2021-2022学年上海市静安区市西中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年上海市静安区市西中学八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，共18分）

1. 根据变量的关系式，属于是的一次函数的是(    )
   ．

A.  B.  C.  D. 全部都是．

2. 如图，若，且，则一次函数的大致图象是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 在下列方程中，无实数根的方程有(    )
   ：
   
   
   
   
    

A.  B.  C.  D.

4. 如果关于的方程无解，那么的取值范围(    )

A. 任意实数 B.  C.  D. ．

5. 已知方程：
   ，
   
   
   ．
   这四个方程中，分式方程的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 一个多边形除了一个内角外，其余各内角的和为，则这个内角是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共12小题，共36分）

7. 直线的截距是______．
8. 已知函数，那么______．
9. 已知直线经过第二、三、四象限，则的取值范围为______．
10. 已知一次函数如果函数值随着自变量的增大而减小，那么在平面直角坐标系中，这个函数图象与轴的交点位于轴的______半轴．填正或负
11. 用换元法解分式方程时，如果设，将原方程化为关于的整式方程，那么这个整式方程是______．
12. 方程的根是______．
13. 某企业的年产值三年内从万元增加到万元，如果这三年中每年的增长率相同，在求这三年中每年的增长率时，如果设这三年中每年的增长率为，那么可以列出的方程是______．
14. 如果多边形的每个外角都是，那么这个多边形的边数是______．
15. 一个多边形的内角和是它的外角和的倍，则这个多边形的边数为______．
16. 直线经过、两点，求这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积是______．
17. 一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原多边形的边数是为______ ．
18. 如图，线段两点的坐标分别为、，在轴的下方存在点，使以点，，为顶点的三角形与全等，则点的坐标为______．

三、解答题（本大题共8小题，共66分）

19. 解方程：．
20. 解方程：．
21. 解方程：
22. 解方程组：
23. 一列火车到达站已经晚点分钟，如果将速度每小时加快千米，那么继续行驶千米便可以在站正点到达，求火车原来行驶的速度．
24. 某公司每月付给销售人员的工资有两种方案．
    方案一：没有底薪，只拿销售提成；
    方案二：底薪加销售提成．
    设件是销售商品的数量，元是销售人员的月工资，如图所示，为方案一的函数图象，为方案二的函数图象，已知每件商品的销售提成方案二比方案一少元，根据图中信息解答如下问题注：销售提成是指从销售每件商品得到的销售额中提取一定数量的费用：
    求的表达式；
    请问方案二中每月按天计付给销售人员的底薪是多少元？
    如果你是该公司销售人员，你认为应该选择怎样的薪金方案？

25. “程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽在九章算术对方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．
    判断分式方程与无理方程是否是“相似方程”，并说明理由；
    已知关于，的方程：和，它们是“相似方程”吗？如果是，请写出它们的公共解；如果不是，请说明理由；
    已知关于，的二元一次方程：和其中为常数是“相伴方程”，求的值．
26. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线过点和，且、满足．
    求直线的表达式；
    如图，直线与轴交于点，点在轴上方且在直线上，若面积等于，请求出点的坐标；
    如图，已知点，若点为射线上一动点，联结，在坐标轴上是否存在点，使是以为底边的等腰直角三角形，直角顶点为若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，属于是的一次函数，符合题意；
，属于是的一次函数，符合题意；
，属于是的一次函数，符合题意；
，不属于是的一次函数，不符合题意；
故选：．
根据一次函数的定义对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是一次函数的定义，即一般地，形如、是常数的函数，叫做一次函数．
 

2.【答案】 

【解析】解：，且，
，，
一次函数的图象经过第一、二、三象限，
故选：．
根据、的符号确定直线的变化趋势和与轴的交点的位置即可．
本题考查了一次函数的图象与系数的关系，解题的关键是了解系数与图象位置的关系，难度不大．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
不论为何值，的值不能为负数，
此方程无实数根；
，
移项，得，
方程两边平方，得，
解得：，
经检验不是原方程的解，
即原方程无实数根；
，
方程两边平方，得，
即，
解得：，
经检验和都不是原方程的解，
即原方程无实数根；
，
移项，得，
方程两边平方，得，
解得：，
经检验是原方程的解，
即原方程有实数根；
，
，
所以方程无实数根；
，
方程两边都乘，得，
解得：，
经检验是增根，
即原方程无实数根；
综合上述：有实数根的方程有，共个，
故选：．
移项后得出方程，根据算术平方根的非负性即可判断；移项后两边平方得出，求出方程的解，再进行检验即可判断；方程两边平方，求出方程的解，再进行检验即可判断；移项后两边平方，求出方程的解，再进行检验即可判断；根据根的判别式即可判断；方程两边都乘，再求出方程的解，再进行检验即可判断．
本题考查了解分式方程，根的判别式和解无理方程等知识点，能把无理方程转化成有理方程、能把分式方程转化成整式方程和能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：关于的方程无解，
，
解得：．
故选：．
根据方程无解，确定出的范围即可．
此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
 

5.【答案】 

【解析】解：，是分式方程；
，是分式方程；
，是分式方程；
，不是分式方程，
则分式方程的个数是．
故选：．
利用分式方程的定义判断即可．
此题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：设多边形的边数是，没加的内角为，
根据题意得，，
，
，．
故选：．
设多边形的边数是，没加的内角为，根据多边形的内角和公式，进行计算即可得解．
本题考查了多边形的内角和公式，根据多边形的内角和公式可得多边形的内角和是整数倍是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：当时，，
直线的截距为，
故答案为：．
代入求出值，此题得解．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，代入求出值是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
无论为何值，函数值都是，进而得出答案．
本题考查函数值，理解函数值的定义是正确解答的前提．
 

9.【答案】 

【解析】解：直线经过第二、三、四象限，
，
解得：．
故答案为：．
由直线经过第二、三、四象限，可得出，解之可得出结论．
本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“，的图象在二、三、四象限”是解题的关键．
 

10.【答案】正 

【解析】解：函数值随着自变量的增大而减小，
，
解得，
，
函数图象与轴的交点位于轴的正半轴，
故答案为：正．
根据函数值随着自变量的增大而减小，可得，求出的取值范围，可确定的符号，即可解答．
本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：设，则，原方程可变为，
，
两边都乘以得，
，
故答案为：．
设，可得，进而将原方程变为，再去分母即可．
本题考查换元法解分式方程，设，得到，进而将原方程变为是解决问题的关键．
 

12.【答案】，． 

【解析】解：，
，
，
，．
故答案为：，．
利用直接开方法解方程．
本题考查了高次方程的解，类似于解一元二次方程的直接开平方法．
 

13.【答案】 

【解析】解：企业的年产值三年内从万元增加到万元，这三年中每年的增长率相同，
设这三年中每年的增长率为，那么可以列出的方程是
．
由于某企业的年产值三年内从万元增加到万元，如果这三年中每年的增长率相同，在求这三年中每年的增长率时设这三年中每年的增长率为，那么第二年变为，然后依此类推即可列出方程．
此题主要考查了高次方程在实际问题中的应用，解题的关键是正确理解题意，然后根据题目的数量关系列出方法解决问题．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了多边形的外角和定理，理解多边形外角和中外角的个数与正多边形的边数之间的关系是解题关键．
根据多边形的外角和是度即可求得外角的个数，即多边形的边数．
【解答】
解：多边形的边数是：，
故答案为：．  

15.【答案】八 

【解析】

【分析】
本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键，要注意“八”不能用阿拉伯数字写．
根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于，外角和等于，然后列方程求解即可．
【解答】
解：设多边形的边数是，根据题意得，
，
解得，
这个多边形为八边形．
故答案为八．  

16.【答案】 

【解析】解：设一次函数解析式为，
将、代入得：
，
解得：，，
则一次函数解析式为．
当时，，
当时，，
解得，
与坐标轴的交点坐标为，
此函数与坐标轴围成的三角形面积：．
故答案为：．
设一次函数解析式为，将与坐标代入求出与的值，求出一次函数解析式；根据函数解析式计算出当时的值，当时，的值，进而得到与两坐标轴的交点坐标，然后求三角形的面积即可．
此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数与两坐标轴的交点坐标，关键是正确求出解析式．
 

17.【答案】或或． 

【解析】解：设截去一个角后，多边形的边数为，
由题意得，
解得．
因为多边形截去一角后边数可能不变，可能增加，可能减小，
原多边形可能为或或．
故答案为：或或．
根据多边形内角和公式求出截去一角后的多边形边数，再根据截去一角后多边形的边数变化情况求解．
本题考查多边形的内角和，解题关键是掌握多边形截去一个角后多边形边数可能增加，减少或不变．
 

18.【答案】或 

【解析】解：、，
，，
，
当以点，，为顶点的三角形与全等，存在两种情况：
≌，如图，

，，
四边形是平行四边形，
、，，
；
≌，如图，连接交于，过点作轴于，过点作轴于，

，，
是的垂直平分线，
，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
，
，，
，，
的坐标是；
 综合上述：的坐标是或
存在两种情况，画出图形，根据的坐标和全等三角形的性质求出即可；
本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质和判定，坐标与图形性质，勾股定理，直角三角形的性质的应用，主要考查学生的推理和计算能力，用了分类讨论思想，有一定的难度．
 

19.【答案】解：，
，
方程两边都乘，得，
即，
解得：，
检验：当时，，
当时，，
所以和都是原方程的解，
即原方程的解是，． 

【解析】方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可；
本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
 

20.【答案】解：分
分
分
解得：；分
经检验：是增根，舍去，是原方程的根，分
所以原方程的根是分 

【解析】首先移项，然后两边平方，再移项，合并同类项，即可．
本题主要考查解无理方程，关键在于掌握好方法，认真正确地进行运算，注意最后要把的值代入原方程进行检验．
 

21.【答案】解：设，，
原方程组可化为：
，
得：
，
解得：，

把代入中得：，
解得：，
，
，
解得：，
经检验：是原方程组的解． 

【解析】利用换元法设，，将原方程组可化为：，求出，的值，再解方程组，进行计算即可解答．
本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解方程中的整体思想是解题的关键．
 

22.【答案】解：原方程组可化为或，
，得，
解得，
把代入，得，
所以；
，得，
解得，
把代入，得，
所以，
综上所述，或． 

【解析】把原方程组转化为两个二元一次方程组，再利用加减消原法求解即可．
本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
 

23.【答案】解：火车原来行驶的速度为千米小时，
根据题意，得，
解得或不合题意，舍去，
经检验，是原方程的根，
答：火车原来行驶的速度为千米小时． 

【解析】火车原来行驶的速度为千米小时，根据题意可得，求解即可．
本题考查了分式方程的应用题，理解题意并建立等量关系是解题的关键．
 

24.【答案】解：设所表示的函数关系式为，由图象，得，
解得：，
所表示的函数关系式为；
每件商品的销售提成方案二比方案一少元，
把代入得，解得，
方案二中每月付给销售人员的底薪是元；
由，得的函数解析式为．
当时，解得，
当时，解得，
当时，解得，
故当销售数量为件时，两种方案相同；当销售数量小于件时，应该采用方案一；当销售数量大于件时，应该采用方案二． 

【解析】设所表示的函数关系式为，由待定系数法就可以求出解析式；
由函数图象就可以得出方案二中每月付给销售人员的底薪是元；
利用、中求出的两函数的解析式，利用不等式求出即可，即可写出选择的最好方案．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数与一元一次不等式关系的知识，充分利用图象中数据信息，正确应用待定系数法求解析式以及构造不等式是解题关键．
 

25.【答案】解：，
给方程两边同时乘以，
得，
化简得，
解得，，
，
，
，
，
，
，
舍去，，
因为分式方程与无理方程有一个相同的解，
所以分式方程与无理方程是“相似方程”；
，
，
当时，方程：和，它们是“相似方程”，
可得，
解得：；
根据题意可得，
，
，
当时，不符合题意，
当时，则，
，都是整数，
，或． 

【解析】分别求出分式方程和物理方程的解，然后根据“相似方程”的定义进行判断即可；
联立两个方程，求出公共解，应用“相似方程”的定义进行判断即可；
联立两个方程得到，再分当，当时，两种情况讨论求解即可．
本题主要考查了解分式方程，解无理方程，解二元一次方程组，解不等式组等，正确理解题意时解决本题的关键．
 

26.【答案】解：，
，，
，，
，，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的表达式为；
设直线交直线于，如图：

在中，令得，
，
面积等于，
，
，即，
，
；
在坐标轴上存在点，使是以为底边的等腰直角三角形，
当在轴上时，过作轴于，过作于，如图：

，，
，
又，
≌，
，，
设，则，
，
，
在直线上，
，
解得，
，
当在轴上，左侧时，过作轴，过作于，过作于，如图：

同理可得：，，
设，则，
，
，
解得，
，
当在轴上，右侧时，过作轴，过作于，过作于，如图：

设，
同理可证≌，
，，
，
，即，
解得，
，
，
综上所述，的坐标为或或． 

【解析】由非负数性质求出，，再用待定系数法求出直线的表达式为；
设直线交直线于，根据面积等于，可得，即得；
分三种情况：当在轴上时，过作轴于，过作于，可得≌，，，设，则，可得，代入得，即得，当在轴上，左侧时，过作轴，过作于，过作于，同理可得，当在轴上，右侧时，过作轴，过作于，过作于，设，
同理可得．
本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、等腰直角三角形等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关的坐标及相关线段的长度，再列方程解决问题．