2021长治二中校高一下学期第五次月考数学试卷含答案

2020—2021学年第二学期高一月考数学试题

【本试卷满分150分，考试时间为120分钟】

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知向量，，若向量与向量垂直，则实数

A．    B．     C．    D．

2．若直线与平面不平行，且直线也不在平面内，则

A．内不存在与异面的直线 B．内存在与平行的直线

C．内存在唯一的直线与相交 D．内存在无数条与垂直的直线

3．在中，,,则

A．     B．   C．  D．

4．《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前450年雕刻的青铜雕像，它取材于现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的每只手臂长约，肩宽约为，“弓”所在圆的半径约为，则如图掷铁饼者双手之间的距离约为

A．   B．   C．  D．

5．如图，在正方体中，是底面的中心，则直线与平面所成角的正切值为

A．   B．   C．   D．

6．在发生某公共卫生事件期间，我国有关机构规定：该事件在一段时间没有发生规模群体感染的标志为“连续10天每天新增加疑似病例不超过7人”。根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是

A．甲地总体均值为3，中位数为4 B．乙地总体均值为2，总体方差大于0

C．丙地总体均值为2，总体方差为3 D．丁地中位数为3，众数为3

7．锐角中，内角的对边分别为，若，，则面积的取值范围是

A．  B．  C．  D．

8．桌面上放有三个半径为３的球两两外切，在其下方空隙处有一小球，该小球既与三个球相切，又与桌面相切，则该小球的半径为

A．1  B．  C．  D．

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分,共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9．在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是原点，为虚数单位，则下列判断中正确的有

A．若，则     B．若，则．

C．若，则[     D．若，则

10．某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险：戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图例：

用该样本估计总体，以下四个选项正确的是

A．54周岁以上参保人数最少   B．18～29周岁人群参保总费用最少

C．丁险种更受参保人青睐    D．30周岁以上的人群约占参保人群20％

11．如图，在三棱锥中，,点内的一点，若 所成的角分别是，的面积分别为，则以下说法正确的是：

A．  

B．

C． 

D．是锐角三角形

12．“阿基米德多面体”也称为半正多面体(semi-regularsolid)，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体．已知，则关于如图半正多面体的下列说法中，正确的有

A．该半正多面体的体积为

B．该半正多面体过三点的截面面积为

C．该半正多面体有外接球，且它的的表面积为

D．该半正多面体有内切球，且它的的表面积为

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答卷的相应位置。

13．已知单位向量满足，则           。

14．由于疫情期间大多数学生都进行网上上课，我校高一、高二、高三共有学生1800名，为了了解同学们对“钉钉”授课软件的意见，计划采用分层抽样的方法从这1800名学生中抽取一个容量为72的样本。若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高三年级的人数为           。

15．已知向量,又,则的最大值是           。

16．如图（1）是边长为2的正方形，的中点，是的中点，若沿着及把这个正方形折成一个四面体（如图（2）），使得重合，重合后的点记为，则的距离为         ，四面体的外接球表面积为         。（第一空2分，第二空3分）

四、解答题:本大题共70分

17．（本小题10分）

（1）已知复数满足：，求；

（2）已知是关于的方程的一个根，求实数的值

18．（本小题12分）

如图：在直三棱柱中，,的中点，是的中点

（1）   证明：∥平面

（2）   求证：

19．（本小题12分）

中，内角的对边分别为，且满足。

（1）求；

（2）若，且向量与共线，求的周长

20．（本小题12分）

如图，在三棱锥中，,。

（1）求证：

（2）若, 求二面角的正切值

21．（本小题12分）

在中，已知,且∠

（1）求的面积；

（2）若点满足：，的平分线与边交于点，的交点为，求的余弦值

22．（本小题12分）

如图：在四棱锥中，∥，，点是上的一点，

（1）若∥,求的值。

（2）若平面将四棱锥分成体积相等的两部分，求的值。

2020-2021学年第二学期高一月考数学试题答案

一、   选择题

三、   填空题

13.  14.  15.  16. 

四、解答题

17（1）法一：

                      ……………………………………………………5分

法二：，，

（2）是方程，，解得：p=-12               ……………………………………………………10分

18. (1)证明：设是的中点，连接

在中，的中点，∥,

又∥，∥,

四边形是平行四边形，∥

,∥平面  ……………6分

（2）点，

又∥,

三棱柱是直三棱柱，,

，，    ………………………………12分

19.解：（1）

  ……………………………………………………6分

（2）∥

由余弦定理得：

长为             ……………………………………………………12分

20. （1）证明：

  ………………………………………………6分

(2)设是的中点，过于,连接

在中

又

是二面角的平面角。

设,则在中，

                ……………………………………………………12分

21.解：（1）由正弦定理得：,即,解得：

，  ……………………………………6分

（2）以为原点，方向为轴，建立如图所示的坐标系，则的平分线，是与向量同向的单位向量，向量，  ……………………………………………………12分

22.解：（1）过点∥交,连接

∥,∥,∥平面，

  ………………………………………6分

(2) 过点∥交,连接

设则,

化简得：，  ……………………………12分