2020太原实验中学校高一下学期期中考试数学试题含答案

太原市实验中学校2019-2020学年高一下学期期中考试

数学试卷

一、选择题  ( 每小题3分，共36分) 。

1. sin585°的值为(　A　)

A．－      B.    C．－     D．

2．若角β的终边经过点P(a,2a)(a≠0)，则cosβ等于(A)

A．±   B.    C．±   D．－

3．已知△ABC中，c＝6，a＝4，B＝120°，则b等于(　B　)

A．76  B．2  C．27  D．2

4．把函数y＝sinx(x∈R)的图像上所有的点向左平移个单位长度，再将所得的图像的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，则最后得到的图像所表示的函数是(　D　)

A．y＝sin(x＋)   B．y＝sin(x＋) 

C．y＝sin(2x＋)   D．y＝sin(2x＋)

5．向量＝(4，－3)，向量＝(2，－4)，则△ABC的形状为(　C　)

A．等腰非直角三角形   B．等边三角形 

C．直角非等腰三角形   D．等腰直角三角形

6．若f(x)＝tan(x＋)，则(　A　)

A．f(0)>f(－1)>f(1)   B．f(0)>f(1)>f(－1)

C．f(1)>f(0)>f(－1)   D．f(－1)>f(0)>f(1)

7．设D为△ABC所在平面内一点，BC＝3，则(　A　)

A.＝－＋   B.＝－

C.＝＋   D.＝－

8．已知α∈且sin(α＋β)·cosβ－cos(α＋β)sinβ＝－，则tan的值是(　C　)

A．3   B．2 

C．－2   D．－3

9．在锐角三角形ABC中，已知A＝2C，则的范围是(　C　)

A．(0,2)  B．(，2)  C．(，)  D．(，2)

10．在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　A　)

A.  B.  C.  D．1

11．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的最小正周期为π，若将其图象向左平移个单位长度后，得到函数g(x)的图象，且g(x)为奇函数，则函数f(x)的图象(　C　)

A．关于点(，0)对称   B．关于点(，0)对称

C．关于直线x＝对称   D．关于直线x＝对称

12．若在x∈[0，]上有两个不同的实数满足方程cos2x＋sin2x＝k＋1，则k的取值范围是(　D　)

A．[－2,1]  B．[－2,1)  C．[0,1]  D．[0,1)

二 、填空题( 每小题4分，共16分) 。

13．已知cos(－α)＝，则cos(＋α)＝－.

14．2弧度的圆心角所对的弦长为2，这个圆心角所夹的扇形面积的数值是__________.

16．关于函数f(x)＝sin2x－cos2x，有下列命题：①函数f(x)的最小正周期为π；②直线x＝是函数f(x)的一条对称轴；③点(，0)是函数f(x)的图象的一个对称中心；④将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，可得到函数y＝sin2x的图象．

其中正确的命题为①③.(填序号)

三、解答题（共48分）。

17．(本小题8分)已知＝－1，求下列各式的值：

(1)；

(2)sin2α＋sinαcosα＋2.

18．已知＝(－1,3)，＝(3，m)，＝(1，n)，∥.

(1)求实数n的值；

(2)若⊥，求实数m的值．

19．(本小题10分) )已知f(x)=2cosxsin(x+)-sin2x+sinxcosx.

(1)求函数f(x)的最小正周期;

(2)求函数f(x)的值域;

(3)求函数f(x)的单调递增区间.

20．(本小题10分)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<)的图象过点(0，)，最小正周期为，且最小值为－1.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若x∈[，m]，f(x)的值域是[－1，－]，求m的取值范围．

21．(本小题12分) (本小题12分)在△ABC中，AD是BC边的中线，AB2＋AC2＋AB×AC＝BC2，且△ABC的面积为.

(1)求∠BAC的大小及·的值；

(2)若AB＝4，求AD的长．

22.已知在锐角三角形ABC中，sin(A＋B)＝，sin(A－B)＝.

(1)求；

(2)设AB＝3，求AB边上的高．

数学试卷

二、选择题  ( 每小题3分，共36分) 。

1.

解析：sin585°＝sin(360°＋225°)＝sin(180°＋45°)＝－sin45°＝－.

2．

解析：根据三角函数定义：cosβ＝＝＝，当a>0时，cosβ＝，当a<0时，cosβ＝－，故选A.

3．

解析：由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝76，所以b＝2.

4．

解析：y＝sinx(x∈R)的图像上所有的点向左平移个单位长度，得到函数y＝sin(x＋)的图像，再将所得的图像的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，则最后得到的图像所表示的函数是y＝sin(2x＋)．

5．

解析：由于向量＝(4，－3)，向量＝(2，－4)．所以＝－＝(－2，－1)，所以·＝0.又||≠||.所以△ABC为直角非等腰三角形．故选C.

6．

解析：f(x)＝tan(x＋)在(－，)上是增函数，且f(1)＝f(1－π)．又－<1－π<－1<0<，∴f(1－π)<f(－1)<f(0)．即f(1)<f(－1)<f(0)．

7．

8．

9．

解析：＝＝＝2cosC，又A＋B＋C＝π，A＝2C，∴<C<，故<<.

10．

解析：∵M是BC上任意一点，∴可设＝x＋y(x＋y＝1)．

∵N为AM的中点，∴＝＝x＋y＝λ＋μ，∴λ＋μ＝(x＋y)＝.

11．

解析：本题考查三角函数图象的变换和奇函数的性质．由已知得T＝＝π，则ω＝2，所以f(x)＝sin(2x＋φ)，所以g(x)＝sin[2(x＋)＋φ]＝sin(2x＋＋φ)，又g(x)为奇函数，则＋φ＝kπ(k∈Z)，则φ＝－(|φ|<)，即f(x)＝sin(2x－)．把x＝代入得sin(2×π－)＝1，所以直线x＝π为f(x)图象的对称轴，故选C.

12．

解析：本题考查三角函数图象的具体应用，考查数形结合思想．原方程即2sin(2x＋)＝k＋1，sin(2x＋)＝.由0≤x≤，得≤2x＋≤，y＝sin(2x＋)在x∈[0，]上的图象如图所示，故当≤<1，即0≤k<1时，方程有两个不同的根，故选D.

二 、填空题( 每小题4分，共16分) 。

13．

解析：因为cos(－α)＝，所以cos(＋α)＝cos[π－(－α)]＝－cos(－α)＝－.

14．思路分析：如图，在Rt△AOC中，∠AOC=1 rad,AC=1,由sin1，得，∠AOB所对的弧长l=2r=，扇形的面积S扇=.

答案：

15．在△ABC中，若S△ABC＝12，ac＝48，c－a＝2，则b＝2或2.

解析：由S△ABC＝acsinB得sinB＝，∴B＝60°或120°.

由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝(a－c)2＋2ac－2accosB＝22＋2×48－2×48cosB，

∴b2＝52或148，即b＝2或2.

16．关于函数f(x)＝sin2x－cos2x，有下列命题：①函数f(x)的最小正周期为π；②直线x＝是函数f(x)的一条对称轴；③点(，0)是函数f(x)的图象的一个对称中心；④将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，可得到函数y＝sin2x的图象．其中正确的命题为①③.(填序号)

三、解答题（共48分）。

17

解：由已知得tanα＝.

(1)＝＝＝－.

(2)sin2α＋sinαcosα＋2＝3sin2α＋sinαcosα＋2cos2α＝＝＝＝.

18．

解：(1)∵＝(－1,3)，＝(3，m)，＝(1，n)，∴＝＋＋＝(3,3＋m＋n)，

∵∥，∴3(3＋m＋n)－3m＝0，∴n＝－3.

(2)由(1)得＝(1，－3)，＝＋＝(2,3＋m)，＝＋＝(4，m－3)．

∵⊥，∴8＋(3＋m)(m－3)＝0，∴m＝±1.

19．

解:(1)f(x)=2cosxsin(x+)-(1-cos2x)+sin2x

=sin(2x+)+sin-+cos2x+sin2x

=sin(2x+)+(sin2x+cos2x)

=sin(2x+)+sin(2x+)

=2sin(2x+),

∴T==π.

(2)当x=kπ+(k∈Z)时,f(x)有最大值2.

当x=kπ+(k∈Z)时,f(x)有最小值-2,

∴f(x)的值域为［-2,2］.

(3)f(x)的单调递增区间为［kπ-,kπ+］,k∈Z.

20．

解：(1)由函数f(x)的最小值为－1，可得A＝1.

因为函数f(x)的最小正周期为，所以ω＝3.可得f(x)＝cos(3x＋φ)，

因为函数f(x)的图象过点(0，)，所以cosφ＝，又因为0<φ<，所以φ＝，故f(x)＝cos(3x＋)．

(2)由≤x≤m，可知≤3x＋≤3m＋，

又结合函数y＝cosx的图象，只需π≤3m＋≤，所以m的取值范围为[，]．

21．

解：(1)在△ABC中，由AB2＋AC2＋AB×AC＝BC2，可得＝－＝cos∠BAC，故∠BAC＝120°.

因为S△ABC＝AB×AC×sin∠BAC＝×AB×AC×sin120°＝，

即×AB×AC×＝，所以AB×AC＝4.

所以·＝||×||×cos120°＝||×||×＝4×＝－2.

(2)由AB＝4，AB×AC＝4，得AC＝1.

在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos∠BAC＝16＋1－2×4×1×＝21，

即BC＝，

所以cos∠ABC＝＝＝，

在△ABD中，AD2＝AB2＋BD2－2AB×BD×cos∠ABD＝16＋－2×4××＝，得AD＝.

22.解：(1)∵sin(A＋B)＝，sin(A－B)＝，∴∴∴＝2.

(2)∵<A＋B<π，sin(A＋B)＝，∴tan(A＋B)＝－，即＝－，

又tanA＝2tanB，∴2tan2B－4tanB－1＝0，解得tanB＝，

又0<B<，∴tanB＝，∴tanA＝2tanB＝2＋.

设AB边上的高为CD，则AB＝AD＋DB＝＋＝，

∵AB＝3，∴CD＝2＋，∴AB边上的高为2＋.