2021兰州第二十七中学高三下学期5月第六次月考数学（文）试卷含答案

2020－2021学年度第二学期高三数学(文科)

第六次月考试卷

一．选择题（本大题共12小题，每题5分，满分60分.在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．若复数满足，则（    ）

A．1 B．2 C． D．

3．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件

4．对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ）

A． B．  C．D．

5．函数的大致图象是（    ）

A． B．

C． D．

6.  已知向量且，则向量与的夹角为(   )
A.  B. C.  D.

7．在中，内角所对的边分别为，则的值等于(   )

A. B. C. D.

8．已知.则下列结论不正确的是

A.  B. C.  D.

9．.已知函数，设，，，则的

大小关系是

A.  B.  C.  D.

10．为了给数学家帕西奥利的《神圣比例论》画插图，列奥纳多·达·芬奇给他绘制了一些多面体，如图的多面体就是其中之一．它是由一个正方体沿着各棱的中点截去八个三棱锥后剩下的部分，这个多面体的各棱长均为2，则该多面体外接球的体积等于（    ）

A． B．   C． D．

11．已知双曲线的右焦点为F，虚轴的上端点为B，点P，Q在双曲线上，且点为线段PQ的中点，，双曲线的离心率为e，则(   )
A. B. C. D.

12．当时，函数的图象在直线的下方，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知向量，，且与垂直，则_____________.

14．.设变量x，y满足，则目标函数z＝2x－3y的最小值为            

15．执行如图所示的程序框图，若输出的，则空白判断框中可填入的条件是        

16．已知两条不同的直线两个不重合的平面给出下面五个命题：

①②

③④

⑤

其中正确命题的序号是_____________.

三．解答题（本大题共6小题，满分70分.解答须写出必要的文字说明或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

（12分）已知公差不为0的等差数列满足，且，，成等比数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和．

18．(本小题12分) （本小题满分12分）2021年3月5日，人社部和全国两会政府工作报告中针对延迟退休给出了最新消息，人社部表示正在研究延迟退休改革方案，两会上指出十四五期间要逐步延迟法定退休年龄.现对某市工薪阶层关于延迟退休政策的态度进行调查，随机调查了50人，他们月收入的频数分布及对延迟退休政策赞成的人数如下表.

（1）根据所给数据，完成下面的列联表，并根据列联表，判断是否有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点”对延迟退休政策的态度有差异；

（2）若采用分层抽样从月收入在[25，35）和[65，75）的被调查人中选取6人进行跟踪调查，并随机给其中3人发放奖励，求获得奖励的3人中至少有1人收入在[65，75）的概率.

19．(本小题12分) （12分）如图，在直四棱柱中，底面是边长为的菱形，且，、分别为、的中点．

（1）证明：平面；

（2）若，求点到的距离．

20．(本小题12分) （本小题满分12分）

已知函数，

（1）设曲线在点处的切线斜率为，曲线在点处的切线斜率为，求的值；

（2）若，设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值.

21．(本小题12分)

已知椭圆，其上顶点与左右焦点围成的是面积为的正三角形．

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆的右焦点的直线(的斜率存在)交椭圆于两点，弦的垂直平分线交轴于点，问：是否是定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．

22．(本小题满分10分) 请考生在（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．

22．（本题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线的直角坐标方程；

（2）已知点的直角坐标为，与曲线交于两点，求．

23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】

已知函数，．

（1）求函数的图象与直线围成区域的面积；

（2）若对于，，且时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

 兰州市二十七中2021届高三第六次月考试卷

文 科 数 学答案

一、选择题：

1． D  2． C  3． B  4． D  5． A  6． C.  7．A  8．C.   9． B. 10． D 11． A．12 D

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．    14． -4  15． 16．①④ ⑤

三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【解析】（1）设等差数列的公差为，由，，成等比数列，可得，

即，解得或（舍），所以数列的通项公式．….6

（2）由（1）得，所以，

可得，

两式相减得………………………………..8

，

所以．…………………….12

18． 解: (1)列联表如下

…………………………………………………………………………………………3分

，所以没有99%的把握认为“月收入以55百元为

分界点”对延迟退休政策的态度有差异；  …………………………………………………6分

（3）按照分层抽样方法可知，月收入在[25，35）的抽4人，记为{a，b，c，d}，月收入在[65，75）的抽2人，记为{A，B}，则从6人中任取3人的所有情况为：{A，B，a}、{A，B，b}、{A，B，c}、{A，B，d}、{A，a，b}、{A，a，c}、{A，a，d}、{A，b，c}、{A，b，d}、{A，c，d}、{B，a，b}、{B，a，c}、{B，a，d}、{B，b，c}、{B，b，d}、{B，c，d}、{a，b，c}、{a，b，d}、{ a，c，d }、{b，c，d}，共20种，                   ……………………10分

其中至少有一人月收入在[65，75）的情况有16种，所以3人中至少有1人月收入在[65，75）

的概率为.      …………………………………………………………………12分

19．【解析】（1）证明：连接交于点，连接，

因为四边形为菱形，且，为的中点，

因为为的中点，所以，且，在直四棱柱中，且，为的中点，则且，且，所以，四边形为平行四边形，所以，，又∵，，，∴平面，∴平面．………………..6

（2）解：若，则和为等边三角形，，

平面，平面，，

，则，由勾股定理可得，同理，

连接，则，所以，所以，

而，设点到面的距离为，

则由（1）知及，得，解得，

所以点到面的距离．………………12

20．（1）因为，所以，故； ………2分

又因为，所以，故，…………4分

所以                                        …………………5分

（2） （），，又点为，

所以在点处的切线方程为，

故当时，；当时，，

所以，（）      …………………7分

则

，                         …………………10分

由得，由得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得极小值，也是最小值。故所求最小值为                    …………………12分

21． 【解析】（1）为正三角形，，可得，

且，，∴椭圆的方程为．……………….5

（2）分以下两种情况讨论：

①当直线斜率不为0时，设其方程为，且，，

联立，消去得，

则，且，………………7

∴弦的中点的坐标为，……………………8

则弦的垂直平分线为，……………..9

令，得，，

又

，；……………10

②当直线斜率为0时，则，，则，

综合①②得是定值且为4．………………………………………..12

22． 【解析】（1）由，得，

又，所以，即．………………….5

（2）把直线参数方程，得，

，，…………………………………7

由于，所以异号，

．……………10

23． （1）由与围成的区域是，如图所示，其中，，，所以，到直线的距离为3，故所求面积为．……………5

（2）因为，，且，

所以，即，

若不等式恒成立，则有，…………7

即，解不等式，

可得或或，解之得或，

所以实数的取值范围为．………………………..10