第07讲 二次函数与一元二次方程、不等式-【暑假自学课】2022年新高一数学暑假精品课（人教版2019必修第一册）

第07讲 二次函数与一元二次方程、不等式

       【学习目标】

1.会结合一元二次函数的图像，判断一元二次方程实根的存在性及实根个数，了解函数的零点与方程根的关系．

2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义，能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．

3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系

        【基础知识】

一、一元二次不等式

一般地，我们把只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0.

二、二次函数的零点

1.一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．

2.二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标．

3.一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点．

三、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系

【解读】(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间．

(2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解．

四、解一元二次不等式的一般步骤

1.通过对不等式变形，使二次项系数大于零；

2.计算对应方程的判别式；

3.求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；

4.根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．

【解读】(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标．

(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c>0的x的值构成的；图象在x轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c<0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化．

五、解含参数的一元二次不等式

1.若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；

2.若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；

3.若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．

六、简单分数不等式的解法

1.对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．

2.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．

七、不等式恒成立问题

1.不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为

2.一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为

3.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为空集的条件为

【考点剖析】

考点一：一元二次不等式的解法

例1．（2021-2022学年新疆喀什市普通高中高一上学期期末）解下列不等式：

(1)；

(2).

【解析】 (1)因为，

所以方程有两个不等实根x1＝－1，x2＝－3.

所以原不等式的解集为或.

(2)因为，

所以方程 有两个相等实根x1＝x2＝

所以原不等式的解集为.

考点二：三个二次关系的应用

例2．（2020-2021学年安徽省滁州市定远中学高一上学期考试）已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（       ）

A．或 B．

C．或 D．

【答案】B

【解析】由题意得，即，

所以即，解得．故选B

考点三：含参数的一元二次不等式的解法

例3．解关于x的不等式

【解析】关于x的不等式

可化为

（1）当时，，解得．

（2）当，所以

所以方程的两根为-1和，

当，即时，不等式的解集为或}，

当，即时，不等式的解集为．

当，即时，不等式的解集为或}，．

（3）当时，

因为方程的两根为—1和，

又因为，所以．

即不等式的解集是，

综上所述：当时，不等式的解集为

当时，不等式的解集为

当时，不等式的解集为或

当时，不等式的解集为

当时，不等式的解集为或}，

考点四：简单分数不等式的解法

例4．（多选）（2021-2022学年湖南省怀化市高一上学期期末）集合也可以写成（       ）

A． B．

C．或 D．

【答案】ABD

【解析】对于集合，解不等式，即，解得，所以.

对于A选项，，故A正确；

对于B选项，解不等式，即，得，即，故B正确；

对于C选项，与集合比较显然错误，故C错误；

对于D选项，等价于，故D正确.故选ABD

 考点五：一元二次不等式恒成立问题

例5．（2020-2021学年广东省江门市新会陈经纶中学高一上学期期中）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（       ）

A． B． C．或 D．或

【答案】B

【解析】当时，恒成立，符合题意；当时，由题意有，解得，

综上，.故选B.

        【真题演练】

1．(2021-2022学年浙江省强基联盟高一下学期5月联考)不等式的解集是（       ）

A． B．

C．或 D．

2. （2021-2022学年浙江省“新高考名校联盟”高一下学期5月检测）一元二次不等式对一切实数恒成立，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

3. （2021-2022学年重庆市石柱中学校高一上学期第一次月考）已知函数的图象都在轴的上方，求实数的取值范围(       )

A． B．

C． D．

4. （多选）（2021-2022学年江苏省盐城市大丰区新丰中学高一上学期期中）下列不等式的解集为R的有（       ）

A．x2＋x＋1≥0 B．x2－2x＋>0

C．x2＋6x＋10>0 D．2x2－3x＋4<1

5. （多选）（2021-2022学年江苏省南京市第一中学高一上学期10月月考）对于给定实数，关于的一元二次不等式的解集可能是（       ）

A． B． C． D．

6. （2021-2022学年湖南省衡阳市田家炳实验中学高一上学期月考）已知二次函数图象如图所示.则不等式的解集为_________.

7. （2020-2021学年浙江省衢州五校高一上学期11月期中联考）(1)若不等式的解集为，求的值.

(2)不等式的解集为A，求集合A.

8. （2021-2022学年广东省江门市广雅中学高一上学期月考）求下列不等式的解集．

(1)；

(2)

       【过关检测】

1. （2021-2022学年安徽省亳州市利辛县第一中学高一下学期4月联考）不等式的解集为（       ）

A． B．或

C． D．或

2. （2021-2022学年陕西省西安市长安区高一下学期月考）若不等式对一切实数均成立，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

3. （2021-2022学年广东省化州市第三中学高一下学期3月考试）已知不等式的解集是，则的值为（       ）．

A．1 B． C．0 D．

4. （2021-2022学年甘肃省定西市高一下学期统一检测）若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

5. （多选）（2021-2022学年福建省晋江市第一中学高一上学期月考）已知关于的不等式的解集为或，则下列结论中，正确结论的序号是（       ）

A． B．不等式的解集为

C．不等式的解集为或 D．

6. （多选）（2021-2022学年安徽省皖西地区高一下学期期中大联考）若不等式的解集为，则下列说法正确的是（       ）

A． B．

C．关于的不等式解集为 D．关于的不等式解集为

7. （2021-2022学年广东省梅州市梅江区梅州中学高一上学期月考）若不等式在R上恒成立，则实数a的取值范围是___________．

8. （2021-2022学年湖北省黄石市有色第一中学高一上学期期中）若不等式的解集为，则不等式的解集是________．

9. （2019-2020学年天津市红桥区高一上学期期中）求下列不等式的解集：

(1)；

(2).

10.（2021-2022学年北京市第五中学高一3月第一次阶段检测）请回答下列问题：

(1)若关于的不等式的解集为或，求，的值.

(2)求关于的不等式的解集.