a，a），
∵反比例函数y=kx经过点D、E，
∴k＝12a2＝（4+4a）a，
解得：a=12或a＝0（舍），
则k＝12×14=3，
故选：A．
7．（2020•常州）如图，点D是▱OABC内一点，CD与x轴平行，BD与y轴平行，BD=2，∠ADB＝135°，S△ABD＝2．若反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过A、D两点，则k的值是（ ）
A．22 B．4 C．32 D．6
第7题 第9题
【解答】作AM⊥y轴于M，延长BD，交AM于E，设BC与y轴的交点为N，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA∥BC，OA＝BC，
∴∠AOM＝∠CNM，
∵BD∥y轴，
∴∠CBD＝∠CNM，
∴∠AOM＝∠CBD，
∵CD与x轴平行，BD与y轴平行，
∴∠CDB＝90°，BE⊥AM，
∴∠CDB＝∠AMO，
∴△AOM≌△CBD（AAS），
∴OM＝BD=2，
∵S△ABD=12BD⋅AE=2，BD=2，
∴AE＝22，
∵∠ADB＝135°，
∴∠ADE＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE＝AE＝22，
∴D的纵坐标为32，
设A（m，2），则D（m﹣22，32），
∵反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过A、D两点，
∴k=2m＝（m﹣22）×32，
解得m＝32，
∴k=2m＝6．
故选：D．
8．（2019•扬州）若反比例函数y=-2x的图象上有两个不同的点关于y轴的对称点都在一次函数y＝﹣x+m的图象上，则m的取值范围是（ ）
A．m＞22 B．m＜﹣22
C．m＞22或m＜﹣22 D．﹣22＜m＜22
【解答】∵反比例函数y=-2x的图象上有两个不同的点关于y轴的对称点在反比例函数y=2x的图象上，
∴解方程组y=2xy=-x+m得x2﹣mx+2＝0，
∵y=2x的图象与一次函数y＝﹣x+m有两个不同的交点，
∴方程x2﹣mx+2＝0有两个不同的实数根，
∴△＝m2﹣8＞0，
∴m＞22或m＜﹣22，
故选：C．
9．（2019•无锡）如图，已知A为反比例函数y=kx（x＜0）的图象上一点，过点A作AB⊥y轴，垂足为B．若△OAB的面积为2，则k的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【解答】
∵AB⊥y轴，
∴S△OAB=12|k|，
∴12|k|＝2，
∵k＜0，
∴k＝﹣4．
故选：D．
10．（2018•无锡）已知点P（a，m），Q（b，n）都在反比例函数y=-2x的图象上，且a＜0＜b，则下列结论一定正确的是（ ）
A．m+n＜0 B．m+n＞0 C．m＜n D．m＞n
【解答】y=-2x的k＝﹣2＜0，图象位于二四象限，
∵a＜0，
∴P（a，m）在第二象限，
∴m＞0；
∵b＞0，
∴Q（b，n）在第四象限，
∴n＜0．
∴n＜0＜m，
即m＞n，
故D正确；
故选：D．
11．（2019•淮安）当矩形面积一定时，下列图象中能表示它的长y和宽x之间函数关系的是（ ）
A．B． C．D．
【解答】∵根据题意xy＝矩形面积（定值），
∴y是x的反比例函数，（x＞0，y＞0）．
故选：B．
12．（2020•宿迁）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=-12x+2上的一个动点，将Q绕点P（1，0）顺时针旋转90°，得到点Q'，连接OQ'，则OQ'的最小值为（ ）
A．455 B．5 C．523 D．655
第12题 第13题
【解答】作QM⊥x轴于点M，Q′N⊥x轴于N，
设Q（m，-12m+2），则PM＝m﹣1，QM=-12m+2，
∵∠PMQ＝∠PNQ′＝∠QPQ′＝90°，
∴∠QPM+∠NPQ′＝∠PQ′N+∠NPQ′，
∴∠QPM＝∠PQ′N
在△PQM和△Q′PN中，
∠PMQ=∠PNQ'=90°∠QPM=∠PQ'NPQ=PQ'
∴△PQM≌△Q′PN（AAS），
∴PN＝QM=-12m+2，Q′N＝PM＝m﹣1，
∴ON＝1+PN＝3-12m，
∴Q′（3-12m，1﹣m），
∴OQ′2＝（3-12m）2+（1﹣m）2=54m2﹣5m+10=54（m﹣2）2+5，
当m＝2时，OQ′2有最小值为5，
∴OQ′的最小值为5，
故选：B．
13．（2019•宿迁）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点A与原点O重合，顶点B落在x轴的正半轴上，对角线AC、BD交于点M，点D、M恰好都在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，则ACBD的值为（ ）
A．2 B．3 C．2 D．5
【解答】设D（m，km），B（t，0），
∵M点为菱形对角线的交点，
∴BD⊥AC，AM＝CM，BM＝DM，
∴M（m+t2，k2m），
把M（m+t2，k2m）代入y=kx得m+t2•k2m=k，
∴t＝3m，
∵四边形ABCD为菱形，
∴OD＝AB＝t，
∴m2+（km）2＝（3m）2，解得k＝22m2，
∴M（2m，2m），
在Rt△ABM中，tan∠MAB=BMAM=2m2m=12，
∴ACBD=2．
故选：A．
14．（2020•镇江）如图①，AB＝5，射线AM∥BN，点C在射线BN上，将△ABC沿AC所在直线翻折，点B的对应点D落在射线BN上，点P，Q分别在射线AM、BN上，PQ∥AB．设AP＝x，QD＝y．若y关于x的函数图象（如图②）经过点E（9，2），则cosB的值等于（ ）
A．25 B．12 C．35 D．710
【解答】∵AM∥BN，PQ∥AB，
∴四边形ABQP是平行四边形，
∴AP＝BQ＝x，
由图②可得当x＝9时，y＝2，
此时点Q在点D下方，且BQ＝x＝9时，y＝2，如图①所示，
∴BD＝BQ﹣QD＝x﹣y＝7，
∵将△ABC沿AC所在直线翻折，点B的对应点D落在射线BN上，
∴BC＝CD=12BD=72，AC⊥BD，
∴cosB=BCAB=725=710，
故选：D．
15．（2018•镇江）如图，一次函数y＝2x与反比例函数y=kx（k＞0）的图象交于A，B两点，点P在以C（﹣2，0）为圆心，1为半径的⊙C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最大值为32，则k的值为（ ）
A．4932 B．2518 C．3225 D．98
第15题 第16题
【解答】连接BP，
由对称性得：OA＝OB，
∵Q是AP的中点，
∴OQ=12BP，
∵OQ长的最大值为32，
∴BP长的最大值为32×2＝3，
如图，当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴于D，
∵CP＝1，
∴BC＝2，
∵B在直线y＝2x上，
设B（t，2t），则CD＝t﹣（﹣2）＝t+2，BD＝﹣2t，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC2＝CD2+BD2，
∴22＝（t+2）2+（﹣2t）2，
t＝0（舍）或-45，
∴B（-45，-85），
∵点B在反比例函数y=kx（k＞0）的图象上，
∴k=-45×(-85)=3225；
故选：C．
16．（2018•连云港）如图，菱形ABCD的两个顶点B、D在反比例函数y=kx的图象上，对角线AC与BD的交点恰好是坐标原点O，已知点A（1，1），∠ABC＝60°，则k的值是（ ）
A．﹣5 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣2
【解答】∵四边形ABCD是菱形，
∴BA＝BC，AC⊥BD，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵点A（1，1），
∴OA=2，
∴BO=OAtan30°=6，
∵直线AC的解析式为y＝x，
∴直线BD的解析式为y＝﹣x，
∵OB=6，
∴点B的坐标为（-3，3），
∵点B在反比例函数y=kx的图象上，
∴3=k-3，
解得，k＝﹣3，
故选：C．
二．填空题（共13小题）
17．（2020•南京）将一次函数y＝﹣2x+4的图象绕原点O逆时针旋转90°，所得到的图象对应的函数表达式是 ．
【解答】在一次函数y＝﹣2x+4中，令x＝0，则y＝4，令y＝0，则x＝2，
∴直线y＝﹣2x+4经过点（0，4），（2，0）
将一次函数y＝﹣2x+4的图象绕原点O逆时针旋转90°，则点（0，4）的对应点为（﹣4，0），（2，0）的对应点是（0，2）
设对应的函数解析式为：y＝kx+b，
将点（﹣4，0）、（0，2）代入得-4k+b=0b=2，解得k=12b=2，
∴旋转后对应的函数解析式为：y=12x+2，
故答案为y=12x+2．
18．将双曲线y=3x向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y＝kx﹣2﹣k（k＞0）相交于两点，其中一个点的横坐标为a，另一个点的纵坐标为b，则（a﹣1）（b+2）＝ ．
【解答】一次函数y＝kx﹣2﹣k（k＞0）的图象过定点P（1，﹣2），而点P（1，﹣2）恰好是原点（0，0）向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的，
因此将双曲线y=3x向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y＝kx﹣2﹣k（k＞0）相交于两点，在没平移前是关于原点对称的，
平移前，这两个点的坐标为为（a﹣1，3a-1），（3b+2，b+2），
∴a﹣1=-3b+2，
∴（a﹣1）（b+2）＝﹣3，
故答案为：﹣3．
19．（2019•南通）如图，过点C（3，4）的直线y＝2x+b交x轴于点A，∠ABC＝90°，AB＝CB，曲线y=kx（x＞0）过点B，将点A沿y轴正方向平移a个单位长度恰好落在该曲线上，则a的值为 ．
第19题 第20题
【解答】作CD⊥x轴于D，BF⊥x轴于F，过B作BE⊥CD于E，
∵过点C（3，4）的直线y＝2x+b交x轴于点A，
∴4＝2×3+b，解得b＝﹣2，
∴直线为y＝2x﹣2，
令y＝0，则求得x＝1，
∴A（1，0），
∵BF⊥x轴于F，过B作BE⊥CD于E，
∴BE∥x轴，
∴∠ABE＝∠BAF，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABE+∠EBC＝90°，
∵∠BAF+∠ABF＝90°，
∴∠EBC＝∠ABF，
在△EBC和△FBA中
∠EBC=∠ABF∠BEC=∠BFA=90°BC=AB
∴△EBC≌△FBA（AAS），
∴CE＝AF，BE＝BF，
设B（m，km），
∵4-km=m﹣1，m﹣3=km，
∴4﹣（m﹣3）＝m﹣1，
解得m＝4，k＝4，
∴反比例函数的解析式为y=4x，
把x＝1代入得y＝4，
∴a＝4﹣0＝4，
∴a的值为4．
故答案为4．
20．（2020•苏州）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣4，0）、（0，4），点C（3，n）在第一象限内，连接AC、BC．已知∠BCA＝2∠CAO，则n＝ ．
【解答】作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，
∵点A、B的坐标分别为（﹣4，0）、（0，4），点C（3，n）在第一象限内，则E（0，n），D（3，0），
∴BE＝4﹣n，CE＝3，CD＝n，AD＝7，
∵CE∥OA，
∴∠ECA＝∠CAO，
∵∠BCA＝2∠CAO，
∴∠BCE＝∠CAO，
在Rt△CAD中，tan∠CAO=CDAD，在Rt△CBE中，tan∠BCE=BECE，
∴CDAD=BECE，即n3+4=4-n3，
解得n=145，
故答案为145．
21．（2018•扬州）如图，在等腰Rt△ABO，∠A＝90°，点B的坐标为（0，2），若直线l：y＝mx+m（m≠0）把△ABO分成面积相等的两部分，则m的值为 ．
第21题 第22题
【解答】∵y＝mx+m＝m（x+1），
∴函数y＝mx+m一定过点（﹣1，0），
当x＝0时，y＝m，
∴点C的坐标为（0，m），
由题意可得，直线AB的解析式为y＝﹣x+2，
y=-x+2y=mx+m，得x=2-mm+1y=3mm+1，
∵直线l：y＝mx+m（m≠0）把△ABO分成面积相等的两部分，
∴(2-m)⋅2-mm+12=2×12×12，
解得，m1=5-132，m2=5+132（舍去），
故答案为：5-132．
22．（2020•泰州）如图，点P在反比例函数y=3x的图象上，且横坐标为1，过点P作两条坐标轴的平行线，与反比例函数y=kx（k＜0＝的图象相交于点A、B，则直线AB与x轴所夹锐角的正切值为 ．
【解答】点P在反比例函数y=3x的图象上，且横坐标为1，则点P（1，3），
则点A、B的坐标分别为（1，k），（13k，3），
设直线AB的表达式为：y＝mx+t，将点A、B的坐标代入上式得k=m+t3=13km+t，解得m＝﹣3，
故直线AB与x轴所夹锐角的正切值为3，
故答案为3．
23．（2019•无锡）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式3kx﹣b＞0的解集为 ．
第23题 第24题
【解答】∵图象过（﹣6，0），则0＝﹣6k+b，
则b＝6k，
故3kx﹣b＝3kx﹣6k＞0，
∵k＜0，
∴x﹣2＜0，
解得：x＜2．
故答案为：x＜2．
24．（2020•盐城）如图，已知点A（5，2）、B（5，4）、C（8，1）．直线l⊥x轴，垂足为点M（m，0）．其中m＜52，若△A′B′C′与△ABC关于直线l对称，且△A′B′C′有两个顶点在函数y=kx（k≠0）的图象上，则k的值为 ．
【解答】∵点A（5，2）、B（5，4）、C（8，1），直线l⊥x轴，垂足为点M（m，0）．其中m＜52，△A′B′C′与△ABC关于直线l对称，
∴A′（2m﹣5，2），B′（2m﹣5，4），C′（2m﹣8，1），
∵A′、B′的横坐标相同，
∴在函数y=kx（k≠0）的图象上的两点为，A′、C′或B′、C′，
当A′、C′在函数y=kx（k≠0）的图象上时，则k＝2（2m﹣5）＝2m﹣8，解得m＝1，
∴k＝﹣6；
当B′、C′在函数y=kx（k≠0）的图象上时，则k＝4（2m﹣5）＝2m﹣8，解得m＝2，
∴k＝﹣4，
综上，k的值为﹣6或﹣4，
故答案为﹣6或﹣4．
25．（2019•盐城）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣1的图象分别交x、y轴于点A、B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是 ．
第25题 第26题 第27题
【解答】∵一次函数y＝2x﹣1的图象分别交x、y轴于点A、B，
∴令x＝0，得y＝﹣1，令y＝0，则x=12，
∴A（12，0），B（0，﹣1），
∴OA=12，OB＝1，
过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，
∵∠ABC＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AB＝AF，
∵∠OAB+∠ABO＝∠OAB+∠EAF＝90°，
∴∠ABO＝∠EAF，
∴△ABO≌△FAE（AAS），
∴AE＝OB＝1，EF＝OA=12，
∴F（32，-12），
设直线BC的函数表达式为：y＝kx+b，
∴32k+b=-12b=-1，
∴k=13b=-1，
∴直线BC的函数表达式为：y=13x﹣1，
故答案为：y=13x﹣1．
26．（2018•盐城）如图，点D为矩形OABC的AB边的中点，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点D，交BC边于点E．若△BDE的面积为1，则k＝ ．
【解答】设D（a，ka），
∵点D为矩形OABC的AB边的中点，
∴B（2a，ka），
∴E（2a，k2a），
∵△BDE的面积为1，
∴12•a•（ka-k2a）＝1，解得k＝4．
故答案为4．
27．（2020•淮安）如图，等腰△ABC的两个顶点A（﹣1，﹣4）、B（﹣4，﹣1）在反比例函数y=k1x（x＜0）的图象上，AC＝BC．过点C作边AB的垂线交反比例函数y=k1x（x＜0）的图象于点D，动点P从点D出发，沿射线CD方向运动32个单位长度，到达反比例函数y=k2x（x＞0）图象上一点，则k2＝ ．
【解答】把A（﹣1，﹣4）代入y=k1x中得，k1＝4，
∴反比例函数y=k1x为y=4x，
∵A（﹣1，﹣4）、B（﹣4，﹣1），
∴AB的垂直平分线为y＝x，
联立方程驵y=4xy=x，解得x=-2y=-2，或x=2y=2，
∵AC＝BC，CD⊥AB，
∴CD是AB的垂直平分线，
∵CD与反比例函数y=k1x（x＜0）的图象于点D，
∴D（﹣2，﹣2），
∵动点P从点D出发，沿射线CD方向运动32个单位长度，到达反比例函数y=k2x（x＞0）图象上一点，
∴设移动后的点P的坐标为（m，m）（m＞﹣2），则
(m+2)2+(m+2)2=（32）2，
∴m＝1，
∴P（1，1），
把P（1，1）代入y=k2x（x＞0）中，得k2＝1，
故答案为：1．
28．（2020•宿迁）如图，点A在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，点B在x轴负半轴上，直线AB交y轴于点C，若ACBC=12，△AOB的面积为6，则k的值为 ．
第28题 第29题
【解答】过点A作AD⊥y轴于D，则△ADC∽△BOC，
∴DCOC=ACBC=12，
∵ACBC=12，△AOB的面积为6，
∴S△AOC=13S△AOB=2，
∴S△ACD=12S△AOC=1，
∴△AOD的面积＝3，
根据反比例函数k的几何意义得，12|k|=3，
∴|k|＝6，
∵k＞0，
∴k＝6．
故答案为：6．
29．（2018•宿迁）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=2x（x＞0）的图象与正比例函数y＝kx、y=1kx（k＞1）的图象分别交于点A、B．若∠AOB＝45°，则△AOB的面积是 ．
【解答】如图，过B作BD⊥x轴于点D，过A作AC⊥y轴于点C
设点A横坐标为a，则A（a，2a）
∵A在正比例函数y＝kx图象上
∴2a=ka
∴k=2a2
同理，设点B横坐标为b，则B（b，2b）
∴2b=1kb
∴k=b22
∴2a2=b22
∴ab＝2
当点A坐标为（a，2a）时，点B坐标为（2a，a）
∴OC＝OD
将△AOC绕点O顺时针旋转90°，得到△ODA′
∵BD⊥x轴
∴B、D、A′共线
∵∠AOB＝45°，∠AOA′＝90°
∴∠BOA′＝45°
∵OA＝OA′，OB＝OB
∴△AOB≌△A′OB
∵S△BOD＝S△AOC＝2×12=1
∴S△AOB＝2
故答案为：2
三．解答题（共19小题）
30．（2020•南通）如图，直线l1：y＝x+3与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B．
（1）求直线l2的解析式；
（2）点M在直线l1上，MN∥y轴，交直线l2于点N，若MN＝AB，求点M的坐标．
【解答】（1）在y＝x+3中，令y＝0，得x＝﹣3，
∴B（﹣3，0），
把x＝1代入y＝x+3得y＝4，
∴C（1，4），
设直线l2的解析式为y＝kx+b，
∴k+b=43k+b=0，解得k=-2b=6，
∴直线l2的解析式为y＝﹣2x+6；
（2）AB＝3﹣（﹣3）＝6，
设M（a，a+3），由MN∥y轴，得N（a，﹣2a+6），
MN＝|a+3﹣（﹣2a+6）|＝AB＝6，
解得a＝3或a＝﹣1，
∴M（3，6）或（﹣1，2）．
31．（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，﹣4）、B（2，0），交反比例函数y=mx（x＞0）的图象于点C（3，a），点P在反比例函数的图象上，横坐标为n（0＜n＜3），PQ∥y轴交直线AB于点Q，D是y轴上任意一点，连接PD、QD．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△DPQ面积的最大值．
【解答】（1）把A（0，﹣4）、B（2，0）代入一次函数y＝kx+b得，
b=-42k+b=0，解得，k=2b=-4，
∴一次函数的关系式为y＝2x﹣4，
当x＝3时，y＝2×3﹣4＝2，
∴点C（3，2），
∵点C在反比例函数的图象上，
∴k＝3×2＝6，
∴反比例函数的关系式为y=6x，
答：一次函数的关系式为y＝2x﹣4，反比例函数的关系式为y=6x；
（2）点P在反比例函数的图象上，点Q在一次函数的图象上，
∴点P（n，6n），点Q（n，2n﹣4），
∴PQ=6n-（2n﹣4），
∴S△PDQ=12n[6n-（2n﹣4）]＝﹣n2+2n+3＝﹣（n﹣1）2+4，
∵﹣1＜0，
∴当n＝1时，S最大＝4，
答：△DPQ面积的最大值是4．
32．（2019•徐州）如图，平面直角坐标系中，O为原点，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上．△AOB的两条外角平分线交于点P，P在反比例函数y=9x的图象上．PA的延长线交x轴于点C，PB的延长线交y轴于点D，连接CD．
（1）求∠P的度数及点P的坐标；
（2）求△OCD的面积；
（3）△AOB的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由．
【解答】（1）如图，作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PH⊥AB于H．
∴∠PMA＝∠PHA＝90°，
∵∠PAM＝∠PAH，PA＝PA，
∴△PAM≌△PAH（AAS），
∴PM＝PH，∠APM＝∠APH，
同理可证：△BPN≌△BPH，
∴PH＝PN，∠BPN＝∠BPH，
∴PM＝PN，
∵∠PMO＝∠MON＝∠PNO＝90°，
∴四边形PMON是矩形，
∴∠MPN＝90°，
∴∠APB＝∠APH+∠BPH=12（∠MPH+∠NPH）＝45°，
∵PM＝PN，
∴可以假设P（m，m），
∵P（m，m）在y=9x上，
∴m2＝9，
∵m＞0，
∴m＝3，
∴P（3，3）．
（2）设OA＝a，OB＝b，则AM＝AH＝3﹣a，BN＝BH＝3﹣b，
∴AB＝6﹣a﹣b，
∵AB2＝OA2+OB2，
∴a2+b2＝（6﹣a﹣b）2，
可得ab＝6a+6b﹣18，
∴3a+3b﹣9=12ab，
∵PM∥OC，
∴COPM=OAAM，
∴OC3=a3-a，
∴OC=3a3-a，同法可得OD=3b3-b，
∴S△COD=12•OC•DO=12•9ab(3-a)(3-b)=12•9ab9-3a-3b+ab=12•9ab-12ab+ab=9．
（3）设OA＝a，OB＝b，则AM＝AH＝3﹣a，BN＝BH＝3﹣b，
∴AB＝6﹣a﹣b，
∴OA+OB+AB＝6，
∴a+b+a2+b2=6，
∴2ab+2ab≤6，
∴（2+2）ab≤6，
∴ab≤3（2-2），
∴ab≤54﹣362，
∴S△AOB=12ab≤27﹣182，
∴△AOB的面积的最大值为27﹣182．
33．（2019•苏州）如图，A为反比例函数y=kx（其中x＞0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB＝4．连接OA，AB，且OA＝AB＝210．
（1）求k的值；
（2）过点B作BC⊥OB，交反比例函数y=kx（其中x＞0）的图象于点C，连接OC交AB于点D，求ADDB的值．
【解答】（1）过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，AH交OC于点M，如图所示．
∵OA＝AB，AH⊥OB，
∴OH＝BH=12OB＝2，
∴AH=OA2-OH2=6，
∴点A的坐标为（2，6）．
∵A为反比例函数y=kx图象上的一点，
∴k＝2×6＝12．
（2）∵BC⊥x轴，OB＝4，点C在反比例函数y=12x上，
∴BC=kOB=3．
∵AH∥BC，OH＝BH，
∴MH=12BC=32，
∴AM＝AH﹣MH=92．
∵AM∥BC，
∴△ADM∽△BDC，
∴ADDB=AMBC=32．
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