2021-2022学年福建省福州第一中学高一下学期期中考试数学试题含解析

2021-2022学年福建省福州第一中学高一下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．若复数，则（       ）

A．2 B． C．4 D．5

【答案】B

【分析】由复数的四则运算得出，再由模长公式计算即可.

【详解】，

故选：B

2．已知向量，，若，则实数（       ）

A．1 B． C． D．

【答案】C

【分析】向量共线的充要条件.

【详解】因为，所以，所以．

故选：C．

3．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则角的最大值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题设可得，根据余弦定理有，利用基本不等式求角的范围，即可确定最大值.

【详解】由，则，

所以，，

所以，故的最大值为.

故选：B

4．P是所在平面内一点，若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题设可得，可得共线且，即可确定答案.

【详解】由题设，，故共线且，如下图示：

所以.

故选：A

5．已知向量，是单位向量，若，则与的夹角为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出的模，将两边平方，求出向量，的数量积，再根据向量的夹角公式求得答案.

【详解】∵，是单位向量，若，

∴，，,

∴.

∴，∴，∴,

由

∴与的夹角为,

故选:B.

6．已知正方体棱长为2，M，N，P分别是棱、、的中点，则平面截正方体所得的多边形的周长为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用平面基本性质作出正方体中的截面图，再由正方体的特征判断截面的性质，即可求周长.

【详解】过直线与射线分别交于，作射线交于，

连接交于，如下图示：

所以六边形即为面截正方体所得的多边形，

又M，N，P分别是棱、、的中点，易知：均为中点，

所以截面为正六边形，故周长为.

故选：C

7．表面积为的球，其内接正四棱柱（底面是正方形的直棱柱）的高是14，则这个正四棱柱的表面积等于（       ）

A．567 B．576 C．240 D．

【答案】B

【分析】由题意画出截面图形，利用正四棱柱的对角线的长等于球的直径，通过勾股定理求出棱柱的底面边长，然后求出表面积.

【详解】

设球的半径为，正四棱柱的底面边长为，作轴的截面如图，，

又因为，所以，可得：，

所以，所以，

所以正四棱柱的表面积，

故选：B

【点睛】本题主要考查了球与正四棱柱的关系，考查求几何体的表面积，属于中档题.

8．中，已知，设D是边的中点，且的面积为，则等于(       )

A．2 B．4 C．-4 D．-2

【答案】A

【解析】根据正、余弦定理求出；根据三角形面积公式求出；再根据D是边的中点，将，用和表示，再根据数量积的定义，即可求出结果．

【详解】∵，

∴，

∴，即，

∴，又角是的内角，

∴，

又，即 ，

∴；

又D是边的中点

∴

.

故选：A．

【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，同时考查了平面向量基本定理和数量积运算，属中档题．

二、多选题

9．m，n是空间中不同的直线，，，y是不同的平面，则下列说法正确的是（       ）

A．若，，，则

B．若，，，则

C．若，，则

D．若l，m是两条异面直线，且，，，，则

【答案】ACD

【分析】根据直线、平面的位置关系逐一判断即可.

【详解】由线面平行的判定可知，故A正确；

若，，，则与异面或平行，故B错误；

由面面平行的性质可知，故C正确；

l，m是两条异面直线，，，，，则存在直线使得，且相交，设确定的平面，由面面平行的判定可知，同理可得，则，故D正确.

故选：ACD

10．设，，为复数，．下列命题中正确的是（       ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】ABC

【分析】设出，，，依据复数模的运算求解即可判断A；利用复数运算法则可判断B；由共轭复数的概念可判断C；对于D，，不一定能比大小.

【详解】解：设，，，，则.

A.，

同理可得，

若，则，

则

故A正确；

B.因为，所以，

又因为，所以，故B正确；

C.若，，即，

则，故C正确；

D.若，与不一定能比大小，如，，

，满足，但与不能比大小，故D错误；

故选：ABC

11．如图所示，设、是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与、轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．在的仿射坐标系中，，．则下列结论中，正确的是（       ）

A． B．

C． D．在上的投影向量为

【答案】AD

【分析】利用平面向量的线性运算可判断A选项；利用平面向量数量积的运算可判断BC选项；利用投影向量的定义可判断D选项.

【详解】对于A选项，，A对；

对于B选项，，B错；

对于C选项，，C错；

对于D选项，，

所以，在上的投影向量为，D对.

故选：AD.

12．在中，，，，为所在平面内的一点，，则的值可能为（       ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】分两种情况讨论：①当点、位于直线的同侧；②当点、位于直线的异侧.作出图形，设，可得出，，，利用正弦定理可求得，然后利用平面向量数量积的定义、三角恒等变换以及正弦型函数的基本性质求出的取值范围，即可得出合适的选项.

【详解】分两种情况讨论：

①当点、位于直线的同侧时，设，则，，

因为，，由正弦定理可得，所以，，

由已知可得，可得，则，则，

所以，

；

②当点、位于直线的异侧时，同①可求得.

综上所述，的取值范围是.

故选：BD.

三、填空题

13．若平面向量、满足，，则的取值范围是_________．

【答案】

【分析】利用向量模的三角不等式可求得的取值范围.

【详解】由向量模的三角不等式可得，当且仅当、反向时，等号成立，

，当且仅当、同向时，等号成立，

综上所述，.

故答案为：.

14．在中，，，若此三角形恰有两解，则边长度的取值范围为_________．

【答案】

【分析】作出图形，可得出当恰有两解时，所满足的不等式，即可得解.

【详解】如下图所示：

若恰有两解，则，即.

故答案为：.

15．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，利用细沙全部流到下部容器所需要的时间进行计时.如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，这两个圆锥的底面直径和高分别相等，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度（h）的（细管长度忽略不计）.假设细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.这个沙堆的高与圆锥的高h的比值为______.

【答案】

【解析】设沙漏上下两个圆锥的底面半径为r，高为h，根据等体积法求解即可.

【详解】解：设沙漏上下两个圆锥的底面半径为r，高为h，

左侧倒圆锥形沙堆的体积，

右侧圆锥形沙堆的体积，

由得.

故答案为：.

【点睛】本题考查等体积法求，圆锥的体积计算公式，考查运算能力，是基础题.

16．已知等边，D是外的一点，且，，则平面四边形的面积的最大值是_________．

【答案】

【分析】设等边三角形边长为，应用三角形面积公式、余弦定理有、，代换后应用辅助角公式及正弦型函数的性质求最值.

【详解】若等边三角形边长为，则，

又，

所以，

而，则，

所以当时，平面四边形的面积的最大值是.

故答案为：

四、解答题

17．已知复数，若存在实数，使成立．

(1)求的值；

(2)求的最小值

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由复数的运算化简，再由复数相等得出的值；

（2）由模长公式结合二次函数的性质得出最值.

【详解】(1)，

，解得

(2)即的最小值为

18．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．

在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且_________．

(1)求角C的大小；

(2)若，，求的面积．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据所选条件，应用正弦定理边角关系、和角正弦公式、三角形内角性质化简条件得到关于角C的三角函数值，即可得结果；

（2）由已知及正弦定理可得，再由余弦定理有，进而求得，最后应用三角形面积公式求面积.

【详解】(1)选①：由正弦定理得：，而，

所以，

整理得：，又，可得，

而，则.

选②：由正弦定理得：，而，

所以，

则，而，可得，

而，则.

选③：由正弦定理得：，而且，

则，又，

所以，则，即.

(2)由，则，故，

而，则，可得，

又，整理得，

则，可得，

所以的面积为.

19．已知梯形中，，，E为的中点，F为与的交点，．

(1)求和的值；

(2)若，，，求与所成角的余弦值．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）由向量的运算得出，进而得出和的值；

（2）由向量的运算得出，，进而得出，，，再由数量积公式求解即可.

【详解】(1)根据题意，梯形中，，，E为的中点

则

又由可得，

(2)是与所成的角，设向量与所成的角为

，则

，则

则，

因为

所以

所以与所成角的余弦值为.

20．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，E为棱的中点，平面与棱交于点F．

(1)求证：平面；

(2)求证：F为的中点；

(3)在棱上是否存在点N，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析；

(3)存在N使得平面，，理由见解析.

【分析】（1）连接交于，连接，易知，再由线面平行的判定证结论；

（2）由，根据线面平行的判定有面，再由线面平行的性质可得，结合已知即可证结论.

（3）为中点，连接，由已知易证为平行四边形，则，再由线面平行可证面，即可判断存在性.

【详解】(1)连接交于，连接，如下图：

由为平行四边形，则为中点，又E为棱的中点，

所以为中位线，则，

又面，面，故平面；

(2)由题设知：，面，面，

所以面，又面，面面，

所以，又E为棱的中点，即是△的中位线，

故F为的中点；

(3)存在N使得平面且，理由如下：

为中点，连接，

由题设且，由（2）知且，

所以且，即为平行四边形，

所以，而面，面，

所以面，故所求点即为点，

则上存在点N使得平面，且.

21．已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D在边上，为的角平分线．．

(1)求；

(2)若，求的大小．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由三角形面积公式得出，再由正弦定理结合得出；

（2）由，，利用余弦定理结合得出的大小．

【详解】(1)，，即

由正弦定理可得

，

即

(2)，即

设，则

，解得

22．如图为一块边长为8km的等边三角形地块，为改善市民生活环境，当地政府有计划对这块地进行改造，在、、上分别选取点D、E、F使，在四边形区域内种植草坪，其余区域修建停车场，设．

(1)当D为中点且时，求草坪的面积；

(2)若在改造的过程中，因实际需要，D与B、C的距离都不少于2km，求草坪的面积的最大值，并求出此时的值．

【答案】(1)草坪的面积为；

(2)草坪的面积的最大值为，

【分析】(1)根据正弦定理及三角形面积公式求出，面积，由此可得草坪的面积；(2)由正弦定理结合三角形面积公式，根据基本不等式结合二次函数性质求其最小值，由此可得草坪的面积的最大值，根据取最值的条件求.

【详解】(1)因为为等边三角形，且边长为8，D为中点，

所以,，

又，所以，

在由正弦定理可得，

所以，

又，

所以，

所以的面积，

因为，，所以,

在由正弦定理可得，

所以，所以，

所以的面积，

所以草坪的面积

(2)设，则，

因为D与B、C的距离都不少于2km，所以，

在由正弦定理可得，

所以，故，

所以的面积，

在由正弦定理可得，

所以，所以

所以的面积，

所以

所以，当且仅当时等号成立，

当或时，函数取最小值，最小值为，

又草坪的面积

所以草坪的面积的最大值为，此时，化简得，