2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学

这是一份2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学，共11页。试卷主要包含了函数f=在的图像大致为，记为等差数列的前n项和等内容，欢迎下载使用。

理科数学


注意事项：


1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。


2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。


3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。


一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。


1．已知集合，则=


A．B．


C．D．


2．设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则


A． B．


C． D．


3．已知，则


A．B．C．D．


4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐


至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例)，


著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉


的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两


个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的


长度为26 cm，则其身高可能是


A．165 cmB．175 cmC．185 cmD．190 cm


5．函数f(x)=在的图像大致为


A．B．





C．D．


6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化。


每一“重卦由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳


爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦。在所有


重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是


A．B． C． D．


7．已知非零向量a，b满足，且b，则a与b的夹角为


A． B．C． D．


8．如图是求的程序框图，图中空白框中应填入





A．A=B．A=C．A=D．A=


9．记为等差数列的前n项和．已知，则


A．B．C．D．


10．已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点．若，，则C的方程为


A．B．C．D．


11．关于函数有下述四个结论：


①f(x)是偶函数②f(x)在区间（，）单调递增


③f(x)在有4个零点④f(x)的最大值为2


其中所有正确结论的编号是


A．①②④ B．②④C．①④D．①③


12．已知三棱锥P−ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为


A．B． C．D．


二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。


13．曲线在点处的切线方程为____________．


14．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则S5=____________．


15．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．


16．已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为____________．


三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。


（一）必考题：共60分。


17．(12分)


的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．


（1）求A；


（2）若，求sinC．








18．（12分）


如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，


∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．


（1）证明：MN∥平面C1DE；


（2）求二面角A−MA1−N的正弦值．








19．（12分）


已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．


（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；


（2）若，求|AB|．


20．（12分）


已知函数，为的导数．证明：


（1）在区间存在唯一极大值点；


（2）有且仅有2个零点．


21．（12分）


为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．


（1）求的分布列；


（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，其中，，．假设，．


(i)证明：为等比数列；


(ii)求，并根据的值解释这种试验方案的合理性．


（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。


22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）


在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．


（1）求C和l的直角坐标方程；


（2）求C上的点到l距离的最小值．








23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）


已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：


（1）；


（2）．














2019年普通高等学校招生全国统一考试


理科数学•参考答案


一、选择题


1．C 2．C 3．B 4．B 5．D 6．A 7．B 8．A 9．A 10．B 11．C 12．D


二、填空题


13．y=3x14．15．0.1816．2


三、解答题


17．解：（1）由已知得，故由正弦定理得．


由余弦定理得．


因为，所以．


（2）由（1）知，由题设及正弦定理得，


即，可得．


由于，所以，故








．


18．解：（1）连结B1C，ME．


因为M，E分别为BB1，BC的中点，


所以ME∥B1C，且ME=B1C．


又因为N为A1D的中点，所以ND=A1D．


由题设知A1B1DC，可得B1CA1D，故MEND，


因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED．


又MN平面EDC1，所以MN∥平面C1DE．


（2）由已知可得DE⊥DA．


以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz，则





，A1(2，0，4)，，，，，，．


设为平面A1MA的法向量，则，


所以可取．


设为平面A1MN的法向量，则


所以可取．


于是，


所以二面角的正弦值为．


19．解：设直线．


（1）由题设得，故，由题设可得．


由，可得，则．


从而，得．


所以的方程为．


（2）由可得．


由，可得．


所以．从而，故．


代入的方程得．


故．


20．解：（1）设，则，.


当时，单调递减，而，可得在有唯一零点，


设为.


则当时，；当时，.


所以在单调递增，在单调递减，故在存在唯一极大值点，即在存在唯一极大值点.


（2）的定义域为.


（i）当时，由（1）知，在单调递增，而，所以当时，，故在单调递减，又，从而是在的唯一零点.


（ii）当时，由（1）知，在单调递增，在单调递减，而，，所以存在，使得，且当时，；当时，.故在单调递增，在单调递减.


又，，所以当时，.从而， 在没有零点.


（iii）当时，，所以在单调递减.而，，所以在有唯一零点.


（iv）当时，，所以<0，从而在没有零点.


综上，有且仅有2个零点.


21．解：X的所有可能取值为.





所以的分布列为





（2）（i）由（1）得.


因此，故，即


.


又因为，所以为公比为4，首项为的等比数列．


（ii）由（i）可得


.


由于，故，所以





表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理.


22．解：（1）因为，且，所以C的直角坐标方程为.


的直角坐标方程为.


（2）由（1）可设C的参数方程为（为参数，）.


C上的点到的距离为.


当时，取得最小值7，故C上的点到距离的最小值为.


23．解：（1）因为，又，故有


.


所以.


（2）因为为正数且，故有











=24.


所以.