2021-2022学年河南省信阳市高二下学期期中教学质量检测数学(理)试题含解析
展开2021-2022学年河南省信阳市高二下学期期中教学质量检测数学(理)试题
一、单选题
1.若复数则的虚部为( )
A.-4 B. C.4 D.
【答案】C
【解析】利用复数的除法可先求出,然后再计算,从而可得其虚部.
【详解】因为,所以,,故选C.
【点睛】本题考查复数的除法运算及复数的概念,属于基础题.
2.已知,则等于( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】利用导数的定义和运算法则求解.
【详解】解:因为,
所以,则,
所以,
.
故选:D
3.函数在处导数存在,若p:是的极值点,则( )
A.p是q的充分必要条件 B.p是q的充分条件,但不是q的必要条件
C.p是q的必要条件但不是q的充分条件 D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件
【答案】C
【详解】试题分析:根据函数极值的定义可知,函数为函数的极值点,一定成立,但当时,函数不一定取得极值,比如函数,函数的导数,当时,,但函数单调递增,没有极值,则是的必要条件,但不是的充分条件,故选C.
【解析】必要条件、充分条件与充要条件的判定.
4.已知函数的图象在和处的切线相互垂直,则( )
A. B.0 C.1 D.2
【答案】A
【解析】求得,利用,即可求得结果.
【详解】因为 ,所以 ,
由题意有 ,所以,
故选:A.
【点睛】本题考查利用导数由斜率求参数值,属基础题.
5.满足+=2n的最小自然数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【分析】由复数的乘方与除法则化简后然后代入值验证.
【详解】因为,,
所以
,
时,原式=,
时,原式=,
时,原式=,满足题意.
故选:C.
6.已知函数,在其定义域内的子区间上不单调,则实数m的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】依题意知,函数在区间上有极值,从而得到,解之即可.
【详解】解:在其定义域内的子区间上不单调,
函数在区间上有极值,
由得或(舍去)
,
解得:,
故选:.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性,分析得到函数在区间上有极值是关键,注意定义域,考查分析与运算能力,属于中档题.
7.《聊斋志异》中有这样一首诗:“挑水砍柴不堪苦,请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻,额上坟起终不悟.”在这里,我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”:,则按照以上规律,若具有“穿墙术”,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】通过观察四个等式,发现存在相同性质,从而得出即可.
【详解】因为,,
,,
所以,即.
故选:C.
【点睛】归纳推理的一般步骤是:(1)通过观察个别情况发现某些相同性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想).
8.用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时,假设的内容应为( )
A.假设至少有一个钝角 B.假设至少有两个钝角
C.假设没有一个钝角 D.假设没有一个钝角或至少有两个钝角
【答案】B
【解析】根据反设的思想,直接得出结果.
【详解】用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时,假设的内容应为“假设至少有两个钝角”.
故选:B.
【点睛】本题主要考查反证法的应用,熟记反证法的概念即可,属于基础题型.
9.方底无盖水箱的容积为256,则最省材料时,它的高为( )
A.4 B.6
C.4.5 D.8
【答案】A
【分析】【详解】设底面边长为x,高为h,
则V(x)=x2·h=256,∴h=,
∴S(x)=x2+4xh=x2+4x·=x2+,
∴S′(x)=2x-.令S′(x)=0,解得x=8,
∴h==4.
答案 A
10.已知,为f(x)的导函数,则的图象是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】求出函数的导函数,令,根据导函数的奇偶性可排除AD,再根据的符号可排除C,即可得解.
【详解】解:,
则,
令,
,所以函数为奇函数,故排除AD,
又,故排除C.
故选:B.
11.已知且,则的最大值( )
A. B.2 C.1 D.
【答案】B
【详解】分析:由可得,可设,,,可得,进而利用正弦函数的性质求出答案.
详解:∵且
∴
设,,.
∴
∴的最大值是
故选B.
点睛:本题主要考查复数的求模公式及三角函数的性质,解答本题的关键是利用三角换元结合三角函数的性质求函数的最值.
12.已知定义域为的函数满足(为函数的导函数),则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】构造函数,由题意可知在上单调递增,再对分情况讨论,利用函数的单调性即可求出不等式的解集.
【详解】由,
(1)当时,可得,
即,
即,
构造函数,
所以函数单调递增,
则,此时,即满足;
(2)当时,可得,
由函数递增,则,此时或,即满足;
(3)当时,,即满足.
综上,.
故选:A.
二、填空题
13.设复数的模为,则________________.
【答案】3
【详解】由得,即,所以.
【解析】复数的运算.
14.若函数则与x轴围成的封闭图形的面积为___________.
【答案】
【分析】画出函数的图象,明确与轴围成封闭图形,利用定积分表示后就是即可.
【详解】函数,则的与轴围成封闭图形如,
其面积为:;
故答案为:.
15.已知是抛物线上的一点,过点的切线方程的斜率可通过如下方式求得在两边同时求导,得:,则,所以过的切线的斜率.试用上述方法求出双曲线在处的切线方程为_________.
【答案】
【详解】分析:结合题中的方法类比求解切线方程即可.
详解:用类比的方法对两边同时求导得,,
∴切线方程为,
整理为一般式即:.
点睛:“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种,然后根据此新定义去解决问题,有时还需要用类比的方法去理解新的定义,这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念,对阅读理解能力有一定的要求.但是,透过现象看本质,它们考查的还是基础数学知识,所以说“新题”不一定是“难题”,掌握好三基,以不变应万变才是制胜法宝.
16.已知函数则下列命题正确的有:___________.
①若有两个极值点,则或
②若有极小值点,则
③若有极大值点,则
④使连续的a有3个取值
【答案】③④
【分析】同一坐标系中作出的图象,利用数形结合法求解.
【详解】解:在同一坐标系中作出的图象,如图所示:
①若有两个极值点,则或,故错误;
②当时,是的极小值点,故错误;
③若有极大值点,由图象知:,故正确;
④使连续的a有3个取值-1,0,1故正确;
故答案为:③④
三、解答题
17.已知复数z满足.
(1)求复数z;
(2)若复数在复平面内对应的点在第一象限,求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1),利用复数的除法运算求解;
(2)【小问2详解】先化简复数,再根据复数在复平面内对应的点在第一象限求解.
【详解】(1)解:∵,
∴,
∴.
(2)由(1)知,
则,
,
由题意得:
∵
解得,
即实数a的取值范围为.
18.设a,b,c均为正数,且.
(1)证明:;
(2)是否存在?并说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)不存在,理由见解析
【分析】(1)利用基本不等式证明;
(2)利用基本不等式判断.
【详解】(1)方法一:证明:因为,
所以(当且仅当时取等);
方法二:∵(当且仅当时取等);
(2)因为,
所以,
(当且仅当时取等)
而,所以.
19.某电子公司开发一种智能手机的配件,每个配件的成本是15元,销售价是20元,月平均销售件,通过改进工艺,每个配件的成本不变,质量和技术含金量提高,市场分析的结果表明,如果每个配件的销售价提高的百分率为,那么月平均销售量减少的百分率为,记改进工艺后电子公司销售该配件的月平均利润是(元).
(1)写出与的函数关系式;
(2)改进工艺后,试确定该智能手机配件的售价,使电子公司销售该配件的月平均利润最大.
【答案】(1) 与的函数关系式为 ;(2) 改进工艺后,每个配件的销售价为元时,该电子公司销售该配件的月平均利润最大.
【详解】试题分析:(1)由题易知每件产品的销售价为,则月平均销售量为a件,利润则是二者的积去掉成本即可.
(2)由(1)可知,利润函数是一元三次函数关系,可以对其求导解出其最值.
试题解析:
(1)改进工艺后,每个配件的销售价为,月平均销售量为件,
则月平均利润(元),
与的函数关系式为
(2)由得(舍)
当时;时,
函数在取得最大值,
故改进工艺后,每个配件的销售价为元时,
该电子公司销售该配件的月平均利润最大.
20.已知数列的通项公式,其前项和为.
(1)求;
(2)若,试猜想数列的通项公式,并用数学归纳法证明.
【答案】(1);(2)见解析.
【详解】试题分析:(1),可知数列是等差数列,根据等差数列前 项和公式即可求出结果;(2)由于,可得,,,,于是猜想.然后再利用数学归纳法证明,即可证明出结果.
试题解析:
(1)∵,∴数列是等差数列,且,
于是.
(2)∵,
∴,,,,
于是猜想.
下证明猜想:
①当时,,猜想成立;
②假设当时,猜想成立,即,
那么,当时,
所以,时,猜想成立.
由①②可知,对任意都成立.
21.设函数f(x)=x3-6x+5,x∈R.
(1)求f(x)的极值点;
(2)若关于x的方程f(x)=a有3个不同实根,求实数a的取值范围;
(3)已知当x∈(1,+∞)时,f(x)≥k(x-1)恒成立,求实数k的取值范围.
【答案】(1)极大值点为,极小值点为;(2);(3).
【分析】(1)求导,讨论导函数的正负得出函数的单调性,根据函数的单调性可求得其极值点;
(2)由(1)可知函数的单调性及极值,结合数形结合分析可得的范围;
(3)由题意分离参数即在(1,+∞)上恒成立,令g(x)=x2+x-5,求出其在上的最小值即可得到答案.
【详解】(1),令,
得,
当时,f′(x)>0,当,f′(x)<0,
所以函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.
所以,分别为的极大值点,极小值点.
(2)当时,,当时,,
,
要使直线y=a与y=f(x)的图象有3个不同交点,则
则方程f(x)=a有3个不同实根时,所求实数a的取值范围为.
(3)当时,由f(x)≥k(x-1),即,即(x-1)(x2+x-5)≥k(x-1),
所以在(1,+∞)上恒成立,
令g(x)=x2+x-5,由二次函数的性质得g(x)在(1,+∞)上是增函数,
所以g(x)>g(1)=-3,所以所求k的取值范围是为(-∞,-3].
22.设函数,曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2.
(1)求;
(2)证明:
【答案】(1);(2)详见解析.
【详解】试题分析:(1)根据求导法则求出原函数的导函数,由某点的导数是在该点的切线的斜率,结合切线方程以及该点的函数值,将函数值和切线斜率代入原函数和导函数可求得参数值;(2)由(1 )可得的解析式,为多项式,对要证的不等式进行变形,使之成为两个函数的大小关系式,再分别利用导函数求出两函数在定义域内的最值,可证得两函数的大小关系,进而证得.
试题解析:(1)函数的定义域为,
.
由题意可得,.故,.
(2)证明:由(1)知,,
从而等价于.
设函数,则.
所以当,;
当时,.
故在上单调递减,上单调递增,从而在上的最小值为.
设函数,则.
所以当时,;当时,.故在上单调递增,在上单调递减,从而在上的最大值为.
综上,当时,,即.
【解析】1、导数的几何意义;2、利用导数研究函数的单调性进而证明不等式恒成立.
【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、不等式的恒成立和导数的几何意义,属于难题.利用导数研究函数的单调性进一步求函数最值的步骤:①确定函数的定义域;②对求导;③令,解不等式得的范围就是递增区间;令,解不等式得的范围就是递减区间;④根据单调性求函数的极值及最值(闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小).本题(2)的证明过程就是利用导数分别求出在上的最小值及在上的最大值,进而得证的.
2023-2024学年河南省信阳市高二上学期11月期中教学质量检测数学联考试题(含解析): 这是一份2023-2024学年河南省信阳市高二上学期11月期中教学质量检测数学联考试题(含解析),共17页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
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