2022高三下学期第四次调研测试数学（理）含答案

吉林市普通中学2021—2022学年度高中毕业年级第四次调研测试

理科数学

本试卷共23小题，共150分，共6页，考试时间120分钟，考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回.

注意事项：

1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码、姓

名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.

2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；

非选择题答案必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效.

4．作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.

第I卷（共60分）

一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求.

1.  已知集合，，则

A．   B．    C．      D．

2. 设命题：，则命题的否定为

A.                 B.

C.             D.

3． 已知，函数，

若，则

1.             B.    

3.             D.

4.  如图所示的程序框图，若输入，则输出的值是

A.             B.              

C.             D.

5.  如图，中，，，点是的三等分点()，则

A.               B.

C.            D.

6.  已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题错误的是

A. 若，，则      

B. 若，，，则            

C. 若，，，则 

 D. 若，，，则

7.  已知，两点到直线的距离相等，则

    A.              B.     C. 或           D. 或

8.  智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线是，通过主动降噪芯片生成的声波曲线是（其中，，），则

A.             B.              

C.             D.

9.  在中，所对的边分别为，若且，则是

A. 等腰直角三角形                  B. 等边三角形    

C. 等腰三角形                       D. 直角三角形

10. 对于的展开式，下列说法不正确的是

A. 有理项共项          B. 二项式系数和为

C. 二项式系数最大的项是第项和第项 D. 各项系数和为

11．下列各个函数图象所对应的函数解析式序号为

①  ②  ③  ④

1. ④②①③   B. ②④①③   C. ②④③①   D. ④②③①

12. 已知直线与双曲线交于两点，轴于点，直线与双曲线的另一个交点为，则下列选项中错误的是

A. 且       B.

C. 为定值                       D. 的最小值为2

第II卷（共90分）

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分. 其中第16题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分.

13．复数的虚部是          .

14．已知圆锥的侧面积是，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积是          .

15．为了保障疫情期间广大市民基本生活需求，市政府准备了茄子、辣椒、白菜、角瓜、菜花、萝卜、黄瓜、土豆八种蔬菜，并从中任选五种，以“蔬菜包”的形式发给市民. 若一个“蔬菜包”中不同时含有土豆和萝卜，且角瓜、黄瓜、辣椒最多只含有两种，则可以组成          .种不同的“蔬菜包”.

16. 已知函数的极大值点为，则实数的值为          ；设，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为          .

三、解答题：共分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（一）  必考题：共60分.

17. （本小题满分12分）

在①，②这两个条件中，任选一个补充在下面的问题中，并解答.

已知正项等差数列满足，且成等比数列．

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）已知正项等比数列的前项和为，，              ，求．

注：如果选择两个条件并分别作答，按第一个解答计分.

18. （本小题满分12分）

     为了切实维护居民合法权益，提高居民识骗防骗能力，守好居民的“钱袋子”，某社区开展“全民反诈在行动——反诈骗知识竞赛”活动，现从参加该活动的居民中随机抽取了名，统计出他们竞赛成绩分布如下：

（Ⅰ）求抽取的名居民竞赛成绩的平均分和方差（同一组中数据用该组区间的中点值为代表）；

（Ⅱ）以频率估计概率，发现该社区参赛居民竞赛成绩近似地服从正态分布，其中近似为样本成绩平均分，近似为样本成绩方差，若，参赛居民可获得“参赛纪念证书”；若，参赛居民可获得“反诈先锋证书”.

①若该社区有名居民参加本次竞赛活动，试估计获得“参赛纪念证书”的居民人数（结果保留整数）；

②试判断竞赛成绩为分的居民能否获得“反诈先锋证书”.

附：若，则，

，.

19. （本小题满分12分）

如图，四棱柱中，平面平面，底面为菱形，与交于点，，.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值是？若存

在，求出；若不存在，说明理由.

20. （本小题满分12分）

已知函数.

（Ⅰ）求函数的最小值；

（Ⅱ）证明：.

21. （本小题满分12分）

已知抛物线的焦点到其准线的距离为4，椭圆：经过抛物线的焦点.

（Ⅰ）求抛物线的方程及；

（Ⅱ）已知为坐标原点，过点的直线与椭圆相交于两点，若，点满足，且最小值为，求椭圆

的离心率．

（二）    选考题：共10分. 请考生在第22、23题中任选一题作答. 并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分. 如果多做，则按所做的第一题计分.

22.  [选修4—4：坐标系与参数方程]

以等边三角形的每个顶点为圆心，以其边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形被称为勒洛三角形. 如图，在极坐标系中，曲边三角形为勒洛三角形，且，，以极点为直角坐标原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数）.

（Ⅰ）求的极坐标方程和所在圆的直角坐标方程；

（Ⅱ）已知点的直角坐标为，曲线和圆相交于两点，求

．

23. [选修4—5：不等式选讲]

   已知函数.

（Ⅰ）求不等式的解集；

（Ⅱ）若，证明：．

命题、校对：高三数学核心命题组