2021民乐县一中高三下学期5月第一次月考数学（文）试题含答案

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民乐县第一中学2021届高三下学期5月第一次月考

数学文试卷

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知平面向量，，则（    ）

A． B． C． D．

3．已知实数，满足不等式组，则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且＝，则＝（    ）

A． B． C． D．

5．已知，且α为锐角，则cosα＝（　　）

A． B． C． D．

6．执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的（    ）

A． B． C． D．

7．已知过点的直线与圆心为的圆相交于、两点，若，直线的方程为（    ）

A． B．或

C． D．或

8．圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母表示.早在公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之就得出精确到小数点后7位的结果，他是世界上第一个把圆周率的数值计算到小数点后第7位的人，这比欧洲早了约1000年.生活中，我们也可以通过如下随机模拟试验来估计的值：在区间内随机取个数，构成个数对，设，能与1构成钝角三角形三边的数对有对，则通过随机模拟的方法得到的的近似值为（    ）

A． B． C． D．

9．函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，对于函数，下列说法不正确的是（    ）

A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称

C．在区间上单调递增 D．的图象关于点对称

10．已知的三个顶点均在球心为的球面上，若球心到平面的距离为则该球的体积为（    ）

A． B． C． D．

11．已知椭圆（）的右焦点为，过点的直线交椭圆于A，两点，若线段的中点坐标为，则椭圆的方程为（    ）

A． B．

C． D．

12．已知函数满足，若函数图像与图像的交点为，，，⋯，，则（    ）

A．1010 B． C．2020 D．0

第II卷（非选择题）

请点击修改第II卷的文字说明

二、填空题

13．已知，则曲线在点处的切线方程为___________.

14．已知数列的前n项和为若，则____.

15．若复数，满足，，则的值是______.

三、双空题

16．已知动点P到定点的距离比到定直线的距离小1，则点P的轨迹M的标准方程为________；A、B、C为该轨迹M上的三点，若，则________.

四、解答题

17．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（1）证明：．

（2）若，求的值．

18．近两年来中国猪肉市场由于受到国内外多种因素的影响，导致猪肉的市场零售均价一直居高不下，在一个高价区域范围内上下波动．政府为监控猪肉市场零售均价行情需要了解真实情况，在2021年1月份的某一天，市的物价主管部门派相关专业人员对全市零售猪肉的销售均价进行摸底，随机抽样调查了家超市了解情况，得到这些超市在当天的猪肉零售均（单位：元/公斤）的频数分布表如下：

（1）请分别估计该市在当天的猪肉零售均价不低于元/公斤的超市比例和零售均价小于元/公斤的超市比例；

（2）已知样本均价位于分组区间（单位：元/公斤）内的家超市中，有家小超市和家大超市，从该组中任选家超市进行市场零售均价调控约谈，问选出的家超市中至少有家大超市的概率是多少？

（3）求该市在当天的猪肉零售均价的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．（精确到，且）

19．如图，已知正三棱柱，是的中点，是的中点，且，．

（1）证明：平面；

（2）求点到平面的距离．

20．已知椭圆的一个顶点为，为椭圆的左、右项点，且满足.

（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆与直线相交于不同的两点设中点为，若，求实数的取值范围.

21．设函数.

（1）若曲线在点处的切线与垂直，求函数的解析式；

（2）如果对于任意的，都有成立，试求实数的取值范围.

22．在直角坐标系中，曲线C的方程为，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.

（1）求直线l的直角坐标方程；

（2）已知P是曲线C上的一动点，过点P作直线交直线于点A，且直线与直线l的夹角为45°，若的最大值为6，求a的值.

23．已知.

（1）解关于的不等式；

（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.

参考答案

1．D

【详解】

解不等式得，则；

解不等式得，则.

所以，.

故选：D.

2．A

【详解】

因为，所以，

所以，

故选：A.

3．C

【详解】

画出不等式组所表示平面区域，如图所示，

由目标函数，化为直线，

当直线过点A时，此时直线在y轴上的截距最小，目标函数取得最大值，

又由，解得A，

所以目标函数的最大值为，

故选：C.

【点睛】

本题正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．

4．A

【详解】

设等差数列{an}的公差为d，

∵，显然，

∴，

故选：A

5．C

【详解】

因为，且α为锐角，

则﹣＜＜，

即cos（）＝＝，

则cosα＝cos[（）+]

＝cos（）cos﹣sin（）sin

＝（﹣）＝.

故选：C.

6．C

【详解】

依题有，试验的全部结果构成以1为边长的正方形，其面积为1.

因为，能与1构成钝角三角形，

由余弦定理的及三角形知识得，

构成如图阴影部分，

其面积为，

由几何概型概率计算公式得，

解得.

故选：C

【点睛】

本题主要考查数学史和几何概型的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.

7．A

【详解】

圆的圆心为，半径为，

由，且，所以，是以为直角的等腰直角三角形，

所以，点到直线的距离为.

若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时点到直线的距离为，不合乎题意；

若直线的斜率存在，设直线的方程为，即，

则有，整理得，解得，

所以直线的方程为.

故选：A.

【点睛】

易错点点睛：本题利用直线与圆相交求直线的方程，在求解过定点的直线的方程时，要注意对直线斜率是否存在进行分类讨论，以防漏解.

8．B

【详解】

由程序的执行逻辑知：输入，

1、：得，，执行循环体；

2、，：得，，执行循环体；

3、，：得，，执行循环体；

4、，：得，，执行循环体；

…

10、，：得，，跳出循环体．

输出．

故答案为：B.

9．C

【详解】

因为．其图象向右平移个单位长度后得到函数的图象．所以的最小正周期为，故A正确；

当时，，所以的图象关于直线对称，故B正确；

当时，，所以在间上不单调，故C错误；

当时，，所以函数的图象关于点对称，故D正确．

故选：C

10．D

【详解】

在中，因为，

由余弦定理知，所以，

设的外接圆半径为，则由正弦定理知，所以

设球的半径为，可得，

所以球体积.

故选：D.

【点睛】

解决与球有关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程：

（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；

（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素间的关系），达到空间问题平面化的目的；

（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球半径的方程，并求解.

11．A

【详解】

设点、，则的中点为，

则，可得.

若直线轴，则线段的中点在轴上，不合题意；

故直线的斜率存在，且，

直线的斜率为，

由于A、两点都在椭圆上，则，

两式作差得，所以，

因为在直线AB上，故，

所以，

又，故

所以，解得，因此，椭圆的标准方程为.

故选：A.

【点睛】

方法点睛：解决中点弦的问题的两种方法：

（1）韦达定理法：联立直线与曲线的方程，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；

（2）点差法：设出交点坐标，利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标代入曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率关系求解.

12．C

【详解】

因为，所以的图象关于点(1,0)成中心对称

又的图象也是关于点 (1,0) 成中心对称，且 (1,0) 不是公共交点

所以 ，

所以

故选：C.

【点睛】

如果，关于点对称，则.

13．

【详解】

由题意知点在曲线上，，则曲线在点处的切线的斜率为，切线方程为，即.

故答案为：.

14．

【详解】

当时，，解得，

当时，，

整理得，即，

数列是以首项，的等比数列.

所以.

所以，.

故答案为：

15．

【详解】

设复数所对应的向量分别为，

因为复数，满足，，

所以，，，

所以，

即，

所以，

所以，

解得

所以的值是.

故答案为：

16．    12   

【详解】

因为动点P到定点的距离比到定直线的距离小1，

所以动点P到定点的距离和到定直线的距离相等，

所以动点P的轨迹是以的为焦点的抛物线，

则，解得，

所以点P的轨迹M的标准方程为；

因为A、B、C为M上的三点，且，

所以点是三角形的重心，

则，

所以

故答案为：，12

17．（1）证明见解析；（2）.

【详解】

（1）因为，所以，

则，

，

即，

故或，

即或（舍去），

所以；

（2）因为，且，

所以．

由（1）可知，

则，

，

因为，所以，

所以．

【点睛】

本题主要考查正弦定理边角互化，考查和角差角的正弦公式的应用，考查二倍角的公式的应用，考查同角三角函数的平方关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

18．（1）；；（2）；（3）；元/公斤．

【详解】

（1）根据各超市的猪肉零售均价的频数分布表，得所调查的家超市在当天的猪肉零

售均价不低于元/公斤的超市频率为；零售均价小于元/公斤的超市频率为.

用样本频率分布估计总体分布，得该市在当天的猪肉零售均价不低于元/公斤的

超市比例为，零售均价小于元/公斤的超市比例为．

（2））设家小超市分别用小字母，，表示，大超市分别用大字母，表示，从家超市中任取家的所有结果分别为：，，，，，，，，，共有10种，其中至少有家大超市的结果分别为，，，，，，共有种，故所求的概率为．

（3）依题意，得（元/公斤）．

，

则（元/公斤）．

故该市当天的猪肉零售均价的平均数与标准差的估计值分别为，（元/公斤）．

19．（1）证明见解析；（2）

【详解】

（1）证明：取的中点，连接，如图所示

分别是的中点，

．

，是的中点，

．

四边形是平行四边形，

．

平面，平面,

平面．

（2）是正三角形，是的中点,

．

在正三棱柱中，平面，

．

，平面．

又由（1）知，，平面．

又，，，．

．

在中，，

，，，

平面．

．

．

．

设点到平面的距离为，则由得

，，即点到平面的距离为．

【点睛】

本题考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理和等体积法求点面距，属于中档题.

20．（1）；（2）

【详解】

解：（1）由题意，得，由得，

，解得，

所以所求椭圆的方程为.

（2）联立椭圆与直线可得：

有，由，得.

设，，则，，

∴，得到

∵，∴，得到，

∵，且，∴，得，

∵，∴.

∴实数的取值范围是.

【点睛】

本题考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系，考查运算能力，联立方程是解题的关键.

21．（1）；（2）.

【详解】

（1），

∵曲线在点处的切线与垂直，∴，

.

（2），

∴，，，，

∴在上递减，在上递增，

∴在上的最大值为较大者，即，

∵对于任意的，都有成立，

∴ 

即对任意的成立.

令，

，

∴，，，，

∴在上递增，在上递减，的最大值为，

∴，.

【点睛】

本题考查函数导数几何意义及利用导数研究函数最值及不等式恒成立求参数范围.属于基础题.

22．（1）（2）

【详解】

（1）由，得，

即.

∵，，

∴直线的直角坐标方程为，即.

（2）依题意可知曲线的参数方程为（为参数）.

设，则点到直线的距离为：

.

∵，

∴当时，.

又过点作直线交直线于点A，且直线与直线的夹角为，

∴，即.

∴的最大值为，即.

∵，∴解得.

【点睛】

本题第一问考查直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，第二问考查了利用椭圆的参数方程求最值，属于中档题.

23．（1）；（2）.

【详解】

（1）由，得.

所以或或，

即或或，解得，

所以原不等式的解集为.

（2）当时，不等式，即，

因为，当且仅当时，等号成立.

故的最小值为5，所以，

即实数的取值范围是.

【点睛】

方法点睛：对于求解绝对不等式的常用方法是，根据分类讨论，得出绝对值内的代数式的符号，从而去掉绝对值符号，得以求解不等式．