2021长治二中校高二下学期期末考试数学（理）试卷含答案

2020—2021学年第二学期高二期末考试数学试题（理科）

【满分150分，考试时间120分钟】

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知全集，集合，，则下图阴影部分表示的集合是（    ）

A．         B．

C．          D．

2．某高校《统计》课程的教师随机给出了选该课程的一些情况，具体数据如下：

为了判断选修统计专业是否与性别有关，根据表中数据，的观测值，所以可以判定选修统计专业与性别有关.那么这种判断出错的可能性为(   )

A．5%   B．95%   C．1%   D．99%

附：

3．设，则“”是“”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．已知命题：“”，命题：“”，则下列为真命题的是(     )

A．      B．    C．       D．

5．若，，则（     ）

A．      B．     C．     D．

6．若的展开式中第四项为常数项，则(　　)

A．4    B．5     C．6     D．7

7．已知函数，则函数的大致图象为(　　)

A．  B．  C．  D．

8．如图所示的电路，有a，b，c三个开关，每个开关开或关的概率都是，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为(　　)

A．     B．     C．    D．

9．如图，花坛内有5个花池，有5种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则栽种方案的种数为(　　)

A．180      B．240

C．360      D．420

10．函数的值域是(　　)

A．  B．  C．  D．

11．方舱医院的创设，在抗击新冠肺炎疫情中发挥了不可替代的重要作用.某方舱医院医疗小组有七名护士（甲乙丙丁戊己庚)，每名护士从周一到周日轮流安排一个夜班.若甲的夜班比丙晚一天，丁的夜班比戊晚两天，乙的夜班比庚早三天，己的夜班在周四，且恰好在乙和丙的正中间，则周五值夜班的护士为(　　)

A．甲 B．丙 C．戊 D．庚

12．已知定义在R上的连续奇函数的导函数为，当时，，则使得成立的的取值范围是(　　)

A．  B．  C．   D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．假设关于某设备的使用年限x(单位：年)和所支出的维修费用y(单位：万元)有如下的统计资料：

若由资料可知y对x呈线性相关关系，且线性回归方程为，其中已知，请估计是要年限为20年时，维修费用约为             （万元）.

14．随机变量ξ的取值为0，1，2.若，，则________.

15．若正数x，y满足，则的最小值为　　　　　.

16．已知函数，若存在实数，使得成立，则实数_________.

三、选做题：共10分.请考生在17、18题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请用铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．

17．(本小题满分10分) 已知曲线C的极坐标方程为，以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴并取相同的单位长度建立极坐标系．

(1)求曲线C的直角坐标方程；

(2)A，B为曲线C上两点，若，求的值．

18．(本小题满分10分) 已知.

(1)求证：；

(2)若，且，求证：．

四、选做题：共12分.请考生在19、20题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请用铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．

19．（本小题满分12分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

在直角坐标系中，直线的参数方程为，以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴并取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

(1) 求直线的普通方程，曲线的直角坐标方程；

(2) 设直线与曲线交于两点，点在上运动，求面积的最大值．

20．（本小题满分12分）【选修4-5：不等式选讲】

已知函数，其中为正实数.

(1) 当时，求不等式的解集；

(2) 若函数的最小值为，求的最小值．

五、解答题：本大题共4小题，每小题12分，共48分.

21．(本题满分12分)

设函数

(1)当时，求函数f(x)的单调区间；

(2)当，时，方程在区间内有唯一实数解，求实数m的取值范围．

22．(本题满分12分)

某省2021年全省高中男生身高统计调查数据显示：全省100 000名男生的身高服从正态分布N(170.5，16)．现从我校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5 cm和187.5 cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组[157.5，162.5)，第二组[162.5，167.5)，…，第六组[182.5，187.5]．下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．

(1)试评估我校高三年级男生在全省高中男生中的平均身高状况；

(2)求这50名男生身高在177.5 cm以上(含177.5 cm)的人数；

(3)在这50名男生身高在177.5 cm以上(含177.5 cm)的人中任意抽取2人，该2人中身高排名(从高到低)在全省前130名的人数记为ξ，求ξ的均值．参考数据：若，则，，.

23．(本题满分12分)

已知函数，.

(1)当，时，求函数在处的切线方程，并求函数的最大值；

(2)若函数的两个零点分别为，且，求证：.

24．(本题满分12分)

如图，小华和小明两个小伙伴在一起做游戏，他们通过划拳(剪刀、石头、布)比赛决定谁先登上第3个台阶.他们规定从平地开始，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，平局时两个人都上一级台阶，如果一方连续两次赢，那么他将额外获得一次上一级台阶的奖励，除非已经登上第3个台阶，当有任何一方登上第3个台阶时，游戏结束，记此时两个小伙伴划拳的次数为x.

(1)求游戏结束时小华在第2个台阶的概率；

(2)求x的分布列和数学期望．

2020—2021学年第二学期高二期末考试数学答案（理科）

1-5 CAACA   6-10 BAADC  11-12 DC

13、24.68      14、        15、    16、

17.解：(1)由ρ2＝得ρ2cos2θ＋9ρ2sin2θ＝9，

将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入得到曲线C的直角坐标方程是＋y2＝1.

(2)因为ρ2＝，所以＝＋sin2θ，

由OA⊥OB，设A(ρ1，α)，则点B的坐标可设为，

所以＋＝＋＝＋sin2α＋＋cos2α＝＋1＝.

18.证明：(1)；

(2)                ，当且仅当或时取“=”.

19. 解:(1)将直线的参数方程，消去参数，

得，所以直线的普通方程为．

将,代入，

得，所以曲线的直角坐标方程为．

(2)由(1)可知直线：，曲线:，所以圆心到直线的距离，所以．设的中点为，则当曲线上的点到直线的距离最大，即当为过点且与垂直的直线与的交点时，最大，

此时 ．

20. 解：(1)当时，，

当时，即，解得，所以；

当时，即，不等式恒成立，所以；

当时，即，解得，所以．

综上所述，不等式的解集为．

(2)因为，所以.

因为的最小值为，所以，

．因为，当且仅当等号成立；，当且仅当时等号成立；，当且仅当时等号成立，所以，

所以，所以的最小值为，此时.

21、解：(1)依题意，知f(x)的定义域为(0，＋∞)，

当a＝b＝时， f(x)＝ln x－x2－x，∴f ′(x)＝.

令f ′(x)＝0，解得x＝1或x＝－2(舍去)．

经检验，x＝1是方程的根．

当0<x<1时， f ′(x)>0，当x>1时， f ′(x)<0，

∴f(x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，＋∞)．

(2)当a＝0，b＝－1时， f(x)＝ln x＋x.

由f(x)＝mx得mx＝ln x＋x.  又∵x>0，∴m＝1＋.

要使方程f(x)＝mx在区间[1，e2]内有唯一实数解，

只需m＝1＋有唯一实数解．

令g(x)＝1＋(x>0)，∴g′(x)＝(x>0)．

由g′(x)>0，得0<x<e，由g′(x)<0，得x>e，

∴g(x)在区间[1，e]上是增函数，在区间[e，e2]上是减函数，

g(1)＝1＋＝1，g(e2)＝1＋＝1＋，

g(e)＝1＋＝1＋，    ∴m＝1＋或1≤m<1＋.

22、解：(1)由直方图，经过计算得我校高三年级男生平均身高为160×0.1＋165×0.2＋170×0.3＋175×0.2＋180×0.1＋185×0.1＝171.5，高于全省的平均值170.5.

(2)由频率分布直方图知，后两组频率和为0.2，人数为0.2×50＝10，即这50名男生身高在177.5 cm以上(含177.5 cm)的人数为10人．

(3)∵P(170.5－3×4<ξ≤170.5＋3×4)＝0.997 4，

∴P(ξ≥182.5)＝＝0.001 3，   0．001 3×100 000＝130.

所以，全省前130名的身高在182.5 cm以上，这50人中182.5 cm以上的有5人.

随机变量ξ可取0,1,2，于是

P(ξ＝0)＝＝＝，    P(ξ＝1)＝＝＝，

P(ξ＝2)＝＝＝，

∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1.

23、(1)解：当a＝2，b＝－3时， f(x)＝－x＋3(x>0)，

∴f ′(x)＝，则f ′(e)＝－1，切点为(e，－e＋3)，

故函数f(x)在x＝e处的切线方程为x＋y－－3＝0.

 令h(x)＝1－ln x－x2，则h(x)＝1－ln x－x2在(0，＋∞)是减函数，

又h(1)＝0，∴x∈(0，1)时，h(x)>0, f′(x)>0，x∈(1，＋∞)时，h(x)<0, f ′(x)<0, f(x)在(0，1)上是增函数，在(1，＋∞)是减函数，

∴fmax(x)＝f(1)＝2.

(2)证明：∵x1，x2是f(x)的两个零点，且x1≠x2，不妨设x1<x2，

∴f(x1)＝f(x2)＝0，即－ax1－b＝0，－ax2－b＝0，

∴ln x1－ax－bx1＝0，ln x2－ax－bx2＝0，

相减得ln x1－ln x2－a(x－x)－b(x1－x2)＝0⇒－a(x1＋x2)－b＝0，

∴－a(x1＋x2)2－b(x1＋x2)＝0，

∴－a()2－b()＝0，

∴＝g()⇒g()＝＝.　

令t＝，即0<t<1，>1.

>1⇔ln t<⇔ln t－<0.

令m(t)＝ln t－在(0，1)上是增函数．

又∵m(1)＝0，∴t∈(0，1)，m(t)<0，命题得证．

24、【解析】(1)易知对于每次划拳比赛，基本事件共有3×3=9(个)，其中小华赢(或输)包含三个基本事件，他们平局也包含三个基本事件.不妨设事件“第i(i∈N*)次划拳小华赢”为Ai，事件“第i次划拳两人平局”为Bi， 事件“第i次划拳小华输”为Ci，所以P(Ai)=P(Bi)=P(Ci)==.

因为游戏结束时小华在第2个台阶，所以这包含两种可能的情况：

第一种，小华在第1个台阶，并且小明在第2个台阶，最后一次划拳两人平局，

其概率为P1=P(B1)P(C2)P(B3)+P(C1)P(A2)P(C3)P(B4)=；

第二种，小华在第2个台阶，并且小明也在第2个台阶，最后一次划拳小华输，其概率为

P2=P(B1)P(B2)P(C3)+P(A1)·P(B2)P(C3)P(C4)+P(A1)P(C2)·P(A3)P(C4)P(C5)=.

所以游戏结束时小华在第2个台阶的概率为P=P1+P2=+=.

(2)依题意可知，X的可能取值为2，3，4，5，

P(X=5)=2P(A1)P(C2)P(A3)P(C4)=2×4=，

P(X=2)=2P(A1)P(A2)=2×2=，

P(X=3)=2P(A1)P(B2)P(A3)+2P(B1)P(A2)P(A3)+P(B1)P(B2)·P(B3)+2P(A1)P(B2)P(B3)+

2P(B1)P(A2)P(B3)+2P(B1)P(B2)·

P(A3)+2P(C1)P(A2)P(A3)=，

P(X=4)=1-P(X=5)-P(X=2)-P(X=3)=，

所以X的分布列为

所以X的数学期望为：

E(X)=2×+3×+4×+5×=.