2021长治二中高一下学期期末考试数学试题含答案

2020~2021学年第二学期高一期末考试数学试题

一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 若复数满足，则的虚部为

A. 5 B.  C.  D. -5

【答案】C

【解析】

【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．

【详解】由（1+i）z＝|3+4i|，

得z，

∴z的虚部为．

故选C．

【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．

2. 一个人打靶时连续射击两次，事件“两次都没中靶”的相互对立事件是（    ）

A. 至多有一次中靶 B. 至少有一次中靶 C. 两次都中靶 D. 只有一次中靶

【答案】B

【解析】

【分析】直接根据对立事件的定义，可得事件“至少有一次中靶”的对立事件，从而得出结论．

【详解】解：根据对立事件的定义可得，

事件“两次都没中靶”的对立事件是：至少有一次中靶，

故选：．

3. 已知直线a，b分别在两个不同的平面，内则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的　　

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【详解】当“直线a和直线b相交”时，平面α和平面β必有公共点，即平面α和平面β相交，充分性成立；

当“平面α和平面β相交”，则 “直线a和直线b可以没有公共点”，即必要性不成立.

故选A.

4. 从长度为2，4，6，8，95条线段中任取3条，则这3条线段能构成一个三角形的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】求得基本事件总数，以及利用列举法求得构成一个三角形所包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.

【详解】从5条线段中任取3条，共有种不同的取法，

其中能构成一个三角形的有：，共有5种，

所以这3条线段能构成一个三角形的概率为.

故选：B.

5. 已知是所在平面外一点，分别是的中点，若，则异面直线与所成角的大小是

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】连接AC，取中点Q，连接QM、QN，则∠QNM即为异面直线PA与MN夹角，根据数据关系即可求得夹角大小．

【详解】根据题意，画出图形如下图所示

连接AC，取中点Q，连接QM、QN

则 ，

则在中，由余弦定理可得

所以

所以选A

【点睛】本题考查了空间异面直线夹角的求法，三角形中位线定理及余弦定理的应用，关键是通过平移得到异面直线的夹角，属于中档题．

6. 已知的三个顶点､､及平面内一点满足，则与的面积比为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先将变形为，即可得，

从而可确定点是边上靠近点的三等分点，进而可求得答案

【详解】解：因为，

所以，即，

所以点是边上靠近点的三等分点，

所以，

因为的边与的边上的高相等，

所以，

故选：B

7. 袋中有5个大小质地完全相同的球，其中3个红球､2个黄球，从中不放回的依次摸出两个球，设事件“第一次摸到红球”，事件“第二次摸到红球”，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由于表示的是事件A与事件B至少发生一个的概率，所以求出其对立事件的概率，可求得所求的概率

【详解】解：设A，B事件一个都不发生的概率为，即表示两次均摸到黄球的概率，

由题意可知，

所以，

故选：A

8. 圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点.其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美.小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点(，，三点共线)处测得楼顶，教堂顶的仰角分别是15°和60°，在楼顶处测得塔顶的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】求得，再在三角形中，运用正弦定理可得，再解直角三角形，计算可得所求值．

【详解】解：在直角三角形中，．

在中，，，

故，

由正弦定理，，

故．

在直角三角形中，．

故选：D．

二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9. 下列关于事件和事件的结论正确的是（    ）

A. 若，则事件与事件互为对立事件

B. 若，则事件与事件相互独立

C. 若事件与事件互为互斥事件，则事件与事件也互为互斥事件

D. 若事件与事件相互独立，则事件与事件也相互独立

【答案】BD

【解析】

【分析】根据对立事件，互斥事件，相互独立事件的定义逐一判断即可

【详解】对于A：例如四个球，选中每个球的概率都一样，为选中两个球的概率：0.5，为选中两个球的概率：0.5，，但事件与事件不是对立事件，故A错误；

对于B：若，则事件与事件相互独立，故B正确；

对于C：假设一个随机事件由这四个彼此互斥的基本事件构成，则事件中含有事件，事件中含有，则事件与事件不是互斥事件，故C错误；

对于D：若事件与事件相互独立，与，与，与也相互独立，故D正确

综上，正确的有BD

故选：BD

10. 已知复数，，则（    ）

A. 在复平面内对应的点位于第四象限

B. 为纯虚数

C.

D. 满足的复数在复平面内对应的点的轨迹为直线

【答案】ABCD

【解析】

【分析】由复数的坐标表示，可判定A正确；由，可判定B正确；由共轭复数的定义，可判定C正确；设，根据，得到，可判定D正确.

【详解】由复数在复平面内对应的点的坐标为位于第四象限，所以A正确；

由为纯虚数，所以B正确；

由，可得，所以C正确；

设，可得，，

可得，整理得，

即满足的复数在复平面内对应的点的轨迹为直线，所以D正确.

故选：ABCD.

11. 已知有6个电器元件，其中有2个次品和4个正品，每次随机抽取1个测试，不放回，直到2个次品都找到为止，设随机试验“直到2个次品都找到为止需要测试的次数”的样本空间为，设事件“测试次刚好找到所有的次品”，以下结论正确的是（    ）

A.

B. 事件和事件互为互斥事件

C. 事件“前3次测试中有1次测试到次品，2次测试到正品，且第4次测试到次品”

D. 事件“前4次测试中有1次测试到次品，3次测试到正品”

【答案】BD

【解析】

【分析】根据题意逐项分析即可判断出结果.

【详解】A：由题意可知，直到2个次品都找到为止需要测试的次数，最少是测试2次，即前2次均测试出次品，最多测试5次，即前4次测试中有1次测试到次品，3次测试到正品，所以，故A错误；

B：事件为前两次均测试出次品，事件为前2次有1次测试出次品，第3次测试出次品，符合对立事件的条件，故B正确；

C：事件“前3次测试中有1次测试到次品，2次测试到正品，且第4次测试到次品”或“前4次测试到全是正品”，故C错误；

D：事件“前4次测试中有1次测试到次品，3次测试到正品”，故D正确.

故选：BD.

12. 已知正四棱柱的底面边长为，，设，是的中点，过作直线平面，与平面交于点，则下列结论正确的是（    ）

A. 平面

B.

C. 点为线段上靠近点的三等分点

D. 二面角平面角的正切值为

【答案】ABD

【解析】

【分析】对于A，利用三角形中位线定理和线面平行的判定定理判断即可；对于B，由于平面，再结合A选项中的平行关系可得结论；对于C，利用三角形相似求出的长可判其位置；对于D，由于平面，所以可得为二面角平面角，然后在中求解即可

【详解】解：对于A，连接，因为四边形为正方形，所以为，的中点，，因为是的中点，所以∥,,因为平面，平面，所以平面，所以A正确；

对于B，因为平面，平面，所以，因为∥,所以，所以B正确；

对于C，因为四边形为正方形，所以，因为平面，平面，所以，因为，所以平面，所以，则当时，平面，因为点在平面内，所以点在上，在矩形中，∽，所以，因为，，所以，所以，所以点不是线段上靠近点的三等分点，所以C错误；

对于D，因为平面，平面,平面，所以，所以为二面角平面角，所以，所以D正确，

故选：ABD

三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 天气预报，在元旦假期甲地降雨概率是0.2，乙地降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为________．

【答案】0.38

【解析】

【分析】利用相互独立事件及对立事件的概率公式求得结果.

【详解】设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，则两地恰有一地降雨为A＋B，

∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)

＝P(A)P()＋P()P(B)

＝0.2×0.7＋0.8×0.3

＝0.38.

故答案为：0.38.

14. 已知向量，不平行，向量与平行，则实数___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据与平行即可得出，根据平面向量基本定理即可得出，解出即可．

【详解】解：因为向量，不平行，向量与平行，

所以，

所以，

解得：.

故答案为：.

15. 已知，，，是某球面上不共面的四点，，，与垂直，则此球的体积为___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据题意知，三棱锥可以放入正方体中, 故求三棱锥的外接球即求正方体的外接球，因此求出正方体的对角线即为球直径，结合球的体积公式即可求出结果.

【详解】根据题意知，三棱锥可以放入正方体中，如图所示，

故求三棱锥的外接球即求正方体的外接球，

而正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线，

由图可知为球直径，所以球半径为，

所以球的体积为，

故答案为：.

16. 在对某中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，若只知道抽取了男生24人，其平均数和方差分别为170.5和12.96，抽取了女生26人，其平均数和方差分别为160.5和36.96，则据此可得高一年级全体学生的身高方差的估计值为___________.

【答案】50.4

【解析】

【分析】分别计算男生平均身高、女生平均身高、50人平均身高，结合方差公式即可求解.

【详解】设24名男生的身高分别为，平均数为，

26名女生的身高分别为，平均数为，

样本中人的身高平均为，

，可得

，可得

，可得：

，可得

故答案为：50.4.

四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 在平面直角坐标系中，已知点，，.

（1）求；

（2）设实数满足，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）根据向量的坐标运算求得向量的坐标，继而求得其模；

（2）由向量垂直的坐标表示可求得答案.

【详解】解：（1）因为，，，所以，所以，；

（2）因为，所以，又，∴，

即，；

18. 某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用比例分配的分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，，，，并整理得到如下频率分布直方图：

（1）根据频率分布直方图估计分数的样本数据的70%分位数；

（2）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中女生的人数.

【答案】（1）77.5；（2）(人).

【解析】

【分析】（1）根据分位数概念，结合题给频率分布直方图计算得出结果即可；
（2）根据频率分布直方图计算出样本中分数不小于70的人数，进而计算出样本中男生及女生的人数，最后求出总体中女生的人数.

【详解】（1）由频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为，

从而有：样本中分数小于70的频率为，

又由频率分布直方图可得：样本中分数小于80的频率为0.8，

所以样本数据的70%分位数必定位于之间.

计算为：

所以其分数的样本数据的70%分位数估计值为77.5.
 

（2）由题知，样本中分数不小于70的学生人数为，

从而有，样本中分数不小于70男生人数为，

进而得，样本中的男生人数为，女生人数为，

所以总体中女生人数为(人).

19. 如图所示，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，．

（1）求证：平面；

（2）设，求四棱锥的体积．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

【分析】（1）连接，交于，利用三角形中位线性质可证得，由线面平行的判定定理可证得结论；

（2）作，利用面面垂直的性质可知即为所求四棱锥的高，由棱锥体积公式可求得结果.

【详解】（1）证明：连接，设与相交于点，连接，

四边是平行四边形，点为的中点，又为的中点，

为的中位线，，

又平面，平面，平面．

（2）平面，平面，

平面平面．

连接，作，垂足为，

平面平面，平面．

，，，

在中，，．

四棱锥的体积．

20. 在中，内角A，，的对边分别为，，，的面积S满足.

（1）求；

（2）若为锐角三角形，，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）先利用面积和余弦定理化简已知式，得到，再结合范围即得；

（2）先利用正弦定理解得，结合代入化简求得，再根据锐角三角形得到，即求得的取值范围.

【详解】解：（1）由题得，

，，而，故；

（2）由正弦定理得，，，

故

，

∵为锐角三角形，∴，，

∴，∴，，

故，即的取值范围是.

21. 某公司计划购买1种机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.该公司搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

记表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，表示购机的同时购买的易损零件数.

（1）若，求与的函数解析式；

（2）假设这100台机器在购机的同时每台都购买18个易损零件，或每台都购买19个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买18个还是19个易损零件？

（3）若该公司计划购买2台该机器，以上面柱状图中100台机器在三年使用期内更换的易损零件数的频率代替1台机器在三年使用期内更换的易损零件数发生的概率，求两台机器三年内共需更换的易损零件数为36的概率.

【答案】（1）；（2）购买1台机器的同时应购买19个易损零件；（3）0.1584.

【解析】

【分析】（1）由题意与柱状图，即可用分段函数的形式表示与的函数解析式；

（2）分别求出买18个和19个零件所需要的平均数，比较平均数的大小即可；

（3）用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的乘法公式求解即可

【详解】（1）

（2）若每台都购买18个易损零件，则购买易损零件费用的平均数

(元)

若每台都购买19个易损零件，则购买易损零件费用的平均数

(元)

所以购买1台机器的同时应购买19个易损零件.

（3）将两台机器编号为1号､2号，设事件“1号机器需要更换的易损零件为个”，

事件“2号机器需要更换的易损零件为个”，

设事件“两台机器三年内共需更换的易损零件数为36”，

，

两台机器三年内共需更换的易损零件数为36的概率为0.1584.

22. 如图，四棱锥P－ABCD中，AD＝2，AB＝BC＝CD＝1，AD∥BC，且PA＝PC，PB＝PD．

（1）证明：平面PAD⊥平面ABCD；

（2）求直线PA与平面PBD所成角的正弦值的最大值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

【分析】（1）取AD中点O，连PO，AC，BO，CO，证明PO⊥平面ABCD即可得平面PAD⊥平面ABCD；（2）过O作OH⊥PF交PF于H，求出点A到平面PBD的距离，利用求解即可.

【详解】（1）取AD中点O，连PO，AC，BO，CO，设AC与BO交于E，CO与BD交于F，连PE，PF．

在等腰梯形ABCD中，由AO∥BC且AO＝BC＝AB，故四边形AOCB为菱形，∴AC⊥BO．

又PA＝PC，且E为AC中点，∴AC⊥PE，又PE∩BO＝E，∴AC⊥平面PBO．

又∵PO平面PBO，∴AC⊥PO；同理，由四边形DOBC为菱形，且PB＝PD，

∴BD⊥PO．

又直线AC与BD相交，∴PO⊥平面ABCD，又∵PO平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD．

（2）设，过O作OH⊥PF交PF于H，由BD⊥平面POC，故BD⊥OH．

又PF∩BD＝F，∴OH⊥平面PBD，，故．

又AD＝2OD，故点A到平面PBD的距离．

设直线PA与平面PBD所成角的大小为．

则．

当且仅当，即时取等号，

故直线PA与面PBD所成角的正弦值的最大值为．

【点睛】关键点点睛：根据线面角的正弦值，即斜线端点到平面距离与斜线段长的比值得到关于变量的函数关系，利用均值不等式求最值是关键，属于中档题.