甘肃省兰州市第一中学2022届高三上学期第一次月考(10月)数学(理)试题 PDF版含答案
展开兰州一中2021-2022-1学期高三年级10月份月考试题
数 学 (理科)
说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分,考试时间120分钟.答案写在答题卡上,交卷时只交答题卡.
第Ⅰ卷(选择题,共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,则集合A的真子集个数为( )
A.16 B.15 C.8 D.7
【答案】D
2.命题“,都有”的否定是( )
A.“,都有” B.“,都有”
C.“,都有” D.“,都有”
【答案】C
3.设,,则( )
A.且 B.且
C.且 D.且
【答案】A
4.已知函数,则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
【答案】C
5.欧拉公式(是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里非常重要,被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知,表示的复数位于复平面中的( )
A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限
【答案】A
6.函数的图象为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
7.从全体三位正整数中任取一数,则此数以2为底的对数也是正整数的概率为( )
A. B. C. D.以上全不对
【答案】B
8.函数的零点所在的一个区间是( )
A. B. C. D.
【答案】C
9.在ABC中,已知D是AB边上一点,若,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
10.设函数,则使得成立的的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
11.在ABC中,,,且,,则点P的轨迹一定通过ABC的( )
A.重心 B.内心 C.外心 D.垂心
【答案】A
12.已知函数,若函数有4个零点,则m的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】D
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为2∶3∶4,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为54的样本,则应从高三年级抽取_______名学生.
【答案】24
14.已知函数在[1,2]上为增函数,求实数的取值范围__________.
【答案】
15.奇函数的定义域为,若为偶函数,且,则 .
【答案】1
16. 函数的对称中心是___________.
【答案】
三、解答题(共70分.答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答,每道试题各12分.第22、23为选考题,10分,考生根据要求选一道作答.)
17.(本小题12分)
函数的部分图象如图所示,
(Ⅰ)求函数的解析式;
(Ⅱ)已知数列满足,且是与的等差中
项,求的通项公式.
解析:(Ⅰ)由图象可知A=2,,
从而ω=2. 又当时,函数f(x)取得最大值,
故(k∈Z),
∵0<φ<π,∴φ=,∴,
(Ⅱ)由已知数列中有:
设递推公式可以转化为
即.故递推公式为,
令,则,且.
所以是以为首项,2为公比的等比数列,则,所以.
18.(本小题12分)
如图,在三棱锥中,平面ABC,,,点E,F分别是AB,AD的中点.
(1)求证:平面BCD;
(2)设,求直线AD与平面CEF所成角的正弦值
【解析】(1)证明:因为平面ABC,平面ABC,
所以,因为,所以,因为,
所以平面BCD;
(2)因为平面ABC,平面ABC,所以,
所以两两垂直,所以以为原点,分别以为轴建立空间直角坐标系,如图所示,则,则,
因为点E,F分别是AB,AD的中点,所以,
所以,
设平面的一个法向量为,则,令,则,
直线AD与平面CEF所成角为,则 ,
所以直线AD与平面CEF所成角的正弦值为
19.(本小题12分)
已知抛物线:,坐标原点为,焦点为,直线:.
(1)若与只有一个公共点,求的值;
(2)过点作斜率为的直线交抛物线于、两点,求的面积.
【解析】(1)依题意消去得,即,
①当时,显然方程只有一个解,满足条件;
②当时,,解得,
综上可得:当或时直线与抛物线只有一个交点;
(2)抛物线:,所以其焦点为,设,,
所以直线方程为,则,消去得 ,则,
所以
所以
20.(本小题12分)
现有4个人去参加娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏.
(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率;
(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率;
(3)用X,Y分别表示这4个人中去参加甲,乙游戏的人数,记ξ=|X-Y|,求随机变量ξ的分布列与数学期望E(ξ).
【解析】依题意,这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为,去参加乙游戏的概率为,
设“这4个人恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai(i=0,1,2,3,4),则P(Ai)=C·.
(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率P(A2)=C=.
(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B,则B=A3∪A4,
由于A3与A4互斥,故P(B)=P(A3)+P(A4)=C·+C=,所以这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为.
(3)ξ 的所有可能取值为0,2,4,由于A1与A3互斥,A0与A4互斥,故P(ξ=0)=P(A2)=,P(ξ=2)=P(A1)+P(A3)=,P(ξ=4)=P(A0)+P(A4)=.
所以ξ的分布列是
ξ | 0 | 2 | 4 |
P |
∴随机变量ξ的数学期望E(ξ)=0×+2×+4×=.
21.(本小题12分)
已知函数.
(1)若函数的图象在处的切线过点,求实数的值;
(2),,,求实数的取值范围.
【解析】(1)由题意,
所以,,
所以函数的图象在处的切线为,
由切线过点,代入得,,解得.
(2)不妨设,若,
则即,
令,则在递减,
∴即在上恒成立,
设,则,
再设,函数单调递增,∴,
∴,在上单调递减,∴,
∴的取值范围是.
22.(本小题10分)
已知斜率为1的直线过点,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为,直线和曲线的交点为A,.
(1)求曲线的直角坐标方程:
(2)求的值.
【解析】(1)因为,所以
因为,代入可得曲线的直角坐标方程为:
(2)直线的参数方程为(t为参数),
将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程可得,
整理可得,
设点A、B所对应的参数分别为,所以,
所以
23.(本小题10分)
已知函数.
(1)求不等式的解集;
(2)若存在,使得,求实数的取值范围.
【解析】(1)由题可得,
因为,所以或或,
即,或,或,所以,或,
所以不等式的解集为.
(2)因为存在,使得,所以,
由(1)可知,作出函数的图象,如下图所示,
由函数的图象可知,所以,所以实数的取值范围为.
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