第19讲 三角函数的应用-【暑假自学课】2022年新高一数学暑假精品课（人教版2019必修第一册）

第19讲 三角函数的应用

       【学习目标】

1.会用三角函数解决简单的实际问题，

2.体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型

        【基础知识】

一、函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中，A，ω，φ的物理意义

1.简谐运动的振幅就是A.

2.简谐运动的周期T＝.

3.简谐运动的频率f＝＝.

4.ωx＋φ称为相位．

5. x＝0时的相位φ称为初相．

二、三角函数模型的应用

1.三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要使用信息技术．

2.建立函数模型的一般步骤

3.解三角函数应用问题的基本步骤

4.运用三角函数模型解决问题的几种类型

(1)由图象求解析式：首先由图象确定解析式的基本形式，例如：y＝Asin(ωx＋φ)，然后根据图象特征确定解析式中的字母参数，在求解过程中还要结合函数性质．

(2)由图象研究函数的性质：通过观察分析函数图象，能得出函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性．

(3)利用三角函数研究实际问题：首先分析、归纳实际问题，抽象概括出数学模型，再利用图象及性质解答数学问题，最后解决实际问题．

【考点剖析】

考点一：函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中，A，ω，φ的物理意义

例1．简谐运动的相位与初相是（       ）

A．， B．，4

C．，－ D．，

【答案】C

【解析】相位是，当时的相位为初相即．故选C

考点二：由图象研究函数的性质

例2．福州新港江阴港区地处福建最大海湾兴化湾西北岸，全年全日船泊进出港不受航道及潮水的限制，是迄今为止“我国少有、福建最佳”的天然良港.如图，是港区某个泊位一天中6时到18时的水深变化曲线近似满足函数，据此可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（     ）

A．5 B．6 C．8 D．10

【答案】C

【解析】从图象可以看出，函数最小值为-2，即当时，函数取得最小值，即，解得：，所以，当时，函数取得最大值，，这段时间水深（单位：m）的最大值为8m.故选C

考点三：三角函数在物理中的应用

例3．（2021-2022学年山东省潍坊市安丘、高密、诸城高一下学期5月期中）将塑料瓶底部扎一个小孔做成漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆．在漏斗下方纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴，把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图像．它表示了漏斗对平衡位置的位移s（纵坐标）随时间t（横坐标）变化的情况．如图所示，已知一根长为lcm的线一端固定，另一端悬一个漏斗，漏斗摆动时离开平衡位置的位移s（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是，其中，，则估计线的长度应当是（精确到0.1cm）（       ）

A．15.4cm B．16.4cm C．17.4cm D．18.4cm

【答案】C

【解析】由，得.由函数的图象可知函数的周期为，

所以，即.故选C.

考点四： 三角函数模型的简单应用

例4．（多选）（2021-2022学年安徽省示范高中培优联盟高一下学期春季联赛）阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置．如图，我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”．由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移（cm）和时间t（）的函数关系式为，其中，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为的时间分别为，，，且，，则下列是的单调区间的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【解析】因为且，，所以，，由，得是函数的一条对称轴方程，则，即，取，所以，

由，解得，故其单调增区间是，则减区间是，故选AC.

考点五：数据拟合问题

例5. 某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度（米）随着时间（，单位：小时）而周期性变化．每天各时刻的浪高数据的平均值如下表：

(1)试在图中描出所给点；

(2)观察图，从，，中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；

(3)如果确定在一天内的时至时之间，当浪高不低于米时才进行训练，试安排恰当的训练时间．

【解析】 (1)散点图如下，

(2)由散点图可知：应选择，

则，，，即，

将代入可得：，解得：，

该模型的解析式为：.

(3)令，则，

，，

或或，

解得：或或，应在白天点到点之间训练.

        【真题演练】

1．（2021-2022学年重庆市实验中学高一下学期第一次月考）心脏每跳动一次，就完成一次收缩和舒张.心脏跳动时，血压在增大或缩小，并呈周期性变化，血压的最大值和最小值分别称为收缩压和舒张压.某人的血压满足函数，其中为血压(单位：)，t为时间(单位：)，则相邻的收缩压和舒张压的时间间隔是（       ）

A． B． C． D．

2.（2021-2022学年山东省临沂市莒南县高一下学期期中）筒车是一种以水流作动力，取水灌田的工具，是中国古代人民伟大的发明之一.如图，已知某个半径为6m的筒车按逆时针方向每分钟匀速旋转2圈，筒车轴心O距水面3m，设筒车上某个盛水筒P，以P刚浮出水面时开始计算时间，则盛水筒P出水后第一次到达最高点的时间（单位：s）为（       ）

A．7 B．8 C．9 D．10

3.（2021-2022学年湖北省问津联合体高一下学期3月质量检测）设地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射纬度，为该地的纬度值，则有.根据地理知识，武汉地区的纬度值约为北纬，今年月日正午太阳刚好直射赤道（纬度为度），如果在武汉某学校有高度为的旗杆，月日正午时旗杆影子长是旗杆高的（       ）倍？

A．倍 B．倍 C．倍 D．倍

4.（多选）（2021-2022学年福建省武平县第一中学高一10月月考）如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是（       ）

A．该质点的运动周期为0.7 s

B．该质点的振幅为5

C．该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度为零

D．该质点的运动周期为0.8 s

5.（多选）（2021-2022学年江西省高一下学期期中调研）如图，一圆形摩天轮的直径为100米，圆心O到水平地面的距离为60米，最上端的点记为Q，现在摩天轮开始逆时针方向匀速转动，30分钟转一圈，以摩天轮的中心为原点建立平面直角坐标系，则下列说法正确的是（       ）

A．点Q距离水平地面的高度与时间的函数为

B．点Q距离水平地面的高度与时间的函数的对称中心坐标为

C．经过10分钟点Q距离地面35米

D．摩天轮从开始转动一圈，点Q距离水平地面的高度不超过85米的时间为20分钟

6.（2021-2022学年北京市中国人民大学附属中学高一下学期期中）为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的平面直角坐标系，设秒针针尖的位置为，若初始位置为，当秒针针尖从（注：此时）正常开始走时，点的纵坐标与时间的函数关系式为__________.

7.（2021-2022学年广东省顺德区德胜学校高一下学期期中）如图为一个公路隧道，隧道口截面为正弦曲线，已知隧道跨径为8.4m，最高点离地面4.5m．

(1)若设正弦曲线的左端为原点，试求出该正弦曲线的函数解析式；

(2)如果路面宽度为4.2m，试求出公路边缘距隧道顶端的高度．

8.（2021-2022学年北京市中关村中学高一下学期期中）2022年4月25日，北京市的温度（单位：）随时间（单位：小时）的变化近似满足函数关系：，，其中，，.从气象台得知：北京市2022年4月25日当天最高气温出现在下午14时，最高气温为29摄氏度，最低气温出现在凌晨2时，最低气温为17摄氏度.

(1)求函数的表达式；

(2)北京市海淀区一罗森便利店为了节省开支，规定在环境温度大于等于26时，开启中央空调降温，否则关闭中央空调，问2022年4月25日当天中央空调应在何时开启？何时关闭？

       【过关检测】

1.（2021-2022学年浙江省浙南名校联盟高一下学期返校考） 小明给学校设计数学文化长廊，计划将长廊的顶部遮雨棚设计成如图所示横截面为正弦曲线的形状（雨棚的厚度忽略不计），已知入口高度AB和出口处高度CD均为H，为使参观者行走方便，要求雨棚的最低点到地面的距离不小于雨棚的最高点到地面距离的，则雨棚横截面正弦曲线振幅的最大值为（        ）

A． B． C． D．

2.（2021-2022学年广西桂林市第十九中学高一下学期期中）已知P是半径为的圆形砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置开始，按逆时针方向做圆周运动，角速度为．如图，以砂轮圆心为原点，建立平面直角坐标系，若，则点P的纵坐标关于时间（单位：）的函数关系式为（       ）

A． B．

C． D．

3.（2021-2022学年辽宁省沈阳市同泽高级中学高一下学期4月月考）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车的半径为2m，筒车的轴心O到水面的距离为1m，筒车每分钟按逆时针转动2圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，设盛水筒M从运动到点P时所用时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m）.若以筒车的轴心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系（如图2），则h与t的函数关系式为（       ）

A．， B．，

C．， D．，

4．（多选）血压（bloodpressure，BP）是指血液在血管内流动时作用于单位面积血管壁的侧压力，它是推动血液在血管内流动的动力，血压的最大值､最小值分别称为收缩压和舒张压.未使用抗高血压药的前提下，18岁以上成人收缩压或舒张压，则说明这位成人有高血压，设从未使用抗高血压药的李华今年40岁，从某天早晨6点开始计算（即早晨6点时，），他的血压（）与经过的时间（）满足关系式，则（       ）

A．函数的最小正周期为6 B．当天早晨7点时李华的血压为

C．当天李华有高血压 D．当天李华的收缩压与舒张压之差为

5.（多选）声音是由物体振动产生的声波.我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数.音有四要素：音调､响度､音长和音色.它们都与函数及其参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖锐；我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音.我们听到的声音对应的函数是结合上述材料及所学知识，下列说法错误的是（       ）

A．函数不具有奇偶性

B．函数在区间上单调递增

C．若某声音甲的对应函数近似为，则声音甲的响度一定比纯音响度小

D．若某声音乙的对应函数近似为，则声音乙一定比纯音更低沉

6.（2021-2022学年天津市南开中学高一上学期期末）天津之眼，全称天津永乐桥摩天轮，是世界上唯一一个桥上瞰景的摩天轮．如图，已知天津之眼的半径是55m，最高点距离地面的高度为120m，开启后按逆时针方向匀速转动，每30转动一圈．喜欢拍照的南鸢同学想坐在天津之眼上拍海河的景色，她在距离地面最近的舱位进舱．已知在距离地面超过92.5m的高度可以拍到最美的景色，则在天津之眼转动一圈的过程中，南鸢同学可以拍到最美景色的时间是_________分钟．

7.已知南北回归线的纬度为，设地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射纬度，为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是.当地夏半年取正值，冬半年取负值，如果在北半球某地（纬度为）的一幢高为的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离应不小于______（结果用含有和的式子表示）.

8．（2020-2021学年辽宁省大连市第二十四中学高一下学期期中）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时刻与水深值（单位：）记录表：

经过长期观测，这个港口的水深与时间的关系，可以近似用函数来描述．

(1)根据以上数据，求出时，函数的表达式；

(2)一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为，安全条例规定至少要有的安全间隙（船底与海底的距离），问该船在一天内（）何时能进入港口？

9.（2021-2022学年山东省潍坊市安丘、高密、诸城高一下学期5月期中）我国明朝科学家宋应星所著《天工开物》中记载了水车，水车是古代中国劳动人民发明的灌溉工具，体现了中华民族的创造力．如图是水车示意图，其半径为6m，中心O距水面3m，一水斗从水面处的点处出发，逆时针匀速旋转，80s转动一周，经t秒后，水斗旋转到点P处，此时水斗距离水面高度为h．

(1)以O为坐标原点，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P距离水面的高度h（单位：m）表示为时间t（单位：s）的函数；

(2)此水斗经过多长时间后再次到达水面？在旋转一周的过程中，水斗位于水下的时间是多少？

10.（2021-2022学年北京师范大学附属实验中学高一下学期期中）某游乐场的摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1～12（可视为点），现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t分钟．

(1)当时，求1号座舱与地面的距离；

(2)在前24分钟内，求1号座舱与地面的距离为17米时t的值；

(3)记1号座舱与5号座舱高度之差的绝对值为H米，若在这段时间内，H恰有三次取得最大值，求的取值范围．