2021省大庆铁人中学高三冲刺模拟考数学（理）试题（二）含答案

大庆铁人中学高三冲刺模拟试题（二）

理科数学试题

试题说明：

1、本试题满分  150  分，答题时间  120  分钟。         

2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。

第Ⅰ卷  选择题部分

一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分。）

1.若集合，，且2，，则 (   )

A.  B.  C.  D.

2.已知a，，是虚数单位，若与互为共轭复数，则(   )

A.       B.            C.           D.

3.命题的否定是(   )

4.已知向量，，则在方向上的投影为(   )

A.  B.  C. 1 D.

5.我国古代九章算术里，记载了一个“商功”的例子：今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈．问积几何其意思是：今有上下底面皆为长方形的草垛如图所示，下底宽2丈，长3丈，上底宽3丈，长4丈，高3丈．问它的体积是多少该书提供的算法是：上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘，同样下底长的2倍与上底长的和与下底宽相乘，将两次运算结果相加，再乘以高，最后除以则这个问题中的刍童的体积为(   )

A. 立方丈  B. 立方   C. 53立方丈   D. 106立方丈

6.若变量x，y满足约束条件则的最大值为(   )

A.  B.  C. 2 D. 5

7.设，，，则a，b，c的大小关系是(   )

A.  B.  C.  D.

8.在的展开式中，常数项为(   )

A. 28 B.  C.  D. 56

9.如图，在正方体中，M，N分别为AC，的中点，则下列说法错误的是(   )

A.  B. 直线MN与平面ABCD所成角为
C. 平面 D. 异面直线MN与所成角为

10.已知，则等于(   )

A.  B.  C.  D.

11.已知抛物线，过定点的直线与抛物线C相交于点P，Q，若为常数，则实数a的值为(   )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

12.若对任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围为(   )

A.  B.  C.  D.

第II卷  非选择题部分

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）

13.函数的值域为______ ．

14.已知双曲线的左右焦点分别为，过作渐近线的垂线，垂足为，为坐标原点，且，则双曲线的离心率为       .

15. 新型冠状病毒（）引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效某地开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如下表所示：

由表格可得关于的回归方程为，则此回归模型第4周的残差（实际值与预报值之差）为________

16.中给出四个命题：

若，则一定是锐角三角形；

若，则一定是等腰三角形；

若，，则一定是等边三角形；

若，则一定是直角三角形．

其中正确的命题的序号是_____

三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答.）

(一)                  必考题:共60分.

17.已知数列的前n项和，等比数列的公比，且，是的等差中项．

(1)求数列和的通项公式；   (2)求数列的前n项和．

18.为了认真贯彻落实大庆市教委关于做好中小学生延期开学期间“停课不停学”工作要求，各校以教师线上指导帮助和学生居家自主学习相结合的教学模式积极开展工作，并鼓励学生积极开展锻炼身体和课外阅读活动．为了解学生居家自主学习和锻炼身体的情况，从某校高三年级随机抽取了100名学生，获得了他们一天中用于居家自主学习和锻炼身体的总时间分别在，，单位：小时的数据，整理得到的数据绘制成频率分布直方图如图．

由图中数据求a的值，并估计从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在的概率；
为了进一步了解学生该天锻炼身体的情况，现从抽取的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在和的人中任选3人，求其中在的人数X的分布列和数学期望；
假设同一时间段中的每个数据可用该时间段的中点值代替，试估计样本中的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间的平均数在哪个时间段？只需写出结论

19.在如图所示的六面体中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形ABEF是梯形，，平面平面ABEF，

在图中作出平面ABCD与平面DEF的交线，并写出作图步骤，但不要求证明；
求证：平面DEF；
求平面ABEF与平面ECD所成角的余弦值．

20.已知椭圆C：的左顶点为A，右焦点为F，过点A作斜率为的直线与C相交于A，B，且，O为坐标原点．

求椭圆的离心率e；

若，过点F作与直线AB平行的直线l，l与椭圆C相交于P，Q两点，

①求直线OP的斜率与直线OQ的斜率乘积；

②点M满足，直线MQ与椭圆的另一个交点为N，求的值．

21.已知函数．

若，求函数的单调性；

若函数有两个零点，求实数a的取值范围．

(二）选考题:共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.

22.(本小题满分10分）选修4-4坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，曲线：为参数以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线l的极坐标方程为．
(1)求曲线的极坐标方程与直线l的直角坐标方程；
(2)若直线l与，在第一象限分别交于A，B两点，P为上的动点，求面积的最大值．

23.(本小题满分10分）选修4-5不等式选讲

已知函数，，且的最大值为1．

求实数m的值；若，，，求证：
 

大庆铁人中学高三冲刺模拟试题（二）理科数学试题答案

1.   D  2.B  3.B  4.C  5.B  6.C  7.B  8.A  9.D  10.A  11.A  12.B

13.   14.   15.13    16.①③

17.解：  时，，又时，  满足上式，，

，，，，

又，，解得，，，；

，

．

18.解：(1)因为，所以．
因为，
所以该天居家自主学习和锻炼身体总时间在的学生有20人．
所以从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间在的概率为．
(2)由图中数据可知，该天居家自主学习和锻炼身体总时间在和的人分别为5人和3人．
所以X的所有可能取值为0，1，2，3．
，，
，．
所以X的分布列为：

所以数学期望．
(3)样本中的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间的平均数在．
19.解：延长BA与EF相交于点P，连接PD，则直线 PD就是平面ABCD与平面DEF的交线．
因为，，所以AF是的中位线，故，
因为，所以，且，
所以四边形ACDP是平行四边形，所以，
因为面DEF，面DEF，
所以平面DEF．
在平面ABEF内，过点A作FE的平行线交BE于点G，又，所以四边形AGEF为平行四边形，所以，，，又因为，所以，
所以为直角三角形，
且，，．
在平面ABEF内，过点A作AB的垂线交EF于点H，
又因为平面平面ABEF，平面平面，
所以面ABCD．
以A为坐标原点，AD的方向为x轴正方向，AB的方向为y轴正方向，AH的方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
则0，，0，，2，，，所以，，设是平面ECD的法向量，
则，即，所以可取．
因为是平面ABEF的法向量，
所以，
所以平面ABEF与平面ECD所成角的余弦值．

20.20.解：已知

由得：，代入椭圆C的方程：

．

由可得：．设直线l：，

联立直线l与椭圆C的方程：得恒成立，

．

设，
设，

于是．

在椭圆上，，，，

则

由可知，    ．

21.解：，，
设，显然在上单调递增，又，
故时，单调递减，时，单调递增．

函数的定义域为，
由，

当时，，此时单调递增，最多只有一个零点；

当时，令，由，可知函数单调递增，
又，，可得存在，使得，有，可知函数的减区间为，增区间为．若函数有两个零点，必有，得．

又由．令，有，
令，可得，故函数的增区间为，减区间为，有．

当时，，．

可得此时函数有两个零点．

由上可知，若函数有两个零点，则实数a的取值范围是．

22.解：(1)依题意得，曲线的普通方程为，
曲线的极坐标方程为，
直线l的直角坐标方程为
(2)曲线的直角坐标方程为，由题意设，，
则，即，得或舍，
，则，
到l的距离为．
以AB为底边的的高的最大值为．
则的面积的最大值为．

23.解：因为，
当时，取到等号，
所以，解得，
由，
所以，
所以，
当且仅当时，取等号．