2024年上海市梅陇中学中考三模数学试卷含详解

这是一份2024年上海市梅陇中学中考三模数学试卷含详解，共23页。试卷主要包含了假如，那么a的取值范围为等内容，欢迎下载使用。

请注意：
1．本试卷含三个大题，共25题；请按照由易到难的顺序答题，遇到难题可暂时跳过；
2．答题时，务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答；
3．除第一、二大题外，其余各题都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上、】
1. 某市参加中考的学生人数约为人．对于这个近似数，下列说法正确的是（ ）
A. 精确到百分位，有3个有效数字B. 精确到百位，有3个有效数字
C. 精确到百分位，有5个有效数字D. 精确到百位，有5个有效数字
2. 下列方程中有实数根的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知一次函数的图象经过点和点，如果，那么x的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
4. 贾老师从某班随机选取了10位同学上周在校的劳动次数，绘制成如图所示的频数分布直方图（每组包括最小值，不包括最大值）．随后他将其中2个同学的劳动次数分别用字母a、b代替，得到数据：1，5，4，1，a，3，2，b，3，4．假如，那么a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
5. 七巧板由五个等腰直角三角形与两个平行四边形（其中一个平行四边形是正方形）组成．用七巧板可以拼出丰富多彩的图形，图中的正方形就是由七巧板拼成的．下面四个选项中，不正确的是（ ）

A. 用一副七巧板之中的三块板可以拼出一个正方形
B. 用一副七巧板之中的四块板可以拼出一个正方形
C. 用一副七巧板之中的五块板可以拼出一个正方形
D. 用一副七巧板之中的六块板可以拼出一个正方形
6. 如图，已知和外切，半径长分别为和．如果半径长是的与、都相切，那么符合题意的最多有⋯（ ）．
A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】
7 计算：______．
8. 如图，在数轴上，点A，B分别表示数2，．如果点B在点A的右侧，那么x的取值范围是______．
9. 在实数范围内因式分解：______．
10. 针对A商品，某商场推出了“第二件半价”的营销广告，那么购买两件A商品相当于享受了打几折的优惠？______．
11. 如果关于x一元二次方程有实数根，那么a的取值范围是______．
12. 已知近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，若200度的近视眼镜的镜片焦距为米，则y与x之间的函数关系式是 ____．
13. 甲、乙两人玩“石头、剪刀、布”的游戏，两个人第一次出手就可以分出胜负的概率是______．
14. 有6个正整数，其平均数是5，中位数是4，将这6个正整数之中最大数记为a，那么a的最大值为______．
15. 如图，在正六边形中，如果向量，，那么向量为______（用向量，表示）
16. 如果三个大小形状完全一样的平行四边形能够围成一个正六边形，那么这样的平行四边形的其中一个内角的度数为______°（只填写内角是锐角的角的度数）．
17. 在中，，，，点D是边的中点．以分别以A、B为圆心，为半径画弧，分别与的边相交于点D、E、F、G（如图所示），那么图中的阴影面积为______．
18. 在半径长为1米，圆心角为扇形铁皮上剪裁出一个正方形铁皮，那么这个正方形铁皮的边长a的取值范围是______米．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19. 计算：．
20. 解方程组．
21. 已知：如图，在中，，，，以点C为旋转中心旋转，点A、B的对应点分别记为点、．当点落在的边上（不与点A重合），求线段的长．

22. 在城市A地气象台测得台风中心在该地正西方向300千米的B处正以每小时26千米的速度沿射线（北偏东方向）移动，如果距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域．假如这次台风从点B位置沿北偏东方向移动3小时后，方向转为北偏东方向继续行进．请问：城市A是否受到台风的影响？如果受到影响，请计算影响的时间：如果不影响，请说明理由？（结果保留一位小数，参考数据：）
23. 如图，四边形是菱形，过点A作、，垂足分别为点E、F，分别交于点G、H．
（1）求证：；
（2）延长相交于点P，当时，求证：．
24. 如图，在直角坐标平面xOy中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴正半轴交于点C，顶点为P，点A坐标为．
（1）求顶点P的坐标（用含a的代数式表示）：
（2）将抛物线向下平移后经过点，顶点P平移至，如果锐角正切值为，求a的值．
25. 如图，已知点是上的一点，．点是射线上的一个动点，以为圆心，以为半径画弧交于点，射线交于点，射线与射线相交于点．
（1）当点在半径上，求证：；
（2）当点在半径的反向延长线上，点为弦的中点，求线段的长；
（3）当点在半径的反向延长线上，且，求线段的长．
2023学年第二学期学校初三数学练习（二）
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上、】
1. 某市参加中考的学生人数约为人．对于这个近似数，下列说法正确的是（ ）
A. 精确到百分位，有3个有效数字B. 精确到百位，有3个有效数字
C. 精确到百分位，有5个有效数字D. 精确到百位，有5个有效数字
【答案】B
【分析】本题考查是科学记数法与有效数字，先把科学记数法表示的数还原，看6在原数中的位置就是精确到的数位，而有效数字是9，0，6，从而可得答案．
【详解】解：∵，
∴它有3个有效数字，9，0，6，精确到百位．
故选B．
2. 下列方程中有实数根的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【分析】本题考查解无理方程，分别解二次根式的意义及无理方程逐一进行判断即可．
【详解】解：A、∵，
∴，
∵，
∴无解；该选项不符合题意；
B、∵，
∴，
∴无解；该选项不符合题意；
C、∵，
∴，
解得该不等式组无解，
∴无实数解；原方程不符合题意；
D、∵，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴，
故方程有实数根，符合题意；
故选D．
3. 已知一次函数的图象经过点和点，如果，那么x的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，一次函数与不等式的关系，先判断出y随x增大而减小，再根据一次函数图象在x轴上方时自变量的取值范围为可得答案．
【详解】解：∵一次函数的图象经过点和点，，
∴y随x增大而减小，
∴当一次函数图象在x轴上方时自变量的取值范围为，即时，x的取值范围为，
故选：A．
4. 贾老师从某班随机选取了10位同学上周在校的劳动次数，绘制成如图所示的频数分布直方图（每组包括最小值，不包括最大值）．随后他将其中2个同学的劳动次数分别用字母a、b代替，得到数据：1，5，4，1，a，3，2，b，3，4．假如，那么a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】本题考查的是数据的整理，频数分布直方图，直接整理数据可得答案．
【详解】解：∵，
整理数据可得：大于等于0小于3的数据有1， 1， 2，共3个；
大于等于3小于6的数据有5，4，a，3，3，4．共6个；
∴，
故选B
5. 七巧板由五个等腰直角三角形与两个平行四边形（其中一个平行四边形是正方形）组成．用七巧板可以拼出丰富多彩的图形，图中的正方形就是由七巧板拼成的．下面四个选项中，不正确的是（ ）

A. 用一副七巧板之中的三块板可以拼出一个正方形
B. 用一副七巧板之中的四块板可以拼出一个正方形
C. 用一副七巧板之中的五块板可以拼出一个正方形
D. 用一副七巧板之中的六块板可以拼出一个正方形
【答案】D
【分析】本题主要考查了七巧板拼图，正确理解题意画出示意图是解题的关键．
【详解】解：如图所示，用一副七巧板之中的三块或四块或五块都可以拼成正方形，但是六块不可以拼成正方形

故选：D．
6. 如图，已知和外切，半径长分别为和．如果半径长是的与、都相切，那么符合题意的最多有⋯（ ）．
A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个
【答案】C
【分析】本题主要考查了圆与圆的位置关系，圆与圆相切分为外切合内切两种情况，据此分与和一内切和一外切，与和两两外切，与和两两内切，三种情况画出示意图求解即可．
【详解】解：如图所示，与和一内切和一外切有两种情况，与和两两外切有两种情况，与和两两内切有两种情况，
故选：C．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】
7. 计算：______．
【答案】##
【分析】本题考查的是合并同类项，直接把同类项的系数相加减即可．
【详解】解：，
故答案为：
8. 如图，在数轴上，点A，B分别表示数2，．如果点B在点A的右侧，那么x的取值范围是______．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数与数轴，解一元一次不等式，根据数轴上越靠近正方向的数越大可得，解不等式即可得到答案．
【详解】解：∵在数轴上，点A，B分别表示数2，．点B在点A的右侧，
∴，
解得，
故答案为：．
9. 在实数范围内因式分解：______．
【答案】
【分析】本题考查的是在实数范围内分解因式，先提取公因式，再利用公式分解因式即可．
【详解】解：；
故答案为：
10. 针对A商品，某商场推出了“第二件半价”的营销广告，那么购买两件A商品相当于享受了打几折的优惠？______．
【答案】
【分析】本题考查一元一次方程的应用，找到正确的等量关系是解题关键．根据题意设商品原价x元，则第二件商品元，买两件商品共打了y折，列出方程即可求解．
【详解】解：设商品原价x元，则第二件商品元，买两件商品共打了y折，根据题意可得：
，
解得：，
即购买两件A商品相当于享受了打折的优惠．
故答案为：．
11. 如果关于x的一元二次方程有实数根，那么a的取值范围是______．
【答案】且
【分析】本题主要考查一元二次方程定义和根的判别式，根据一元二次方程根的判别式可进行求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根，
∴，而且
解得：且；
故答案为：且．
12. 已知近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，若200度的近视眼镜的镜片焦距为米，则y与x之间的函数关系式是 ____．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，设，根据已知200度的近视眼镜镜片的焦距是米，求出的值即可．根据题意特意求出k的值是解题的关键．
【详解】解：∵题意近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，
∴设，
∵点在此函数解析式上，
∴，
∴，
故答案为：．
13. 甲、乙两人玩“石头、剪刀、布”的游戏，两个人第一次出手就可以分出胜负的概率是______．
【答案】
【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到两个人第一次出手就可以分出胜负的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】解：分别用表示“石头、剪刀、布”，列表如下：
由表格可知，一共有9种等可能性的结果数，其中两个人第一次出手就可以分出胜负的结果数有6种，
∴两个人第一次出手就可以分出胜负的概率为，
故答案为：．
14. 有6个正整数，其平均数是5，中位数是4，将这6个正整数之中的最大数记为a，那么a的最大值为______．
【答案】
【分析】本题考查的是平均数，中位数的含义，先计算总和为，结合中位数与为最大数，进一步解答即可得到答案．
【详解】解：∵6个正整数，其平均数是5，
∴6个数好和为，
∵中位数是4，
∴中间两个数的和为，
∴剩余4个数的和为，
∵将这6个正整数之中最大数记为a，
∴6个数分别为：，，，，，，
∴，
故答案为：
15. 如图，在正六边形中，如果向量，，那么向量为______（用向量，表示）
【答案】##
【分析】本题主要考查了向量的线性运算，菱形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，正六边形的性质等等，设正六边形的中心为点O，连接，先证明都是等边三角形，进而证明四边形和四边形都是菱形，即可推出，，据此可得答案．
【详解】解：设正六边形的中心为点O，连接，
由正六边形的性质可得，
∴，
∴A、O、D三点共线，
∵，
∴都是等边三角形，
∴，
∴四边形和四边形都是菱形，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：．
16. 如果三个大小形状完全一样的平行四边形能够围成一个正六边形，那么这样的平行四边形的其中一个内角的度数为______°（只填写内角是锐角的角的度数）．
【答案】
【分析】本题考查的是平行四边形的性质，正六边形的性质，先计算正六边形的一个内角，再结合平行四边形的性质可得答案．
【详解】解：如图，
∵正六边形，
∴，
∵三个平行四边形全等，
∴，
故答案为：
17. 在中，，，，点D是边的中点．以分别以A、B为圆心，为半径画弧，分别与的边相交于点D、E、F、G（如图所示），那么图中的阴影面积为______．
【答案】##
【分析】本题主要考查了求不规则图形面积，解直角三角形，先解直角三角形得到，再由线段中点的定义得到，由，得到等于一个圆心角度数为90度，半径为2的扇形面积之和，再根据进行求解即可．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
∵点D是边的中点，
∴，
由作图方法可知，
∵，
∴等于一个圆心角度数为90度，半径为2的扇形面积之和，
∴
，
故答案为：．
18. 在半径长为1米，圆心角为的扇形铁皮上剪裁出一个正方形铁皮，那么这个正方形铁皮的边长a的取值范围是______米．
【答案】##
【分析】本题主要考查了解直角三角形，正方形的性质，圆的基本性质，首先正方形的边长大于0，其次当正方形的顶点D恰好在上时，此时边长最大，解直角三角形求出此时的边长即可．
【详解】解：如图所示，当正方形的顶点D恰好在上时，
由正方形的性质可得，
∴，
∴这个正方形铁皮的边长a的取值范围是，
故答案为：．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19. 计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数的运算，负整数指数幂，分数指数幂，分母有理化，先计算负整数指数幂，分数指数幂，再分母有理化和去绝对值，最后计算加减法即可．
【详解】解：
．
20. 解方程组．
【答案】或
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，先由①得到，再把代入②中得到关于y的一元二次方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：
由①得：，
把代入②得：，
整理得，
解得或，
当时，，
当时，
∴原方程组的解为或．
21. 已知：如图，在中，，，，以点C为旋转中心旋转，点A、B的对应点分别记为点、．当点落在的边上（不与点A重合），求线段的长．

【答案】的长为或．
【分析】先求解，，如图，当落在上时，过作于，
由旋转可得：，可得，当落在上时，如图，可得，再进一步求解可得答案．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，，
如图，当落在上时，过作于，
由旋转可得：，
∴，

∵，
∴，
∴，
当落在上时，如图，

∴，
∴，
综上：的长为或．
【点睛】本题考查的是旋转的性质，勾股定理的应用，解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
22. 在城市A地气象台测得台风中心在该地正西方向300千米的B处正以每小时26千米的速度沿射线（北偏东方向）移动，如果距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域．假如这次台风从点B位置沿北偏东方向移动3小时后，方向转为北偏东方向继续行进．请问：城市A是否受到台风的影响？如果受到影响，请计算影响的时间：如果不影响，请说明理由？（结果保留一位小数，参考数据：）
【答案】地不受台风影响；
【分析】如图，过作于，过作于，交于，过作于， 由题意可得：，，求解，此时地不受台风影响；再求解，，，，此时地不受台风影响；从而可得答案．
【详解】解：如图，过作于，过作于，交于，过作于，
由题意可得：，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴此时地不受台风影响；
在中，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴此时地不受台风影响；
综上：地不受台风影响．
【点睛】本题考查是与方位角相关的解直角三角形的应用，等腰三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的应用，熟练的画出图形是解本题的关键．
23. 如图，四边形是菱形，过点A作、，垂足分别为点E、F，分别交于点G、H．
（1）求证：；
（2）延长相交于点P，当时，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【分析】本题考查了菱形性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
(1)根据菱形的性质即可解决问题；
(2)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明 是等边三角形， 是等边三角形，进而可以解决问题．
【小问1详解】
证明： 四边形 是菱形，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：，
是直角三角形斜边 的中点，
由(1)知： ，
是等边三角形，

如图，连接 ，
∵四边形是菱形，
是等边三角形，
24. 如图，在直角坐标平面xOy中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴正半轴交于点C，顶点为P，点A坐标为．
（1）求顶点P的坐标（用含a的代数式表示）：
（2）将抛物线向下平移后经过点，顶点P平移至，如果锐角的正切值为，求a的值．
【答案】（1）；
（2）；
【分析】本题考查了二次函数的综合应用，角度问题，正切的定义，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.
（1）将点代入解析式可得，根据抛物线与轴正半轴交于点，得出，即抛物线开口向下，然后化为顶点式求得顶点坐标，即可求解；
（2）过点作于点，设向下平移个单位，平移后的抛物线为，根据题意得出，得出，点代入，得出，联立解方程组，即可求解；
【小问1详解】
解：∵抛物线与轴交于点
∴
∴
∵抛物线与轴正半轴交于点，
∴
∴
∴抛物线开口向下，
∴抛物线解析式为
∴
【小问2详解】
解：如图所示，过点作于点，

设向下平移个单位，平移后的抛物线为
∵，锐角的正切值为，
∴，则，，
当时，，
∴①
将点代入
②
联立①②得；
25. 如图，已知点是上的一点，．点是射线上的一个动点，以为圆心，以为半径画弧交于点，射线交于点，射线与射线相交于点．
（1）当点在半径上，求证：；
（2）当点在半径的反向延长线上，点为弦的中点，求线段的长；
（3）当点在半径反向延长线上，且，求线段的长．
【答案】（1）见解析；
（2）；
（3）
【分析】（1）根据等腰三角形的性质及三角形的外角性质即可得证；
（2）设，由等腰三角形的性质及三角形的外角性质得，再根据垂径定理的推论及等腰三角形的性质得，进而证明，利用勾股定理即可得解；
（3）证明，，再证明，，利用相似三角形的性质即可得解．
【小问1详解】
解：∵以为圆心，以为半径画弧交于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：如图，设，

∵，
∴，
∴，
∵是的中点，过圆心，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：如图，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，，，
∴，即，
解得（负值舍去）．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，熟练掌握垂径定理，圆周角定理以及相似三角形的判定及性质是解题的关键．
甲
乙