2021巴州二中高三第六次月考数学（理）试卷含答案

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巴州二中2020-2021学年第一学期高三年级第六次考试

数学（理科）试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，则

A．  B．  C．  D．

2．设，则=

A．2        B．       C．       D．1

3．若平面上单位向量满足，则向量的夹角为

A．   B．   C．   D．

4．已知直线l是平面和平面的交线，异面直线a，b分别在平面和平面内．
命题p：直线a，b中至多有一条与直线l相交；
命题q：直线a，b中至少有一条与直线l相交；
命题s：直线a，b都不与直线l相交．
则下列命题中是真命题的为

A．   B．  C．    D．

5．如图，矩形ABCD的四个顶点的坐标分别为正弦曲线和余弦曲线在矩形ABCD内交于点F，向矩形ABCD区域内随机投掷一点，则该点

落在阴影区域内的概率是

A．  B．  C．  D．

6．函数的部分图象如图所示，则的值为

A．  B．  C．  D．

7．    抛物线y＝－4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是

A．－     B．－        C．     D．

8.  甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相,则甲、乙两人中至少有一人站在两端的概率为

A．    B．    C．   D．

9． 已知直线l，m，平面α、β、γ，给出下列命题：

①l∥α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m；②α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；

③α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β；        ④l⊥m，l⊥α，m⊥β，则α⊥β．

其中正确的命题有（　　）

A．1个  B．2个  C．3个  D．4个

10．公元四世纪的古希腊数学家佩波斯提出：蜂巢的优美形状，是自然界最有效劳动的代

表．他猜想人们所见到的截面呈六边形的蜂巢，是蜜蛑采用最少量的蝉蜡建造而成的．如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的顶点称为“晶格点”，重复的算作一个“晶格点”，已知第一行有1个六边形，第二行有2个六边形，每行比上一行多一个六边形六边形均相同，设图中前n行晶格点数满足，则

A．101   B．123   C．141   D．150

11．已知函数是单调递增函数，则实数a的取值范围是

A．     B．    C．  D．

12．设f(x)是定义在R上的函数，若存在两个不相等的实数x1，x2，使得＝，则称函数f(x)具有性质P，那么下列函数中，不具有性质P的函数为(　　)

①f(x)＝②f(x)＝|x2－1|；③f(x)＝x3＋x；④f(x)＝2|x|.

A．①         B．②          C．③        D．④,

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．若展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项为        .

14.满足约束条件，则的最大值______

15．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则角______．

16．已知矩形中，是CD边的中点．现以AE为折痕将 折起，当三棱锥的体积最大时，该三棱锥外接球的表面积为______．

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．(12分)已知正项等比数列中，，且的等差中项为．

(1)求数列的通项公式；

(2)若，数列的前n项和为，数列满足，为数列的前n项和，求.

18．(12分)习近平总书记在湖南省湘西州十八洞村考察时首次提出“精准扶贫”概念，精准扶贫成为我国脱贫攻坚的基本方略．为实现有效利用扶贫资金，增加贫困村民的收入，扶贫工作组结合某贫困村水质优良的特点，决定利用扶贫资金从外地购买甲、乙、丙三种鱼苗在鱼塘中进行养殖试验，试验后选择其中一种进行大面积养殖，已知鱼苗甲的自然成活率为0.8.鱼苗乙、丙的自然成活率均为0.9，且甲、乙、丙三种鱼苗是否成活相互独立.

（1）试验时从甲、乙，丙三种鱼苗中各取一尾，记自然成活的尾数为，求的分布列和数学期望；

（2）试验后发现乙种鱼苗较好，扶贫工作组决定购买尾乙种鱼苗进行大面积养殖，为提高鱼苗的成活率，工作组采取增氧措施，该措施实施对能够自然成活的鱼苗不产生影响.使不能自然成活的鱼苗的成活率提高了50%.若每尾乙种鱼苗最终成活后可获利10元，不成活则亏损2元，且乙种鱼苗中的每一尾是否成活也相互独立，扶贫工作组的扶贫目标是获利不低于37.6万元，问需至少购买多少尾乙种鱼苗？

19、(12分)如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E是CD的中点，O为AE的中点，以AE为折痕将△ADE向上折起，使D到P，且PC＝PB

（1）求证：PO⊥面ABCE．

（2）求AC与面PAB所成角θ的正弦值．

20．已知椭圆过点（0，1），且离心率为．直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q、P，与椭圆分别交于点M、N，各点均不重合且满足．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若λ1+λ2＝﹣3，试证明：直线l过定点并求此定点．

21．(12分)已知函数，其中为正实数．
（1）若函数在处的切线斜率为2，求的值；
（2）若函数有两个极值点，求证：．

(二)选考题：请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分。

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系xOy中，直线l的方程是，曲线C的参数方程是

,以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
    （1）求直线l和曲线C的极坐标方程；
    （2）若是曲线C上一点，是直线l上一点，求的最大值．

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知．
（1）求不等式的解集；

（2）若的最小值为m，正实数，b，c满足，

求证：．

数学（理科）答案

一、选择题：只有一项符合题目要求（共12小题，每小题5分，共60分）

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.、10   14、2    15、 .   16、

三、解答题：

17.解：设等比数列的公比为，
由题意，得
解得
所以 
由得，
，
，
，

．

18、【解析】（1）记随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，         ……1分

则，

，

，

.                                ……3分

故的分布列为

.           ……6分

（2）根据已知乙种鱼苗自然成活的概率为0.9，    

依题意知一尾乙种鱼苗最终成活的概率为，      ……7分

所以一尾乙种鱼苗的平均收益为元.          ……9分

设购买尾乙种鱼苗，为购买尾乙种鱼苗最终可获得的利润，

则，解得.                          ……11分

所以需至少购买40000尾乙种鱼苗，才能确保获利不低于37.6万元.    ……12分

19.解：（1）PA＝PE，OA＝OE∴PO⊥AE（1）

取BC的中点F，连OF，PF，∴OF∥AB，∴OF⊥BC

因为PB＝PC∴BC⊥PF，所以BC⊥面POF

从而BC⊥PO（2）

由（1）（2）可得PO⊥面ABCE

（2）作OG∥BC交AB于G，OG⊥OF如图，建立直角坐标系，

设平面PAB的法向量为

AC与面PAB所成角θ的正弦值sinθ＝|cos＜＞|＝

20．解：（1）由题意可知，解得：，

∴椭圆的标准方程为：；

（2）由题意设P（0，m），Q（x0，0），M（x1，y1），N（x2，y2），

设直线l的方程为x＝t（y﹣m），

由知，（x1，y1﹣m）＝λ1（x0﹣x1，﹣y1），∴y1﹣m＝﹣y1λ1，

由题意λ1≠0，∴，

同理由知，，

∴λ1+λ2＝﹣3，∴y1y2+m（y1+y2）＝0  ①，

联立方程，消去x得：（t2+3）y2﹣2mt2y+t2m2﹣3＝0，

∴需△＝4m2t4﹣4（t2+3）（t2m2﹣3）＞0  ②，

且有，③，

把③代入①得：t2m2﹣3+m•2mt2＝0，∴（mt）2＝1，

由题意mt＜0，∴mt＝﹣1，满足②式，

∴直线l的方程为x＝ty+1，过定点（1，0），即（1，0）为定点．

21.【答案】解：因为，
所以，
则，所以a的值为
，函数的定义域为，
若，即，则，此时的单调减区间为；
若，即，则的两根为，
此时的单调增区间为，，
单调减区间为
所以当时，函数有两个极值点，，且，．
因为

，
要证，只需证
构造函数，则，
在上单调递增，又，，且在定义域上不间断，
由零点存在定理，可知在上唯一实根，且
则在上递减，上递增，所以的最小值为，
因为，
当时，，则，
所以恒成立．
所以，
所以，得证

22.【答案】解：Ⅰ直线l的方程是，转换为极坐标方程为，
曲线C的参数方程是为参数转换为直角坐标方程为，转换为极坐标方程为．
Ⅱ点是曲线C上一点，
所以：，所以，
点是直线l上一点，
所以，所以，
，当时，最大值为．
 

23.【答案】解：
当时，由，得，此时无解；
当时，由，得，此时的解为；
当时，由，解得，此时的解为．
综上，不等式的解集为；
证明：，
故的最小值为，．

，
等号当且仅当，即时成立．
，，
，
即．