2021兰州第二十七中学高三下学期5月第六次月考数学（理）试卷含答案
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高三第六次月考（理科数学）
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.满分150分, 考试时间为120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（下列各题只有一个选项符合要求，请将正确选项的代码填入答题卡中，每小题5分，共60分）
1．已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2．若复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3．已知为等差数列，，，则其前10项和（ ）
A. B. C. D.
4．若，是平面外的两条不同直线，且∥，则“∥”是“∥”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5. 在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为（ ）
A. B. C. D.
6.已知，，则（ ）
A. B. C. D.
7.已知向量，，若，则（ ）
A.10 B.2 C. D.
8.我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题（意为）：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”那么，此人第3天和第4天共走路程是（ ）
A.72里 B.60里 C.48里 D.36里
9．某几何体的正视图、侧视图如图所示，则该几何体的俯视图不可
能为（ ）
正视图 侧视图
10．函数在区间的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
11.矩形中，，，点为中点，沿把折起，点到达点，使得平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
- B．
C． D．
12．已知双曲线C：（）的离心率为，、双曲线C的左、右焦点，过点的直线与双曲线C在第一象限的交点P满足：，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题 (本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在答题卡的横线上)
13.曲线在处的切线斜率为，则= .
14.已知函数 ，则方程的实数根的个数为 .
15．若变量满足约束条件，函数的最小值为1，则的值为 ．
16. 对一个物理量做次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差，为使误差在的概率不小于0.9545，至少要测量_____次（若，则）．
三、解答题 (共70分，17~21题为必答题，22、23为选做题，考生根据要求作答.)
（一）必考题：共60分.
17． (本小题满分12分)
已知数列是递增的等比数列，，数列的前项和为．
(1)求．
(2)求使成立的的取值范围．
18． (本小题满分12分)
某高校筹办大学生运动会，设计两种赛事方案：方案一、方案二．为了了解运动员对活动方案是否支持，对全体运动员进行简单随机抽样，抽取了100名运动员，获得数据如下表：
| 方案一 | 方案二 | ||
支持 | 不支持 | 支持 | 不支持 | |
男运动员 | 20人 | 40人 | 40人 | 20人 |
女运动员 | 30人 | 10人 | 20人 | 20人 |
假设所有运动员对活动方案是否支持相互独立．
（1）根据所给数据，判断是否有%的把握认为方案一的支持率与运动员的性别有关?
（2）在抽出的100名运动员中，按是否支持方案二分层抽样抽出了5人，从这5人中随机抽取2人，求抽取的2人中支持方案二的人数X的分布列及数学期望.
附：，．
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
19.（本小题满分12分）
如图，在三棱柱中，是边长为2的等边三角形，平面平面，四边形为菱形，，与相交于点D.
（1）求证：.
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
20．（本小题满分12分）
已知椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为，右顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，斜率为2的直线经过点A，且点F到直线的距离为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）将直线绕点A旋转，它与椭圆C相交于另一点P，当B，F，P三点共线时，试确定直线的斜率．
21.(本小题满分12分)
已知函数．
（1）求的单调递增区间．
（2）若函数有且仅有两个零点，求的值．
（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系中，曲线的参数方程：（为参数），曲线的普通方程：，以原点O为极点、轴正半轴为极轴，并取与直角坐标系相同的长度单位，建立极坐标系.
（1）分别求曲线、曲线的极坐标方程；
（2）射线与曲线、曲线的交点分别为P、Q（均异于点O），，求的面积.
- （本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】
（1）求函数的最大值；
（2）若求的最小值.
高三第六次月考理科数学答案
1——5：BDCAC 6——10：ADACB 11——12：DC
13.-4 14.2 15. 16.32
17.（1）因为数列是递增的等比数列，所以．
因为，所以，所以
则． …………6分
10．
因为，所以即
因为，所以 …………12分
18.解：
（1）
因此，有的把握认为认为方案一的支持率与运动员的性别有关. ……………4分
11．在方案二中的100名女运动员中按分层抽取5人，这5人中支持的3人，不支持的2人.
由题意可知，
X | 0 | 1 | 2 |
P |
所以抽取的2人中支持方案二的人数X的数学期望为1.2 ………………………12分
19.解：（1）侧面是菱形，D是的中点，
∵，∴.
∵平面平面，且平面，
平面平面，
∴平面，平面，
∴.………………………………………………………………4分
（2）由棱柱的定义知：在三棱柱中，平面平面，
∴平面与平面所成的锐二面角与二面角相等.
∵平面，∴.
如图，以D为原点，以，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.
由已知可得，，，，
∴，，，，.
设平面的一个法向量，，，
由，，得，可得.
∵平面平面，，∴平面，
∵平面的一个法向量是，
∵
即平面与平面所成锐二面角的余弦值是 .………12分
20.解：（1）由题意知，直线的方程为，，
右焦点到直线的距离为
又椭圆的离心率为，即，将此代入上式解得，，椭圆的方程为； …………6分
（2）由（1）知，， 直线的方程，
联立方程组，
解得或（舍），即，
直线的斜. …………12分
21.【解析】（1）
若，，当时；
若，，当时；
若，，当时；
综上所述，当时的单调递增区间为，当时的单调递增区间为，当时的单调递增区间为． …………6分
（2）有两个零点即与有两个交点．
当时，，此时无零点；
当时，由（1）可得在单调递增，单调递减，单调递增，
当时取得极小值
因为与有两个交点，所以，
即（不合题意舍去）
当时，由（1）可得在单调递减，单调递增，单调递减，
当时取得极小值
因为与有两个交点，所以，
即 …………12分
综上所述，．
22. (1)直线的普通方程为，化为极坐标方程为
所以 ，所以直线的极坐标方程为 ………… 则
因为曲线C过极点，所以． …………5分
- 因为曲线C是圆心为C（1，），半径为2的圆，AB为圆C 的直径
所以△PAB为直角三角形，PC为△ABP边AB上的中线，
所以
所以点G的轨迹是以C（1，）为圆心，为半径的圆
则点G的轨迹方程为 …………10分
23.(1)解：
当时， 则
当时， 则
当时，此时无解
综上所述的解集为． …………5分
（2）由图可知，当时，，所以
因为，
所以
因为，所以（当且仅当即时等号成立）
所以
则的最小值为15． …………10分
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