2021-2022学年江苏省无锡市江阴市华士片八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年江苏省无锡市江阴市华士片八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 今年某校有名学生参加线上学习，为了解这些学生的数学成绩，从中抽取名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是(    )

A. 名学生是总体 B. 每名学生的数学成绩是个体
C. 名学生是样本 D. 名学生是样本容量

2. 分式有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 下列说法中，正确的是(    )

A. 某种彩票中奖概率为是指买十张一定有一张中奖
B. “打开电视，正在播放最强大脑节目”是必然事件
C. 神舟飞船发射前需要对零部件进行抽样调查
D. 了解某种炮弹杀伤半径适合抽样调查

5. 把分式中的、都扩大到原来的倍，则分式的值(    )

A. 扩大到原来的倍 B. 扩大到原来的倍
C. 缩小到原来的 D. 不变

6. 在一次抛掷一枚质地均匀的正方体骰子实验中，甲同学连续抛掷了次，其中出现点朝上的有次，则抛掷这样的骰子点朝上的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是(    )

A. 矩形 B. 等腰梯形
C. 对角线相等的四边形 D. 对角线互相垂直的四边形

8. 已知关于的方程的解是正数，那么的取值范围为(    )

A. 且 B.
C. 且 D. 且

9. 如图，在▱中，，，于，为中点，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在矩形中，，，点在上且，点在上且，点为边上的一个动点，为的中点，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共17分）

11. 若分式的值为，则的值等于______．
12. 要使式子有意义，则可取的一个数是______ ．
13. 给出下列个分式：，，，它们的最简公分母为______．
14. 在一个不透明的盒子里，装有个黑球和若干个白球，它们除颜色外都相同．搅匀后从中任意摸出一个球，记下颜色再把它放回盒子中．不断重复实验，统计结果表示，随着实验次数越来越大，摸到黑球的频率逐渐稳定在左右．则据此估计盒子中大约有白球______个．
15. 如图，在▱中，平分交边于点，，，则▱的周长是______．

16. 如图，在▱中，，将▱绕顶点顺时针旋转到▱，当首次经过顶点时，旋转角______．

17. 如图，在正方形中，对角线与相交于点，，点在的延长线上，且，于点，连接并延长交于点，则______．

18. 如图，在中，，，为上一动点，连接，以，为邻边作▱，连接，则长的最小值为______．

三、解答题（本大题共9小题，共76分）

19. 计算；
    解方程．
20. 先化简再求值：，其中．
21. 学习了统计知识后，小刚就本班同学的上学方式进行了一次调查统计．图和图是他通过采集数据后，绘制的两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息，解答以下问题：
    求该班共有多少名学生？
    在图中，将表示“步行”的部分补充完整；
    在扇形统计图中，计算出“骑车”部分所对应的圆心角的度数；
    如果全年级共名同学，请你估算全年级步行上学的学生人数．
     

22. 矩形中，、分别是、的中点，、分别交于、两点．
    求证：四边形是平行四边形；
    ．
     

23. 如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，点，在上，，．
    求证：四边形是矩形；
    若，，求和的长．

24. 按要求作图．
    
    如图，在平行四边形中，为对角线，，是的中线，
    在取一点使得；
    画出的高仅使用无刻度的直尺画图．
    如图，四边形是平行四边形，画线段，使得平分，并且点在上用直尺和圆规画图．
25. 小华和小芳约定周末到某体育公园打羽毛球他们两家到体育公园的距离分别是米、米，小芳骑自行车的平均速度是小华步行平均速度的倍，若二人同时到达，则小华需提前分钟出发问小芳平均每分钟骑行多少米？
26. 如图，在矩形中，，，为边上一点，，连接动点、从点同时出发，点以的速度沿向终点运动；点以的速度沿折线向终点运动．设点运动的时间为，在运动过程中，点，点经过的路线与线段围成的图形面积为
    ______，______；
    求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
    当时，直接写出的值．
     

27. 已知，在矩形中，，．
    以点为坐标原点，将矩形放在平面直角坐标系中，点、分别在轴、轴上如图，沿对角线折叠该矩形，点落在点处，交轴于点，求过点并将矩形面积平分的直线所对应的一次函数表达式；
    以对角线为边长作正方形，并将该正方形绕点旋转，记作正方形如图，交边于点，、分别交、的延长线于点、．
    求证：；
    正方形在旋转过程中，当点对应的点恰好落在线段的上时，求线段的长．旋转角
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、名学生的数学成绩是总体，故选项不合题意；
B、每位学生的数学成绩是个体，故选项符合题意；
C、这名学生的数学成绩是总体的一个样本，故选项不合题意；
D、样本容量是，故选项不合题意；
故选：．
总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．
本题主要考查了总体、个体、样本和样本容量的定义，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本的区别，关键是明确考查对象的范围．样本容量只是个数字，没有单位．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
．
故选：．
本题主要考查分式有意义的条件：分母，即，解得的取值范围．
本题考查的是分式有意义的条件：当分母不为时，分式有意义．
 

3.【答案】 

【解析】解：、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
B、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；
D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项正确；
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

4.【答案】 

【解析】解：、某种彩票中奖概率为是指买十张可能中奖，也可能不中奖，故A选项错误；
B、“打开电视，正在播放最强大脑节目”是随机事件，故B选项错误；
C、神舟飞船发射前需要对零部件进行全面调查，故C选项错误；
D、了解某种炮弹杀伤半径适合抽样调查，故D选项正确；
故选：．
必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．不易采集到数据的调查要采用抽样调查的方式，据此判断即可．
本题考查了调查的方式和事件的分类．不易采集到数据的调查要采用抽样调查的方式；必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

5.【答案】 

【解析】解：把分式中的、都扩大到原来的倍为：
，
分式的值缩小为原来的，
故选：．
根据题意得出算式，再根据分式的基本性质化简，即可得出答案．
本题考查了分式的基本性质的应用，解此题的关键是能列出算式和能根据分式的基本性质进行化简，难度适中．
 

6.【答案】 

【解析】解：抛掷这样的骰子点朝上的概率是；
故选：．
每次抛掷有种可能的结果，抛掷这样的骰子点朝上的只有一种结果，根据概率公式即可得出答案．
本题主要考查了古典概型中的等可能事件的概率的求解，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，根据题意得：四边形是菱形，点，，，分别是边，，，的中点，
，，，
．
原四边形一定是对角线相等的四边形．
故选：．
首先根据题意画出图形，由四边形是菱形，点，，，分别是边，，，的中点，利用三角形中位线的性质与菱形的性质，即可判定原四边形一定是对角线相等的四边形．
此题考查了菱形的性质与三角形中位线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
方程两边同时乘，得，
去括号得，，
解得，
方程的解是正数，
，
，
，
，
故选：．
先解分式方程得，再由题意可得，，求出的范围即可．
本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，切勿遗漏增根的情况是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：取的中点，连接、，如图，

四边形为平行四边形，
，，
，
为的中点，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形为平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
取的中点，连接、，如图，先根据直角三角形斜边上的中线性质得到，则，则，所以，接着利用平角的定义可得的大小．
本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，直角三角形斜边中线的性质，也考查了等腰三角形的性质．
 

10.【答案】 

【解析】解：作点关于的对称点，连接，交于点，连接，

，，
，
，
是的中点，
是的中点，
，
，
此时取得最小值．
，
，
在中，，
的最小值为．
故选：．
作点关于的对称点，连接，交于点，连接，此时的值最小，根据已知条件可得，进而可得，在中，由勾股定理可求的长，即可得出答案．
本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法及三角形中位线的性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意，得且．
解得：．
故答案是：．
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
此题主要考查了分式的值为零的条件，注意：“分母不为零”这个条件不能少．
 

12.【答案】答案不唯一 

【解析】解：要使式子有意义，必须，
解得：，
所以可取的一个数是，
故答案为：答案不唯一．
根据二次根式有意义的条件得出，再求出不等式的解集，最后求出答案即可．
本题考查了二次根式有意义的条件和解一元一次不等式，注意：式子中．
 

13.【答案】 

【解析】解：分式，，的分母分别是、，，故最简公分母是；
故答案为．
确定最简公分母的方法是：
取各分母系数的最小公倍数；
凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
本题考查了最简公分母的定义及求法．通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．一般方法：如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母或含字母的整式为底数的幂的因式都要取最高次幂．
 

14.【答案】 

【解析】解：设盒子中大约有白球个，根据题意得：，
解得：，
答：估计盒子中大约有白球个．
故答案为：．
设盒子中大约有白球个，根据“黑球数量黑白球总数黑球所占比例”来列等量关系式，其中“黑白球总数黑球个数白球个数“，“黑球所占比例随机摸到的黑球次数总共摸球的次数”．
本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．关键是根据白球和黑球的比得到相应的关系式．
 

15.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，平分，
，，，，
，
，
，
，
，
▱的周长，
故答案为：．
由平行四边形的性质和角平分线的性质求出的长，即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：▱绕顶点顺时针旋转到▱，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
由旋转的性质可知：▱全等于▱，所以，所以，又因为旋转角，根据等腰三角形的性质计算即可．
本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理，解题的关键是证明三角形是等腰三角形．
 

17.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，，，，
，，，
≌，
，，，
，
，，
，
，
∽，
，
，
，
故答案为：，
由正方形的性质可得，，，，由“”可证≌，可得，，，通过证明∽，可得，可得结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于，过点作于，

，，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
当时，有最小值，
．
故答案为：．
由等腰三角形的性质可得，由勾股定理可求，由面积法可求的长，由垂线段最短和平行线之间的距离相等可求解．
本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，求出的长是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式
；
去分母得到：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为． 

【解析】原式利用负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及二次根式性质计算即可求出值；
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，实数的运算，以及负整数整数解，熟练掌握分式方程的解法及运算法则是解本题的关键．
 

20.【答案】解：原式


，
，
原式． 

【解析】根据运算顺序，先算乘除，再算加减即可．
本题考查了分式的化简求值，掌握分式的约分、通分是解题的关键．
 

21.【答案】解：人；
如图所示；
圆心角度数；
估计该年级步行人数． 

【解析】从两图中可以看出乘车的有人，占了，所以共有学生人；
总人数减乘车的和骑车的就是步行的，根据数据画直方图就可；
要求扇形的度数就要先求出骑车的占的百分比，然后再求度数；
用这人作为样本去估计该年级的步行人数．
本题是一道利用统计知识解答实际问题的重点考题，计算量略大，难度中等．主要考查利用统计图表，处理数据的能力和利用样本估计总体的思想．解答这类题目，观察图表要细致，对应的图例及其关系不能错位，计算要认真准确．
 

22.【答案】证明：四边形是矩形，
，，
、分别是、的中点，
，，
，
四边形是平行四边形；
解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
在和中
，
≌，
． 

【解析】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判断和性质以及全等三角形的判断和性质，熟记矩形的各种性质是解题的关键．
根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；
可证明和所在的、全等即可．
 

23.【答案】证明：四边形为菱形，
，
点为中点，
为的中位线，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，
平行四边形为矩形；
解：四边形是菱形，
，，，
点为的中点，，
，
由可知，四边形是矩形，
，，，
，
． 

【解析】证为的中位线，则，再证四边形为平行四边形，然后证，即可得出结论；
根据菱形的性质得到，，，根据点为的中点，，得到，根据矩形的性质得到，，，根据勾股定理得到，于是得到．
本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质、菱形的性质是解题的关键，属于中考常考题型．
 

24.【答案】解：如图，点为所作；
如图，为所作；

如图，点为所作．
 

【解析】连接交于点，则，则为的中位线，所以，延长交于，则满足条件；
交于点，则点为的三条中线的交点，所以延长交于，为边上的中线，因为，根据等腰三角形的性质得到；
以点为圆心，为半径画弧交于点，则，再利用，则，所以，即平分．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的性质和等腰三角形的性质．
 

25.【答案】解：设小华的速度是米分钟，则小芳骑自行车的速度是米分钟，根据题意可得：
，
解得：，
经检验得：是原方程的根，故，
答：小芳平均每分钟骑行米． 

【解析】直接利用小芳骑自行车的平均速度是小华步行平均速度的倍，若二人同时到达，则小华需提前分钟出发，进而得出等式求出答案．
此题主要考查了分式方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．
 

26.【答案】；；
分三种情况讨论：
当时，如图，过点作，

，，
，
；
当时，如图，过点作，连接，

，，
，
；
当时，如图，点与点重合．

，
．
分情况讨论：
当时，

，，
，
，
，
；
当时，过点作

易得四边形是矩形
，，
，
，


，，
此时无解；
当时，

，
，
或舍；
综上所述：当时，或． 

【解析】

【分析】
由勾股定理可求的长，由等腰直角三角形的性质可求的度数；
分三种情况讨论，由面积和差关系可求解相应函数关系式；
分三种情况讨论，由勾股定理可求解．
本题是四边形综合题，考查了函数关系式，矩形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
【解答】
解：，，
，


故答案为：，
见答案．  

27.【答案】解：作对角线的中点，则直线即为将矩形面积平分的直线，如图：

在矩形中，，，
，
，
沿对角线折叠该矩形，点落在点处，
，
，
，
，
，
设，则，，
中，，
，
解得，
，
设解析式为，
则，解得，
解析式为，
过点并将矩形面积平分的直线所对应的一次函数表达式为；
过作交于，交于，如图：

四边形是正方形，
，，，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
；
过点作于点，连接，

，，
，
，
，
，
，
． 

【解析】设，则，，由勾股定理得出，解得，求出，可由待定系数法求出答案；
过作交于，交于，证明≌，由全等三角形的性质得出，则可得出结论；
过点作于点，连接，由勾股定理可求出答案．
此题是一次函数综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，待定系数法，全等三角形的判定与性质，解决此题目关键是要掌握旋转的性质，正确画出图形．