2021-2022学年甘肃省高台县第一中学高二下学期3月月考数学（理）试题（解析版）

这是一份2021-2022学年甘肃省高台县第一中学高二下学期3月月考数学（理）试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年甘肃省高台县第一中学高二下学期3月月考数学（理）试题一、单选题1．设复数（为虚数单位），则（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】应用复数的乘法求，再根据共轭复数的定义写出即可.【详解】由，则.故选：A2．设是可导函数，当，则（       ）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】由导数的定义可得，即可得答案．【详解】根据题意，，故.故选：C3．已知函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（       ）A．是函数的极大值点B．函数在区间上单调递增C．是函数的最小值点D．曲线在处切线的斜率小于零【答案】B【分析】根据导函数的图象，得到函数的单调区间与极值点，即可判断；【详解】解：由导函数的图象可知，当时，当时，当时，当或时，则在上单调递增，在上单调递减，所以函数在处取得极小值即最小值，所以是函数的极小值点与最小值点，因为，所以曲线在处切线的斜率大于零，故选：B4．直线是曲线的一条切线，则实数b=（       ）A．-1或1 B．-1或3 C．-1 D．3【答案】B【分析】利用导数求得切点坐标，进而求得的值.【详解】令，解得，故切点为或，而，所以或.故选：B5．定积分（       ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】利用微积分基本定理即可求解.【详解】.故选：C6．若函数满足，则的值为（       ）．A．1 B．2 C．0 D．【答案】C【解析】求导得到，取带入计算得到答案.【详解】，则，则，故.故选：C.【点睛】本题考查了求导数值，意在考查学生的计算能力和应用能力.7．已知函数，则的单调递减区间是（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用导数研究的单调递减区间.【详解】由题设，，又定义域为，令，则，解得，故，∴在上递减.故选：B.8．用总长的钢条制作一个长方体容器的框架，若容器底面的长比宽多，要使它的容积最大，则容器底面的宽为（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】将容器容积表示成底面宽的函数关系，然后利用导数求此函数的最值，由此即可求出结果．【详解】设容器底面宽为米，则另长为米，由总长，所以高为米．由，得，设容器的容积为，则有．整理，得，所以．令，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取最大值，此时宽.故选：C．9．已知函数，，若在单调递增，a的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据函数的单调性，则导数在对应区间恒成立，分离参数，构造函数，利用导数求其最值，即可求得参数的范围.【详解】因为在单调递增，故在区间恒成立，即，令则，故在单调递增，则，故，的取值范围为.故选：B.10．若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围为（     ）A． B．C． D．【答案】D【分析】求得，根据在区间上存在最小值，得到且，，设，根据且，列出不等式组，即可求解.【详解】由函数，可得，且在区间上存在最小值，即在区间上存在，使得且，，设，即满足，且，可得，解得，即实数的取值范围是.故选：D.11．已知的定义域为，为的导函数，且满足，则不等式的解集是（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，构造函数，结合函数的单调性解不等式，即可求解.【详解】根据题意，构造函数，，则，所以函数的图象在上单调递减.又因为，所以，所以，解得或（舍）.所以不等式的解集是.故选：B.12．若函数恰有三个极值点，则的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】对函数求导，可得，可知当时函数有一个极值点，故当时有两个极值点，即有两解，分离参数可转化为两个函数有两个公共点，结合函数图像即可得出的取值范围.【详解】解：由题意可知，可知当时函数有一个极值点，故当时有两个极值点，由得，，令，则与直线有两个公共点，，函数在单调递增，在单调递减，图像如图所示，，故，即，故选：D.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．二、填空题13．由抛物线，直线及轴围成的图形的面积为___________【答案】【分析】画出由抛物线，直线及轴围成的图形，面积可用定积分表示为：，计算即得解【详解】由题意，由抛物线，直线及轴围成的图形如下图阴影部分所示：可用定积分表示为：故答案为：1【点睛】本题考查了定积分在曲边梯形面积表示中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题14．曲线在点(0，1)处的切线方程为________．【答案】【分析】对函数求导，将代入可得切线斜率，进而得到切线方程．【详解】解：，切线的斜率为则切线方程为，即故答案为：15．若函数f(x)＝2x3－ax2＋1(a∈R)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f(x)在[－1，1]上的最小值为________.【答案】-4【分析】求导，分， 两种情况，根据在上有一个零点，求得a，再利用导数法求其最小值.【详解】因为函数f(x)＝2x3－ax2＋1(a∈R)，所以，当时，，则在上递增，又，所以在上无零点；当时，，当时，，当时，，因为在上有一个零点，所以，解得，则，，当时，，当时，，又，，所以f(x)在[－1，1]上的最小值为-4，故答案为：-416．若为定义在上的连续不断的函数，满足，且当时，.若，则的取值范围___________.【答案】.【分析】构造函数，可得为奇函数，又，得在上是减函数，从而在上是减函数，在根据函数的奇偶性和单调性即可求解.【详解】，，设，则，为奇函数，又，在上是减函数，从而在上是减函数，又，等价于，即，，解得，故答案为：.三、解答题17．已知函数．（1）求函数在上的最大值和最小值．（2）过点作曲线的切线，求此切线的方程．【答案】（1）的最小值是，的最大值是；（2）或【分析】（1）利用导数，通过导数的符号判断原函数的单调性，然后根据单调性进行求最值，可得结果.（2）假设切点，根据曲线在某点处导数的几何意义，可得切线的斜率，然后利用点斜式求出切线方程，最后代点求值，可得结果.【详解】（1），，令，解得：或，令，解得：，故在递增，在递减，而，，，的最小值是，的最大值是；（2），设切点坐标为，则切线方程为，∵切线过点，∴，化简得，∴或．∴切线的方程：或．【点睛】本题考查利用导数求函数在区间的最值，以及过某点曲线的切线方程，理解曲线在某点处导数的几何意义，属基础题.18．已知函数，讨论的单调性．【答案】答案见解析【分析】由，求导得到  ，再分，，由，求解.【详解】解：   ，   ， 当时，，函数在上单调递增当时，当时，，当时，，在上单调递增，在上单调递减．综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．19．设函数的导数满足，.(1)求的单调区间；(2)在区间上的最大值为，求的值.(3)若函数的图象与轴有三个交点，求的范围.【答案】(1)递增区间为，递减区间为，(2)(3)【分析】（1）求函数的导数，根据条件建立方程组关系求出，的值，结合函数单调性和导数之间的关系即可求的单调区间；（2）利用导数求出函数在区间上的最大值，建立方程关系即可求的值.（3）根据的单调性求得极值，令极大值大于，极小值小于，解不等式即可求的范围.【详解】(1)由可得，因为，，所以，解得：，，所以，，由即可得：，由即可得：或，所以的单调递增区间为，单减区间为和.(2)由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得极小值，，，则在区间上的最大值为，所以.(3)由（1）知当时，取得极小值，当时，取得极大值，若函数的图象与轴有三个交点，则得，解得，即的范围是.20．已知函数，其中，e为自然对数的底数.(1)求函数的最小值；(2)若函数在区间上有两个零点，求a的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用导数求出函数的单调性，即得解；（2）对分三种情况讨论分析函数的图象即得解.【详解】(1)解：∵，∴.令，得；令，得.∴在上单调递减，在上单调递增.∴.(2)解：由（1）知，①当时，在区间上单调递增，此时在区间不可能有两个零点；②当时，在区间上单调递减，此时在区间不可能有两个零点；③当，即时，在区间上单调递减，在上单调递增，又，∴，∴当，即时，在区间上有一个零点.∴当时，在区间上有两个零点.21．在长方体中，E，F分别是棱BC，CC1上的点，CF=AB=2CE，AB∶AD：AA1=1∶2∶4(1)求异面直线EF，A1D所成角的余弦值；(2)证明∶AF⊥平面；(3)求二面角A-ED-F正弦值.【答案】(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）利用空间向量求两直线的余弦值.（2）利用AF与平面内的两条向量乘积为0即可证明.（3）利用二面角的向量求法求出夹角的余弦值，然后求出正弦值.【详解】(1)如图所示：建立空间直角坐标系，以A点为原点，AB方向为轴，AD方向为轴，方向为轴，设，依据题意可知，，，，设异面直线和所成角为，则，所以异面直线和所成角的余弦值为 (2)证明：连接ED，易知，，于是，因此：，又，所以平面(3)设平面的一个法向量为则，即不妨令，可得.为平面的一个法向量，故二面角A-ED-F正弦值为22．已知函数，若在上的最小值记为.（1）求；（2）证明：当时，恒有.【答案】（1）；（2）详见解析.【详解】试题分析：（1）因为，对实数分类讨论，①，②，分别用导数法求函数单调区间，从而确定的值，再用分段函数表示；（2）构造函数，对实数分类讨论，①，②，分别用导数法求函数单调区间，从而确定的最大值，即可证明当时恒有成立.（1）因为，①当时，若，则，，故在上是减函数；若，则，，故在上是增函数；所以，.②当，则，，，故在上是减函数，所以，综上所述，.（2）令，①当时，，若，得，所以在上是增函数，所以在上的最大值是，且，所以，故.若，，则，所以在上是减函数，所以在上的最大值是，令，则，所以在上是增函数，所以即，故，②当时，，所以，得，此时在上是减函数，因此在上的最大值是，故，综上所述，当时恒有.【解析】函数最大（最小）值的概念，利用导数研究函数的单调性.23．已知函数.(1)当时，求在上的极值点的个数；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)存在唯一的极值点(2)【分析】（1）将问题转化为导函数在定义域内的零点个数问题，根据导函数的单调性，结合零点存在性定理可解；（2）参变分离，将恒成立问题转化为函数最值问题，然后利用导数讨论可得.【详解】(1)当 ，令 ，易知在上单调递增，，所以 在有唯一零点，即在有唯一零点，所以当时，，时所以在上存在唯一的极值点；(2)由条件整理得：对 恒成立， 令 ， 令 在上有唯一零点，且，所以当时，，时， ， 得 ，令，易知在单增，故，得， .【点睛】本题第二问属于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.