第14讲 任意角和弧度制-【暑假自学课】2022年新高一数学暑假精品课（人教版2019必修第一册）

第14讲 任意角和弧度制

       【学习目标】

1. 了解任意角的概念和弧度制

2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性

        【基础知识】

一、角的相关概念

1.角可以看成平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．

2.角的表示：

如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．

3.按照角的旋转方向可将角分为如下三类：

4.相反角

如图，我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.

二、象限角

1.若角的顶点在原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，则角的终边在第几象限，就称这个角是第几象限角．

2.若角的终边在坐标轴上，则认为这个角不属于任何一个象限．

3.象限角的判定方法

(1)根据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系．

(2)将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．

(3)nα所在象限的判断方法

确定nα终边所在的象限，先求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可．

(4)所在象限的判断方法

4.已知角α所在象限，要确定角所在象限，有两种方法：

①用不等式表示出角的范围，然后对k的取值分情况讨论：被n整除；被n除余1；被n除余2；…；被n除余n－1.从而得出结论．

②作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域．从x轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上1,2,3,4.α的终边在第几象限，则标号为几的区域，就是的终边所落在的区域．如此，所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出．

三、终边相同的角

1.设α表示任意角，所有与角α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．

2.对终边相同的角的理解

(1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；

(2)k∈Z，即k为整数，这一条件不可少；

(3)终边相同的角的表示不唯一．

四、角的单位制

1.用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的.

2.长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度，通常略去不写．以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制．

3.弧度数的计算

4.角度制和弧度制的比较

(1)弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，而角度制是以“度”为单位来度量角的单位制．

(2)1弧度的角是指等于半径长的弧所对的圆心角，而1度的角是指圆周角的的角，大小显然不同．

(3)无论是以“弧度”还是以“度”为单位来度量角，角的大小都是一个与“半径”大小无关的值．

(4)用“度”作为单位度量角时，“度”(即“°”)不能省略，而用“弧度”作为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”通常省略不写．但两者不能混用，即在同一表达式中不能出现两种度量方法．

五、角度与弧度的换算

1.角度制与弧度制的换算

2.一些特殊角的度数与弧度数的对应表

六、扇形的弧长及面积公式

1.设扇形的半径为r，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角的弧度数，n为圆心角的角度数，则扇形的弧长：l＝＝αr，扇形的面积：S＝＝lr＝α·r2.

【考点剖析】

考点一：任意角的概念

例1．（多选）已知{第一象限角}，{锐角}，{小于的角}，那么A、B、C关系是（       ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【解析】对于A选项，除了锐角，还包括其它角，比如，所以A选项错误.

对于B选项，锐角是小于的角，故B选项正确.

对于C选项，锐角是第一象限角，故C选项正确.

对于D选项，中角的范围不一样，所以D选项错误.故选BC

考点二：终边相同的角

例2．（2021-2022学年北京市北大附中高一下学期期中）将轴正半轴绕原点逆时针旋转，得到角，则下列与终边相同的角是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意得：，当时，，B正确，其他选项经过验证均不正确.故选B

考点三：象限角

例3．（2021-2022学年广东省韶关市田家炳中学高一上学期期末）下列四个角为第二象限角的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【解析】对于A选项，，故为第二象限角；

对于B选项，是第二象限角；

对于C选项，是第三象限角；

对于D选项，，故为第一象限角.故选AB.

考点四：弧度制

例4．（2021-2022学年上海市仙霞高级中学高一下学期期中）将角度化为弧度是______.

【答案】

【解析】角度化为弧度是

考点五：象限角的弧度制表示

例5. （多选）（2021-2022学年安徽省阜阳市界首中学高一上学期期末）若是第二象限角，则（       ）

A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角

C．是第二象限角 D．是第三或第四象限角

【答案】AB

【解析】因为与关于x轴对称，而是第二象限角，所以是第三象限角，所以是第一象限角，故A选项正确；

因为是第二象限角，所以，，所以，，故是第一或第三象限角，故B选项正确；

因为是第二象限角，所以是第一象限角，故C选项错误；

因为是第二象限角，所以，，所以，，所以的终边可能在y轴负半轴上，故D选项错误．故选AB.

考点六：等分角

例6．（2021-2022学年江西省萍乡市芦溪中学高一3月月考）已知．

(1)写出与角终边相同的角的集合，并求出在内与角终边相同的角；

(2)若角与角终边相同，判断角是第几象限的角．

【解析】 (1)解：与角终边相同的角的集合为，

令，得，

又，

在内与角终边相同的角是；

(2)由（1），知，则，

则当k为偶数时，角是第一象限角；当k为奇数时，角是第三象限角，

角是第一或第三象限角．

考点七：扇形弧长公式

例7．（2021-2022学年陕西省咸阳市武功县高一下学期期中）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题:“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”现有一类似问题，一不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示.用锯去锯这木材，若锯口深，锯道，则图中的长度为______.

【答案】

【解析】设圆的半径为，则，，

由勾股定理可得，即，解得，

所以，，，所以，，故，

因此，

考点八：扇形面积公式

例8．（2021-2022学年中原名校高一上学期12月第三次大联考）已知一扇形的圆心角为，周长为C，面积为S，所在圆的半径为r．

(1)若，cm，求扇形的弧长；

(2)若cm，求S的最大值及此时扇形的半径和圆心角．

【解析】 (1)＝，

扇形的弧长cm；

(2)设扇形的弧长为l，半径为r，

则，∴，

则，

当时，，cm，，

∴S的最大值是，此时扇形的半径是4 cm，圆心角．

        【真题演练】

1．（2021-2022学年北京市第十五中学高一下学期期中）在0°到范围内，与终边相同的角为（　　）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】因为，所以在0°到范围内与终边相同的角为；故选B

2.（2021-2022学年江苏省常州市八校高一上学期12月联考）若，则角的终边在（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．（2021-2022学年山东省名校高一下学期大联考）2月5日，在北京冬奥会短道速滑混合接力的比赛中，中国队以2分37秒348的成绩获得金牌．如图，短道速滑的比赛场地的内圈半圆的弯道计算半径为，直道长为，点为半圆的圆心，点为弯道与直道的连接点，运动员沿滑道逆时针滑行，在某次短道速滑比赛最后一圈的冲刺中，运动员小夏在弯道上的点处成功超过所有对手，并领先到终点（终点为直道的中点）．若从点滑行到点的距离为，则（       ）

A． B． C．2 D．

4. （多选）（2021-2022学年辽宁省抚顺市抚顺县高中高一下学期3月月考）下列转化结果正确的是（       ）

A．60°化成弧度是 B．－π化成度是－660°

C．－150°化成弧度是－π D．化成度是15°

5. （多选）（2021-2022学年福建省莆田第一中学高一上学期期末）若角与角的终边相同，角与角的终边相同，则角的值可能是（       ）

A． B． C． D．

6.（2021-2022学年上海市进才中学高一下学期期中）在直角坐标系中，轴在正半轴上一点依逆时针方向作匀速圆周运动，若点一分钟转过角，分钟到达第三象限，分钟回到原来位置，则______.

7.（2021-2022学年陕西省西安市阎良区高一下学期期中）已知．

(1)把表示成的形式，其中，；

(2)求，使与的终边相同，且．

8.（2021-2022学年湖北省宜昌市部分学校高一下学期期中）某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形挖去扇形后构成的)．已知米，米，线段、线段与弧、弧的长度之和为米，圆心角为弧度．

(1)求关于的函数解析式；

(2)记该宣传牌的面积为，试问取何值时，的值最大?并求出最大值．

       【过关检测】

1. （2021-2022学年宁夏银川市第二中学高一下学期期中）教室里的钟表慢了30分钟，在同学将它校正的过程中，时针需要旋转多少弧度?（       ）

A． B． C． D．

2.（2021-2022学年重庆市巫山大昌中学校高一上学期期末）下列与的终边相同的角的集合中正确的是（       ）

A． B．

C． D．

3.（2021-2022学年河南省南阳市六校高一下学期第一次联考）已知一扇形的周长为，则当该扇形的面积取得最大时，圆心角大小为（       ）

A． B． C．1 D．2

4.（多选）（2021－2022学年江西省南昌市第十五中学高一下学期月考）已知角是第一象限角，则角可能在以下哪个象限（       ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

5.（多选）设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，面积为，周长为，则（       ）

A．若，确定，则，唯一确定 B．若，确定，则，唯一确定

C．若，确定，则，唯一确定 D．若，确定，则，唯一确定

6.（2021-2022学年山东省学情联考高一上学期12月质量检测）下列结论中不正确的是（       ）

A．终边经过点的角的集合是

B．将表的分针拨快10分钟，则分针转过的角的弧度数是

C．若是第一象限角，则是第一象限角，为第一或第二象限角

D．，，则

7.（2021-2022学年陕西省榆林市绥德中学、府谷中学高一下学期期中）在内与终边相同的角是______．

8.（2021-2022学年陕西省西安建筑科技大学附中高一下学期月考）“圆材埋壁”是我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问题，现有一个“圆材埋壁”的模型，其截面如图所示，若圆柱形材料的底面半径为1，截面圆圆心为，墙壁截面为矩形，且，则扇形的面积是__________.

9.如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界).

（1）；

（2）

10.如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从点A(1，0)出发，以逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知P点在1 s内转过的角度为θ (0°<θ<180°)，经过2 s达到第三象限，经过14 s后又回到了出发点A处，求θ.