2023年高考数学必刷压轴题专题10一元函数的导数及其应用（利用导数研究双变量问题）（全题型压轴题）含解析

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 专题10 一元函数的导数及其应用
（利用导数研究双变量问题）（全题型压轴题）
利用导数研究双变量问题
①型
②型（或型）
③变更主元法
④构造函数法

①型
1．（2022·湖北省广水市实验高级中学高一阶段练习）已知函数，
(1)若函数在区间上存在零点，求实数a的取值范围；
(2)若对任意的，总存在，使得成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(1)
的图象开口向上，对称轴为，所以函数在上单调递减.因为函数在区间上存在零点，所以，解得，即实数a的取值范围为.
(2)
记函数，的值域为集合A，，的值域为集合B.则对任意的，总存在，使得成立.
因为的图象开口向上，对称轴为，所以当，，得.
当时，的值域为，显然不满足题意；
当时，的值域为，因为，所以，解得；
当时，的值域为，因为，所以，解得.
综上，实数a的取值范围为
2．（2022·福建·厦门一中高一期末）已知函数.
（1）当时，求在上的值域；
（2）当时，已知，若有，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）当，
令，设，，
函数在上单调递增，，
的值域为.
（2）设的值域为集合的值域为集合根据题意可得，
，
令，，，
函数在上单调递增，且，
，
又，所以在上单调递增，
，，
由得，
的取值范围是.
【点睛】本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，且.
（1）求实数m的值，并求函数的值域；
（2）函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1），值域为；（2）或.
【详解】（1）由，得，即.
∴在上递减，在上递增，且，.
∴值域为.
（2）对于任意，总存在，使得成立，则的值域是值域的子集；
依题意知，，
当时，，即.
∴，解得.
当时，，即.
∴，解得.
故或.
【点睛】结论点睛：本题考查特殊函数的应用以及由命题成立确定集合包含关系：
（1）特殊函数：图像在一、四象限，在第一象限以为界先减后增；
（2）若使，则值域包含于的值域 .
4．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，且.
（1）判断并证明在区间上的单调性；
（2）若函数与函数在上有相同的值域，求的值；
（3）函数，若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【详解】（1）在区间上为减函数.任取，，由于,，，所以，所以在上递减.
（2）因为在上递减，所以其值域为，即时，.因为为最大值，所以最小值只能为或.若，则.若，则.综上所述，.
（3）当，时，在上递减，所以在上的最大值为，最小值为.由（2）知在上的值域为.所以，所以，解得.
5．（2022·重庆·高二阶段练习）已知函数是常数），此函数对应的曲线在点处的切线与轴平行
(1)求的值，并求出的最大值；
(2)设，函数，若对任意的，总存在，使
求m的取值范围
【答案】(1),
(2)
（1）
对求导，得，
由题意可得，，
解得，
所以，
定义域为，且，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，有极大值，也为最大值且.
（2）
设的值域为的值域为,
由题意“对于任意的，总存在使得”，
等价于，
由（1）知，
因为，所以，故在上单调递减，
所以，
即，
所以，
因为，
所以，
因为，故，
所以在上是增函数，
所以，
即，
故
由，得，
解得，
所以实数的取值范围是.
【关键点点睛】解第二问的关键是准确理解题意，将问题转化为两个函数值域的问题求解是解题的关键．对于此类问题，还要注意以下的结论：
①
②；
③；
④；
⑤．
当函数的最值不存在时可用值域的端点值代替．
6．（2022·全国·高二课时练习）已知函数函数，若存在及，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】
【详解】由题意，
当时，，
当时，，，恒成立，
所以在上单调递增，所以，
所以函数在上的值域为，
的值域为，
并且．
若，即或，
解得或，
所以，若，的取值范围是．
②型（或型）
1．（2022·全国·高二单元测试）已知函数，．若对任意，，都有恒成立，则实数a的取值范围为__________．
【答案】
【详解】，
所以在区间递减；在区间递增.
所以在区间上，的极小值也即是最小值为.
二次函数的开口向下，对称轴为，
所以当时，取得最大值为，
由于对任意，，都有恒成立，
所以，即的取值范围是.
故答案为：
2．（2022·上海市洋泾中学高二阶段练习）已知，定义：表示不小于的最小整数，例如：，．
(1)若，求实数的取值范围：
(2)若，且，求实数的取值范围；
(3)设，，若对于任意的，，都有，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
（1）
由定义可得，实数的取值范围为；
（2）
若，则，所以，
所以，所以，
当时，，所以；
当时，，无解；
当时，，则无解；
综上，实数x的取值范围是；
（3）
，，则，
所以，，
因为对于任意的，，都有，
所以，即对恒成立，即对恒成立，
当时，，所以，
当时，，所以，
综上，．
3．（2022·上海·高三专题练习）设表示不小于的最小整数，例如．
（1）解方程；
（2）设，，试分别求出在区间、以及上的值域；若在区间上的值域为，求集合中的元素的个数；
（3）设实数，，，若对于任意都有，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）当时，值域为；当时，值域为；当时，值域为；个；（3）．
【详解】【解】（1）由题意得：，解得：．
（2）当时，，于是，值域为
当时，，于是或，值域为
当时，，于是或或9，值域为
设，当时，，所以的取值范围为
，-
所以在上的函数值的个数为，-
由于区间与的交集为空集，
故中的元素个数为．-
（3）由于，，因此，当时取等号，即即时，的最大值为，
由题意得时，恒成立，当时，
恒成立，因为，所以
当时，恒成立，因为，所以
综合得，实数的取值范围是．
【点睛】关键点点睛：1.首先理解的定义，2.第三问，若对于任意都有，转化为，再利用参变分离求的取值范围.
4．（2022·福建省厦门集美中学高二期中）已知函数．
(1)试讨论的极值；
(2)设，若，，使得，求实数的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
(1)
函数的定义域为，
．
当时，，所以在上为增函数，此时函数不存在极值．
当时，由，解得，故在上单调递增．
由，解得，故在上单调递减．
此时函数在处取得极大值．无极小值．
综上所述，当时，函数不存在极值．
当时，函数在处取得极大值，无极小值．
(2)
由（1）知当时，在上为增函数，
故无最大值，此时不符合题意；当时，．
易知在上单调递减，所以．
因为，，使得，
所以，即
解得，所以实数a的取值范围是．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)lnx（a∈R）．
（1）当时，讨论函数f(x)的单调性；
（2）设g(x)＝x2﹣2bx+4，当a时，若对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）+g（x2）≤0，求实数b的取值范围．
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）b．
【详解】（1）∵f(x)lnx，
∴．
①当时，即时，此时f(x)的单调性如下：
x
（0，1）
1
（1，）

（）

+
0
_
0
+
f(x)
增

减

增

当时，f(x)在（0，1），（）上是增函数，在（1，）上是减函数．
②当a时，f′(x)，f(x)在（0，+∞）上是增函数．
③当时，，，，
所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是，
④当时，，（舍），，
，，
所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是，
综上，当a≤0时，f(x)在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数；
当0＜a时，f(x)在（0，1），（）上是增函数，在（1，）上是减函数，
当a时，f′(x)，f(x)在（0，+∞）上是增函数．
（2）由（1）知，当a时，f(x)在（0，1）上是增函数，在（1，2）上是减函数．
于是x1∈（0，2）时，f（x1）∈（﹣∞，]，从而存在x2∈[1，2]，使得g（x2）[﹣f（x1）]min，
等价为[g(x)]min，x∈[1，2]，
考察g(x)＝x2﹣2bx+4＝（x﹣b）2+4﹣b2，x∈[1，2]的最小值．
①当b≤1时，g(x)在[1，2]上递增，[g(x)]min＝g(1)＝5﹣2b，解得b（舍去），
②当b≥2时，g(x)在[1，2]上递减，[g(x)]min＝g(2)＝8﹣4b，解得b成立．
③当1＜b＜2时，[g(x)]min＝g（b）＝4﹣b2，无解．
综上b．
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，，若函数的图象与函数的图象的一个公共点的横坐标为且两函数图象在点处的切线斜率之和为.
（1）求的值；
（2）对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【详解】解：（1）因为，所以，即，     
又，所以
，
由题意得，
所以
由得
（2）由（1）得，
对任意的，恒成立，
所以，
因为，
令得，令得或.
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
而，所以，
而，
当时，，
故，
所以实数的取值范围是.
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
(1)若，，总有成立，故；
(2)若，，有成立，故；
(3)若，，有成立，故；
(4)若，，有，则的值域是值域的子集 ．
7．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数f(x)＝x－mln x－(m∈R)，g(x)＝x2＋ex－xex.
(1)若m