2021银川17校联考高三下学期5月普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）试题含答案

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2021年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学试题卷

( 银川17校联考 )

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．集合，，则

A．{0，1，2} B．{1，2}   C．{-1, 0，1，2} D．{﹣1，0，1}

2．欧拉公式（e是自然对数的底数，i是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，当时，就有，根据上述背景知识试判断表示的复数在复平面对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．（清）陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方

形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为

A． B．     C．     D．

4．已知等比数列的各项均为正数，且成等差数列，则数列的公比是

A． B．2 C． D．或

5．已知圆截轴所得的弦长为，过点且斜率为的直线与圆交于两点，若，则的值为

A． B． C． D．

6．下列正确命题的序号有

①若随机变量，且，则．

②在一次随机试验中，彼此互斥的事件，，，的概率分别为，，，，则与是互斥事件，也是对立事件．

③一只袋内装有个白球，个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了个白球，.

④由一组样本数据，，得到回归直线方程，那么直线至少经过，，中的一个点．

A．②③ B．①② C．③④ D．①④

7．已知实数，满足，，则

A． B．

C． D．

8．已知为上的的奇函数，为偶函数，若当，，则

A．     B．        C．       D．

9．将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于直线对称，则的最大值为

A． B． C． D．

10．圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为

A．       B．          C．       D．

11．设双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若，且是的一个四等分点，则双曲线C的离心率是

A． B． C． D．5

12．平行于轴的直线与函数的图像交于，两点，则线段长度的最小值为

A．       B．     C．      D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．已知的展开式中的系数为5，则________.  

14．若为所在平面内任意一点，且满足，则 的形状为__________.（填：等腰三角形、等边三角形、直角三角形、等腰直角三角形）

15．已知数列满足，数列的前项和为，则__________.

16．如图，在的方格中，移动规则如下：每行均可左右移动，每列均可上下移动，每次仅能对某一行或某一列进行移动，其他行或列不变化．

例如：   

若想移动成每行的数字相同，则最少需要移动次_________.

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分)

17．(12分)

某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以C为圆心，半径为1千米的圆周.已有两条互相垂直的道路OE，OF，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点A，B.现规划修建一条新路（由线段MP，，线段QN三段组成），其中点M，N分别在OE，OF上，且使得MP，QN所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点

P，Q，所对的圆心角为.记∠PCA＝（道路宽度

均忽略不计）.

（1）若，求QN的长度；

（2）求新路总长度的最小值.

18．（12分）

2021年3月底，我国新冠肺炎疫情得到有效防控，但海外确诊病例却持续暴增，防疫物资供不应求.某医疗器械厂开足马力，日夜生产防疫所需物品.质量检验员为了检测生产线上零件的质量情况，从生产线上随机抽取了50个零件进行测量，根据所测量的零件质量（单位：克），得到如图的频率分布直方图：

（1）根据频率分布直方图，求这50个零件质量的中位数（结果精确到0.01)；

（2）若从这50个零件中质量位于之外的零件中随机抽取2个，求这两个零件中恰好有1个是质量在上的概率；

（3）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知这批零件有10000个，某采购商提出两种收购方案：

A．所有零件均以50元/百克收购；

B．质量位于的零件以40元/个收购，其他零件以30元/个收购.

请你通过计算为该厂选择收益最好的方案.

19．(12分)

如图1，在直角梯形中，，，，.将沿折起，折起后点的位置为点，得到三棱锥如图2所示，平面平面，直线与平面所成角的正切值为.

（1）求线段的长度；

（2）试判断在线段上是否存在点，使二面角的平面角的余弦值为？若存在，请确定其位置；若不存在，请说明理由.

20．（12分）

在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦距为4，且过点．

（1）求椭圆的方程

（2）设椭圆的上顶点为，右焦点为，直线与椭圆交于、两点，问是否存在直线，使得为的垂心，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．

21．(12分)

已知函数在定义域内有两个不同的极值点．

（1）求的取值范围；

（2）设两个极值点分别为，（<），证明：．

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，且，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

（1）写出曲线和直线的直角坐标方程；

（2）若直线与轴交点记为，与曲线交于，两点，求．

23．[选修4-5：不等式选讲]

已知是正实数，且．

（1）求的最小值； 

（2）求证：．

2021年银川多校联考数学(理科)参考答案

一、选择题

二、填空题：

15. 13. -1  14. 等腰三角形  15.     16. 3

17.【答案】（1）QN的长度为1千米（2）

【分析】

（1）连接，通过切线的几何性质，证得四边形是正方形，由此求得的长度.

（2）用表示出线段，，线段的长，由此求得新路总长度的表达式，利用基本不等式求得新路总长度的最小值.

【详解】

（1）连接CB，CN，CM，OM⊥ON，OM，ON，PM，QN均与圆C相切

∴CB⊥ON，CA⊥OM，CP⊥MP，CQ⊥NQ，∴CB⊥CA

∵∠PCA＝，∠PCQ＝，∴∠QCB＝，

此时四边形BCQN是正方形，∴QN＝CQ＝1，

答：QN的长度为1千米；

（2）∵∠PCA＝，可得∠MCP＝，∠NCQ＝，

则MP＝，，NQ＝

设新路长为，其中(，)，即

∴，

，当时取“＝”，

18.【答案】（1）中位数为71.47；（2）；（3）该厂选择方案B；答案见解析.

【详解】（1）零件质量位于的频率为，

零件质量位于的频率为，    ......2分

，这50个零件质量的中位数位于区间，设为，

则，解得，故这50个零件质量的中位数为71.47      .......4分

（2）质量位于的零件个数为个，

质量位于的零件个数为个，            ......6分

故这两个零件中恰好有1个是质量在上的概率为.       ......8分

（3）这组数据的平均数为

，....9分

方案A：收益为元；                ......10分

质量位于的零件个数为个，

质量位于之外的零件个数为个，

方案B：收益为元.                  ......11分

，该厂选择方案B.                           ......12分

19.【答案】（1）2；（2）存在；为的四等分点，且.

【详解】

（1）因为平面平面，平面平面

又面，

所以面，

所以与面所成角为，又

所以，

因为在直角梯形中，，

所以

所以，令

那么，所以

所以，即

（2）以的中点为坐标原点，

为轴，过点平行于的直线为轴，为轴，建立如图空间直角坐标系，

，，，，

设

，，.

设二面角的平面角为

设平面的一个法向量为.

则，即

取，得.

取面的一个法向量

则，

所以

化简整理得：或（舍去）

当时，

所以为的四等分点，且

20.【解析】（1）由已知可得，......................................2分

解得，，

所以椭圆的方程为．...............................................................4分

（2）由已知可得，，，，

，可设直线的方程为，

代入椭圆方程整理，得

．...............................................6分

设，，，，则，，

，，

即．...............................................8分

，，，

即．

，或．...............................................10分

由△，得．

又时，直线过点，不合要求，

，

故存在直线满足题设条件．...............................................12分

21．解：（1）由题意得，的定义域是，

，

令，

函数在定义域内有两个不同的极值点

等价于在上2个零点，

，

当时，在上，，递减，不满足题意，

当时，在上，，递增，

在，上，，递减，

要使在上2个零点，

只需，即，解得：，

故的范围是；

（2）由（1）可知，，，

两式相减可得①，

，

要证明，

只需证明，

即证明，②，

把①代入②整理得：，

令，即证明，

令，则，

当时，，函数在递减，

故（1），

故，命题得证．

22．解：（1）曲线的参数方程为为参数，且，转换为直角坐标方程为．................3分

直线的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为．................5分

（2）直线与轴交点记为，即，

转换为参数方程为为参数）与曲线交于，两点，................7分

把直线的参数方程代入方程．

得到，

所以，，................9分

则：．...........10分

23.【解析】（1）∵a，b，c是正实数，且a+b+2c=1．

所以（）（a+b+2c）.........2分

，

当且仅当，即，时等号成立，

∴的最小值为．...............5分

（2）由柯西不等式可得（12+12+22）（a2+b2+c2）≥（a+b+2c）2=1，.............7分

即，当且仅当，即，时等号成立，............9分

∴a2+b2+c2成立．...........10分