2021-2022学年上海市复旦大学二附校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年上海市复旦大学二附校八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，共12分）

1. 一次函数在轴上的截距是

A.  B.  C.  D.

2. 如图，一次函数的图象与轴的交点坐标为，则下列说法正确的是

A. 随的增大而减小
B. 关于的方程的解为
C. 当时，
D. ，
 

3. 下列方程中，有实数解的是

A.  B.  C.  D.

4. 下列说法正确的是

A. 是二项方程 B. 是无理方程
C. 是二元二次方程 D. 是分式方程

5. 下列函数中，函数值随自变量的值增大而减小的是

A.  B.  C.  D.

6. 下列命题为假命题的是

A. 四个内角相等的四边形是矩形
B. 对角线的交点到各边距离都相等的四边形是菱形
C. 有两组邻边相等的四边形是平行四边形
D. 一组邻边相等的矩形是正方形

二、填空题（本大题共16小题，共32分）

7. 一个多边形每个外角都是，这个多边形的边数是          ．
8. 若函数是关于的一次函数，那么的取值范围是______．
9. 已知直线平行于直线，且在轴上的截距是，那么这条直线的表达式______．
10. 若点，都在一次函数的图象上，，则 ______ 填“”“”或“”．
11. 将直线向上平移个单位，则平移后的新直线一定不经过第______象限．
12. 若函数的图象与两坐标轴围成的三角形面积为，那么______．
13. 二元二次方程可以化为两个一次方程，它们是______．
14. 方程的根是______
15. 方程组的解为______．
16. 在去分母解关于的分式方程的过程中产生增根，则______．
17. 平行四边形的周长是，两邻边的差是，那么这个平行四边形的较长边是______ ．
18. 菱形的对角线相交于点，若，，则菱形的面积______．
19. 平行四边形的一个内角平分线将对边分成和两个部分，则该平行四边形的周长是______．
20. 规定：是一次函数、为实数，的“特征数”若“特征数”是的一次函数是正比例函数，则直线与轴的交点坐标是______．
21. 如图，为正方形外一点，，交于点，则______
    
    
    
    
     

22. 矩形中，，，是边上的点，把沿翻折，点落到点处，当是直角三角形时，______．

三、解答题（本大题共8小题，共56分）

23. 解方程：
24. 解方程：．
25. 解方程组：．
26. 年月日，“祝融号”火星车安全驶离着陆平台，到达火星表面，开始巡视探测工作着陆点附近的火星表面照片显示，最佳探测路线有两条，西线地势平坦，行程米，东线地势稍有起伏，行程米，走西线比走东线多用小时，走西线的速度比走东线的速度每小时快米同时，为了确保安全，火星车的速度要小于米小时，问走东线、走西线的速度各是多少？
27. 甲、乙两地相距千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，轿车比货车晚出发小时，设货车行驶的时间为小时，离甲地的距离为千米如图，线段表示货车离甲地的距离千米与时间小时之间的函数关系：折线表示轿车离甲地的距离千米与时间小时之间的函数关系，请根据图象解答下列问题：
    轿车到达乙地时，货车与甲地的距离为______千米；
    求线段对应的函数表达式；
    问轿车在货车出发后经过几小时可以追上货车？

28. 已知：如图，四边形的对角线、相交于点，，．
    求证：四边形是矩形；
    如果点在边上，平分，，求证：．

29. 如图，，的长分别是关于的方程的两根，且请一起解决下列问题：
    求直线的函数表达式．
    如果为线段上一点，而且，联结，求的函数的表达式．
    在的条件下，点为坐标平面内一点，如果以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．

30. 四边形为菱形，点为对角线上的一个动点．
    如图，连接并延长交的延长线于点，连接，求证：．
    如图，若且时，求此时的度数．
    若且，如备用图，连接并延长交射线于点，连接，若是等腰三角形，求线段的长．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：当时，，
一次函数在轴上的截距是．
故选：．
代入求出值，此题得解．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线在轴上的截距是直线与轴交点的纵坐标是解题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：图象过第一、二、三象限，
，，随的增大而增大，故A，D错误；
又图象与轴交于，
的解为，故B正确；
当时，图象在轴上方，，故C错误；
故选：．
根据函数图象和一次函数的性质，可以判断各个小题中的说法是否正确，从而可以解答本题．
本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数图象与系数的关系，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
 

3.【答案】

【解析】解：选项，，
，
为非负数，
没有实数解，故A选项不符合题意；
选项，，
，
，
，
，，
，
，
，
，故B选项符合题意；
选项，由分式有意义的条件得，
方程两边乘得：，
方程无实数解，故C选项不符合题意；
选项，，
，
，
方程没有实数解，故D选项不符合题意；
故选：．
根据偶次幂的非负性判断选项；解无理方程判断选项；解分式方程判断选项；根据算术平方根的非负性判断选项．
本题考查了无理方程，分式方程，掌握偶次幂和算术平方根具有非负性是解题的关键．
 

4.【答案】

【解析】解：方程的左边是二项式，故本选项不符合题意；
B.根号内没有未知数，不是无理方程，故本选项不符合题意；
C.方程是二元二次方程，故本选项符合题意；
D.分母中不能未知数，不是分式方程，故本选项不符合题意；
故选：．
根据方程的定义，无理方程的定义，二元二次方程的定义，分式方程的定义逐个判断即可．
本题考查了方程、无理方程、二元二次方程、分式方程的定义等知识点，注意：根号内含有未知数的方程，叫无理方程，分母中含有未知数的方程，叫分式方程．
 

5.【答案】

【解析】解：、函数，在时随自变量的值增大而减小，或时随自变量的值增大而减小，故A不符合题意，
B、函数，在时随自变量的值增大而增大，或时随自变量的值增大而增大，故B不符合题意，
C、函数，随自变量的值增大而增大，故C不符合题意，
D、函数，随自变量的值增大而减小，故D符合题意，
故选：．
根据反比例函数及一次函数的增减性即可得答案．
本题考查一次函数、反比例函数的增减性，解题的关键是掌握一次函数、反比例函数的性质．
 

6.【答案】

【解析】解：、四个内角相等的四边形是矩形，是真命题；
B、因为对角线分成的四个小三角形的面积相等，且对角线的交点到各边距离都相等，所以四条边都相等，此四边形是菱形，是真命题；
C、有两组邻边相等的四边形是筝形，不是平行四边形，是假命题；
D、一组邻边相等的矩形是正方形，是真命题；
故选：．
利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断，即可确定正确的选项．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法，难度不大．
 

7.【答案】

【解析】

【分析】
利用任何多边形的外角和是 除以外角度数即可求出答案．
本题主要考查了多边形的外角和定理，已知外角求边数的这种方法是需要熟记的内容．
【解答】
解：多边形的外角的个数是 ，所以多边形的边数是 ．
故答案为： ．   

8.【答案】

【解析】解：是关于的一次函数，
，则，
故答案为：．
根据一次函数的定义得到：，由此求得的取值范围．
本题考查一次函数的定义，属于基础题，注意掌握一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量的次数为．
 

9.【答案】

【解析】解：直线平行于直线，
．
又直线在轴上的截距是，
，
这条直线的解析式是．
故答案为：．
根据互相平行的直线的解析式的值相等确定出，根据“在轴上的截距是”求出值，即可得解．
本题考查了两直线平行的问题，熟记并利用平行直线的解析式的值相等是解题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：，
随的增大而减小，
又，
，
．
故答案为：．
由，利用一次函数的性质可得出随的增大而减小，结合可得出，进而可得出．
本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．
 

11.【答案】三

【解析】解：直线向上平移个单位，
直线变为，
图象呈下降趋势，与轴交于正半轴，
图象不经过第三象限，
故答案为：三．
根据平移的性质“左加右减，上加下减”，即可找出平移后的直线解析式，此题得解．
本题考查了一次函数图象与几何变换，牢记平移的规则“左加右减，上加下减”是解题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：令，则；令，则，
函数与轴的交点分别为．
函数的图象与两坐标轴围成的三角形面积为，
，解得．
故答案为：．
先令，求出的值，再令求出的值即可得出直线与坐标轴的交点，再利用三角形的面积公式求解即可．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
 

13.【答案】，

【解析】解：，
，
，．
故答案为：，．
把看成常量，方程就是关于的一元二次方程，利用因式分解法化为两个一次方程即可．
本题考查了二元二次方程，把看成常量，方程看成关于的一元二次方程是解决本题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：，
，
，
开方得：，
开方得：，
故答案为：．
移项，系数化成，再开方即可．
本题考查了解高次方程，能把高次方程转化成低次方程是解此题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：设，．
则原方程组即可化为：
解得：
则
解得：
经检验是原方程组的解．
故答案是：
设，，即可得到一个关于，的方程组求得，的值，进而即可求得，的值．
本题主要考查了分式方程组的解法，利用换元法转化为整式方程组是解题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：，
，
解得：，
分式方程产生增根，
，
把代入中，
，
，
故答案为：．
根据题意可得，然后把的值代入整式方程中进行计算即可解答．
本题考查了分式方程的增根，根据题意求出的值后代入整式方程中进行计算是解题的关键．
 

17.【答案】

【解析】解：如图所示：
四边形是平行四边形，
，，
平行四边形的周长为，
，
，
得：，
解得：，
即较长边为；
故答案为：．
由平行四边形的性质得出对边相等，，由题意得出，，由即可求出较长边．
本题考查了平行四边形的性质、平行四边形的周长，熟练掌握平行四边形的对边相等的性质是解决问题的关键．
 

18.【答案】

【解析】解：四边形是菱形，
，，，
在中，由勾股定理得：，
，
菱形面积．
故答案为：．
由菱形的性质得，，再由勾股定理得，则，然后由菱形面积公式即可求解．
本题主要考查了菱形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出的长是解题的关键．
 

19.【答案】或

【解析】解：四边形为平行四边形，
，
，
为角平分线，
，
，
，
当时，，，
则周长为；
当时，，，
则周长为．
故答案为：或．
根据题意画出图形，由平行四边形得出对边平行，又由角平分线可以得出为等腰三角形，可以求解．
本题考查了平行四边形的性质，结合了等腰三角形的判定．注意有两种情况，要进行分类讨论．
 

20.【答案】

【解析】解：由题意得：
“特征数”是的一次函数是正比例函数，
，
，
，
直线与轴的交点坐标是，
故答案为：．
根据正比例函数的定义求出的值，然后求出直线与轴的交点坐标即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．
 

21.【答案】

【解析】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
如图，设，，则，

在中，，
，
在中，，
，
，
．
故答案为：．
根据正方形的性质和等腰三角形的性质，设，，则，再根据三角形内角和定理即可解决问题．
本题考查了正方形的性质，解决本题的关键是掌握正方形的性质．
 

22.【答案】或

【解析】解：当时，如图，

，，
点、、共线，
在矩形中，，，
在中，，
设，则，
由翻折的性质得，，，
，
在中，，
即，
解得，
；
当时，如图，

由翻折的性质得，，
四边形是正方形，
，
，
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
分两种情况画图讨论：当时，当时，根据翻折的性质和勾股定理即可解决问题．
本题考查了翻折变换，勾股定理，矩形的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
 

23.【答案】解：将原方程变形为：
，
设分，
原方程化为，
解得，分．
当时，，得，
当时，无解．
检验：把代入原方程，适合．
原方程的解是分

【解析】此方程可用换元法求解，设先求，再求，结果需检验．
在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，本题用了换元法．
 

24.【答案】解：，
设，则原方程化为：
，
整理，得，
解得：或，
当时，，
即，
解得：；
当时，，
即，
，
所以此方程无实数根；
检验：当时，，
所以都是原方程的解，
即原方程的解是，．

【解析】设，则原方程化为，求出的值，再求出的值，最后进行检验即可；
本题考查了解分式方程，能正确换元是解此题的关键．
 

25.【答案】解：，
由，得，
即或，
把这两个方程与组成方程组得：，，
解得：，，
故方程组的解为：，．

【解析】由得出，求出或，把这两个方程与组成方程组为，，再求出方程组的解即可．
本题考查了解高次方程组和解二元一次方程组，能把高次方程组转化成二元一次方程组是解此题的关键．
 

26.【答案】解：设走东线的速度是米小时，则走西线的速度是米小时，
根据题意，得，
解得或．
因为火星车的速度要小于米小时，
经检验是原方程的解．
所以符合题意．
所以．
答：走东线的速度是米小时，则走西线的速度是米小时．

【解析】设走东线的速度是米小时，则走西线的速度是米小时，根据“走西线比走东线多用小时”列出方程并解答．注意：分式方程需要验根．
本题主要考查了分式方程的应用，列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
 

27.【答案】

【解析】解：由图象可得，
货车的速度为：千米小时，
则轿车到达乙地时，货车与甲地的距离为：千米，
故答案为：；
设线段对应的函数表示为，
点，在该函数图象上，
，
解得，
即线段对应的函数表示为；
设轿车在货车出发后经过小时可以追上货车，
由题意可得：，
解得，
答：轿车在货车出发后经过小时可以追上货车．
根据图象中的数据，可以先计算出货车的速度，然后即可计算出轿车到达乙地时，货车与甲地的距离；
根据函数图象中的数据，可以计算出线段对应的函数表达式；
根据题意和中的结果，可以计算出轿车在货车出发后经过几小时可以追上货车．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用数形结合的思想解答．
 

28.【答案】证明：在和中，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
平行四边形是矩形；
过点作于，如图所示：
由得：四边形是矩形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
平分，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
．

【解析】证≌，得，再由，得四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论；
过点作于，证是等腰直角三角形，得，再证是等腰直角三角形，得，然后证≌，得，，则，即可得出结论．
本题考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的平对于性质等知识；熟练掌握矩形的判定与性质，证明≌是解题的关键．
 

29.【答案】解：解方程得或，
，
，，
设直线的函数表达式为，将，代入得：
，
解得，
直线的函数表达式为；
过作轴于，如图：

，，
∽，
，
，，，
，
，，
，
，
设的函数的表达式为，将代入得：
，
解得，
的函数的表达式为；
由可知、、，
以、为一组对边，如图：

把线段平移到，则平移到，平移到，
；
以、为一组对边，如图：

把线段平移到，则平移到，平移到，
；
以、为一组对边，如图：

平移到，则平移到，
，
综上所述，的坐标为或或．

【解析】先解方程可得、坐标，再用待定系数法即可求出直线的函数表达式；
过作轴于，由∽，可求出，，从而可得，再用待定系数法得的函数的表达式为；
分三种情况：以、为一组对边，以、为一组对边，以、为一组对边，分别画出图形，根据平移的知识，即可得的坐标为或或．
本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，相似三角形判断与性质，平行四边形等知识，解题的关键是分类思想和数形结合思想的应用．
 

30.【答案】证明：如图，四边形是菱形，
，，，
，
≌，
，
，
≌，
，
，
．
解：如图，，，，
≌，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．
四边形是菱形，，，
四边形是正方形，，
，
，
，
如图，点在边上，，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
作于点，则，
，，
，
，
，
，
，
，
；
如图，点在边的延长线上，，则，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
，
作于点，则，
，，
，
，
，
，
，
综上所述，线段的长为或．

【解析】由四边形是菱形得，，，可证明≌，得，再证明≌，得，因为，所以；
先证明≌，得，再推导出，则，得，所以；
分两种情况，一是点在边上，，可推导出，得，先求得，作于点，则，得，，，可求得，则；二是点在边的延长线上，，则，先推导出，再求得，作于点，则，，，，可求得，则．
此题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，此题难度较大，属于考试压轴题．