第09讲 函数的基本性质-【暑假自学课】2022年新高一数学暑假精品课（人教版2019必修第一册）

第09讲 函数的基本性质

       【学习目标】

1.借助函数图象，会有符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．

2.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义

        【基础知识】

一、函数的单调性及其符号表达

1.函数单调性的概念

函数值随自变量的增大而增大(或减小)的性质叫做函数的单调性．

2.函数单调性的符号表达

一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：

如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增．

如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减．

二、增函数、减函数

1.当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数(increasing function)．

2.当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数(decreasing function)．

3.如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．

【解读】

1.单调性是函数的局部性质，但在其单调区间上是整体性质，因此对x1，x2有下列要求：

(1)属于同一个区间D；

(2)任意性，即x1，x2是定义域中某一区间D上的任意两个值，不能用特殊值代替；

(3)有大小，即确定的任意两值x1，x2必须区分大小，一般令x1<x2.

2.并非所有的函数都具有单调性．如f(x)＝它的定义域为N，但不具有单调性．

3.这个区间可以是整个定义域．如y＝x在整个定义域(－∞，＋∞)上单调递增， y＝－x在整个定义域(－∞，＋∞)上单调递减；这个区间也可以是定义域的真子集．如y＝x2在定义域(－∞，＋∞)上不具有单调性，但在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增．

4.函数在某个区间上单调递增(减)，但是在整个定义域上不一定都是单调递增(减)．如函数y＝(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减，但是在整个定义域上不具有单调性．

5.一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”或“，”连接．如函数y＝(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减，不能认为y＝(x≠0)的单调递减区间为(－∞，0)∪(0，＋∞)．

三、定义法证明单调性的步骤

判断函数的单调性常用定义法和图象法，而证明函数的单调性则应严格按照单调性的定义操作．

利用定义法判断函数的单调性的步骤为：

注意：对单调递增的判断，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，也可以用一个不等式来替代：

四、函数的最大值

1.定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

①∀x∈I，都有f(x)≤M；

②∃x0∈I，使得f(x0)＝M.

那么，称M是函数y＝f(x)的最大值．

2.几何意义：函数y＝f(x)的最大值是图象最高点的纵坐标．

五、函数的最小值

1.定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

①∀x∈I，都有f(x)≥M；

②∃x0∈I，使得f(x0)＝M.

那么，称M是函数y＝f(x)的最小值．

几何意义：函数y＝f(x)的最小值是图象最低点的纵坐标．

六、偶函数、奇函数

1.偶函数的定义

一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数(even function)．

2.奇函数的定义

一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数(odd function)．

3.偶函数、奇函数的图象特征

（1）如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．

（2）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．

【解读】

1.奇偶性是函数的整体性质(对照单调性是函数的局部性质，以加深理解)．

2.定义域不关于原点对称的函数，既不是奇函数，也不是偶函数．

3.对于奇函数f(x)，若f(0)有意义，则f(0)＝0；对于偶函数f(x)，必有f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．

【考点剖析】

考点一：证明或判断函数单调性

例1．（2021-2022学年广东省江门市广雅中学高一上学期期中）下列函数为奇函数的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】对于A：定义域为，且，

所以为偶函数，故A错误；

对于B：定义域为，且，

所以为奇函数，故B正确；

对于C：定义域为，且，

所以为偶函数，故C错误；

对于D：定义域为，定义域不关于原点对称，

故为非奇非偶函数，故D错误；故选B

考点二：求单调区间

例2．函数的单调增区间为（       ）

A． B． C．和 D．

【答案】C

【解析】由可得且，

因为开口向下，其对称轴为，

所以的减区间为和

所以的单调增区间为和，故选C

考点三：利用单调性比较大小

例3．（2020-2021学年江苏省镇江市高一上学期期中）若偶函数在上是减函数，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】为偶函数，；在上是减函数，，

即.故选B.

考点四：求函数的最值

例4．函数 在 上的最小值为（       ）

A．2  B．1 C．  D．

【答案】C

【解析】因为函数 ， 所以函数 在 上是减函数，

所以当 时， .

 考点五：判断函数的奇偶性

例5．（多选）（2021-2022学年广东省化州市第三中学高一上学期期中）设函数、的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（       ）

A．是奇函数 B．是偶函数

C．是偶函数 D．是奇函数

【答案】AB

【解析】是奇函数，是偶函数，，，

，故是奇函数，A正确；

，故为偶函数，B正确；

，故是奇函数，C错误；

，故为偶函数，D错误.

故选AB．

考点六：抽象函数的单调性与奇偶性

例6．（2021-2022学年新疆沙湾县高一上学期期中）已知函数f(x)对∀x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x＜0时，f(x)＞0，且f(1)＝－2.

(1)证明函数f(x)在R上的奇偶性；

(2)证明函数f(x)在R上的单调性；

(3)当x∈[1，2]时，不等式f(x2－mx)＋f(x)＜4恒成立，求实数m的取值范围.

【解析】 (1)因为函数的定义域为R，

令，所以，即，

令，所以，即，

所以函数为奇函数．

(2)不妨设，所以，而，所以，，即，故函数为R上的减函数．

(3)由（1）可知，函数为奇函数，而，所以，故原不等式可等价于，而函数为R上的减函数，所以，又，所以，而，当且仅当时取等号，所以，即实数m的取值范围为．

考点七：单调性与奇偶性的综合应用

例7．（2021-2022学年浙江省杭州市高一下学期期末）设函数，对于任意正数，都．已知函数的图象关于点成中心对称，若，则的解集为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】函数的图象关于点成中心对称，故函数的图象关于点成中心对称，记是奇函数.记所以是偶函数，

对于任意正数，都，即，所以在 单调递增，且，是偶函数,故在 单调递减，且

当 时，，

当 时，，

故的解集为.故选B

        【真题演练】

1.（2021-2022学年安徽省皖西地区高一下学期期中大联考）下列函数既是偶函数又在上单调递减的是（       ）

A． B． C． D．

2.（2021-2022学年广东省普宁市华侨中学高一下学期期中）设为奇函数，且当时，，则当时，（ 　   　）

A． B．

C． D．

3.（2020-2021学年四川省巴中市恩阳区高一上学期期中）已知在为单调函数，则a的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

4.(2021年高考全国乙卷)设函数，则下列函数中为奇函数的是 (　　)

A． B． C． D．

5.（多选）（2021-2022学年贵州省黔东南州高一上学期期末）已知函数，关于函数，f(x)的结论正确的是(       )

A．f(x)的最大值为3 B．f(0)＝2

C．若f(x)＝－1，则x＝2 D．f(x)在定义域上是减函数

6.（多选）（2020-2021学年广东省梅州市梅江区梅州中学高一段考）函数是定义在R上的奇函数，下列说法中正确的是（       ）

A．

B．若在上有最小值－1，则在上有最大值1

C．若在上为增函数，则在上为减函数

D．，使

7.（2021-2022学年新疆沙湾县第一中学高一上学期期中）已知函数f(x)＝，对任意x1，x2∈R且x1≠x2，都有，则实数m的取值范围是___________.

8. （2021-2022学年云南省昆明市高一月考）已知，函数．

(1)指出在上的单调性（不需说明理由）；

(2)若在上的值域是，求的值．

       【过关检测】

1.（2021-2022学年广东省揭阳华侨高级中学高一下学期考试） 定义在上的偶函数满足：对任意的有则（       ）

A． B．

C． D．

2. （2021-2022学年甘肃省张掖市第二中学高一下学期3月月考）已知奇函数是定义在区间上的增函数，且，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

3. （2020-2021学年安徽省滁州市定远中学高一上学期考试）函数的图象为（       ）

A． B．

C． D．

4. （2021-2022学年广东省广州市华南师大附中高一下学期期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域为（       ）

A． B．

C． D．

5. （2021-2022学年湖北省十堰市城区普高协作体高一上学期期中）下列函数中，既是奇函数又是减函数的为（       ）

A． B． C． D．

6. （2021-2022学年新疆沙湾县第一中学高一上学期期中）若函数f(x)满足：∀x∈R，f(x＋2)＝f(2－x)，且则（       ）

A．f(0)＞f(3) B．∀x∈R，f(x)≤f(2)

C． D．若f(m)＞f(3)，则1＜m＜3

7.（2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市第一二二中学校高一上学期期中）已知函数，则的单调递增区间为______.

8. （2021-2022学年新疆沙湾县第一中学高一上学期期中）已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，，则不等式 x·f(x)＞0 的解集为_______________.

9. （2021-2022学年内蒙古自治区赤峰市红山区高一上学期期末）已知是定义在上的偶函数，且时，．

(1)求函数的表达式；

(2)判断并证明函数在区间上的单调性．

10.（2021-2022学年河北省秦皇岛市高一上学期期末） 已知函数.

(1)判断在区间上的单调性，并用定义证明；

(2)判断的奇偶性，并求在区间上的值域.