2022晋中高三上学期期末调研数学（理）试题含答案

2021~2022学年第一学期高三期末考试

数学试题（理科）

（时间：120分钟 满分：150分）

注意事项

1.答题前，考生务必将自己的学校､姓名､班级､准考证号填写在答题卡相应的位置.

2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案用0.5毫米及以上黑色笔迹签字笔写在答题卡上.

4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.

一､选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知集合，则等于（    ）

A.    B.    C.    D.

2.已知复数（为虚数单位），则等于（    ）

A.0    B.    C.1    D.

3.下列命题中，真命题有（    ）

①；

②；

③若命题是真命题，则是真命题；

④是奇函数.

A.4个    B.3个    C.2个    D.1个

4.已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则的值为（    ）

A.    B.    C.或    D.

5.下午活动时间，全校进行大扫除，某班卫生委员将包括甲､乙在内的6位同学平均分成3组，分别派到3块班级管辖区域清理卫生，问甲､乙被分到同一个管辖区域的概率为（    ）

A.    B.    C.    D.

6.中国的技术领先世界，技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计.按照香农公式，若带宽增大到原来的倍，信噪比从1000提升到16000，则比原来大约增加了（    ）（附：）

A.    B.    C.    D.

7.已知数列为等差数列，为其前项和，若，则等于（    ）

A.27    B.25    C.20    D.10

8.已知的展开式中的系数为5，则等于（    ）

A.    B.    C.    D.

9.已知是奇函数并且是上的单调函数，若方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围为（    ）

A.    B.

C.    D.

10.若点是圆上任一点，则点到直线距离的最大值为（    ）

A.5    B.6    C.    D.

11.如图，已知抛物线，圆，过点的直线与抛物线和圆依次交于，则等于（    ）

A.1    B.2    C.4    D.8

12.已知三棱锥的顶点在底面的射影为的垂心，若的面积为的面积为的面积为，满足，当的面积之和的最大值为8时，则三棱锥外接球的体积为（    ）

A.    B.    C.    D.

二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知，则向量与向量的夹角为__________.

14.若直线是函数的图象在某点处的切线，则实数__________.

15.已知函数，且在上单调递增，则满足条件的的最大值为__________.

16.若数列满足，令，则__________.

三､解答题：共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都应该作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分

17.（本小题满分12分）

在中，角的对边分别是，且.

（1）求角的大小；

（2）若为边上的一点，，且__________，求的面积.

①是的平分线；②为线段的中点.（从①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）.

18.（本小题满分12分）

如图所示，点在圆柱的上底面圆周上，四边形为圆柱下底面的内接四边形，且为圆柱下底面的直径，为圆柱的母线，且，圆柱的底面半径为1.

（1）证明：；

（2）为的中点，点在线段上，记，求二面角的余弦值.

19.（本小题满分12分）

在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期.一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：

（1）求这1000名患者的潜伏期的样本平均数值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，结果四舍五入为整数）；

（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过8天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断，能否在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为潜伏期与患者年龄有关；

（3）以这1000名患者的潜伏期超过8天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过8天的概率，每名患者的潜伏期是否超过8天相互独立.为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，其中潜伏期超过8天的人数最有可能（即概率最大）是多少？

附：，其中.

20.（本小题满分12分）

已知椭圆的离心率，椭圆上的点与左､右顶点所构成三角形面积的最大值为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设过椭圆右焦点的直线的斜率分别为，满足交于点，交于点，线段与的中点分别为.判断直线是否过定点，若过定点求出该定点；若不过定点，请说明理由.

21.（本小题满分12分）

已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.

（二）选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.

22.（本小题满分10分）

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；

（2）设点在上，点在上，求的最小值及此时点的直角坐标.

23.（本小题满分10分）

已知函数.

（1）若，求不等式的解集；

（2）若，且的最小值为，求证：.

2021~2022学年第一学期高三期末考试

数学答案（理科）

1.B 

，

，故选B.

2.C  ，

则，故选C.

3.B  对于①，令，

则，

当时，单调递减；

当时，单调递增，

所以，即，

所以①正确；

对于②，当时，，所以成立，所以②正确；

对于③，若命题是真命题，则至少有一个为真命题，所以真假不能判断，所以③错误；

对于④，令，定义域为，则，

所以是奇函数，所以④正确，故选B.

4.B  依题意，双曲线的渐近线方程为，

因两条渐近线的夹角为，于是得直线的

倾斜角是或，即或，

解得或，而，则，故选B.

5.B  6位同学平均分成3组，并派到3块班级管辖

区域的情况有（种）.

其中甲乙被分到同一个管辖区域的情况有（种），

所以所求概率，故选B.

6.D  由题意，

所以比原来大约增加了，故选D.

7.A  设等差数列的公差为，

因为所以解得

则，故选A.

8.D  由题意知：，解得，故选D.

9.C  是奇函数并且是上的单调函数，等价于

方程在上有三个不同的实数解，

即函数的图象与直线有三

个不同的交点，

当时，单调递增；

当时，单调递减；

当时，单调递增；

且，

的取值范围为，故选C

10.C  由题知，直线过定点（0，-1），

所以圆心到定点的距离为

所以点到直线距离的最大值为，故选C.

11.A  圆，点与抛物线的焦点重合，

设，所以

，

，

①当直线的斜率不存在时，.

②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

与抛物线方程联立消，得.

综上，，故选A

12.D  连接交千点，连接（图略）.

因为为的垂心，所以，

因为平面，所以，

所以平面，所以，

可得，

因为，

，所以，

所以，所以平面，

所以平面，所以，

同理可知，且，所以平面，

所以，因此两两垂直.设，

则，

当且仅当时，等号成立.

所以，设三棱锥外接球的半径为，

所以，解得.

所以三棱锥外接球的体积为.故选D.

13.

解析设向量与向量的夹角为.

，

，

，

.

14.

解析设切点坐标为，则

所以.

15.

解析

由，

得，

的单调递增区间为

由题知，，

当时，，

，

当时，；当时，.

16.

解析：列举法

，

，

，

，

，

，

，

，即

，

又，

，

，

，

，

，

，

17.解（1）由正弦定理知，，

，

代入上式得，

，

（2）若选①：由平分得，，

，

即.

在中，由余弦定理得，

又，

联立，得，

解得舍去，

.

若选②：得

，

，得，

在中，由余弦定理得，

即，

联立可得，

.

18.（1）证明为直径，点在圆上且不同于点，

，

又为母线，平面，

又平面，

从而，

又，

平面，

又平面，

（2）解，圆柱的底面直径为2，

即，

又为的中点，，即四边形为正方形，

两两相互垂直，

以为原点，分别以的方向为，轴正方向，

建立空间直角坐标系，如图所示，

，

，

，

，

，

，

，

设平面的法向量为，

令，

易知平面的一个法向量为，

.

又由题知二面角为锐二面角，

所求的余弦值为.

19.解（1）

（天）.

（2）由题设知：潜伏期天数在的频率为，

潜伏期天数在的频率为，

故200人中潜伏期在上有140人，在上有60人.

列联表如下：

，

故在犯错误的概率不超过的前提下，不能认为潜伏期与患者年龄有关.

（3）由题知，一名患者潜伏期超过8天的概率为，

设20名患者中潜伏期超过8天的人数为，则，

且，

由题意得，

即

化简得解得

，

即潜伏期超过8天的人数最有可能是6.

20.解（1）设右焦点，

由题知

求得，

所以椭圆的标准方程为.

（2）方法一：设，

联立直线与椭圆的方程得

消去得，

由根与系数的关系知，则，

代入直线的方程得，所以，

同理得.

①当直线的斜率存在时，

设直线，

将点的坐标代入直线，得

易知为方程的两个根，

由根与系数的关系知，

由题知，所以，

得，

所以直线，

所以直线过定点.

②当直线的斜率不存在时，，

即，所以，且.

不妨设，所以

，即直线，满足过定点.

综上，直线过定点.

方法二：设，

联立直线与椭圆的方程

消去得，.

由根与系数的关系知，，

，

代入直线的方程得，

所以，

同理得.

①当直线的斜率存在时，即.

，

（上式结合化简），

直线

，

由椭圆的对称性可知，若定点存在，则必在轴上，所以令，得

，

所以直线过定点.

②当直线的斜率不存在时，，

即，所以.

不妨设，所以，

即直线，满足过定点.

综上，直线过定点.

21.解（1），

①当，即时，

单调递增；

②当，即时，

令，即，

当时，单调递减；

当时，单调递增.

综上，当时，的单调递增区间为

，无单调递减区间；

当时，的单调递减区间为，

的单调递增区间为.

（2）方法一：对任意的，

恒成立，

即，

今，

旦，

，且，

今，

，且

由题意得，，即.

下面证明对于任意的，恒成立.

当时，

当时，

即.

即在上单调递增，

，

在上单调递增，0，

即得证.

故说明，满足条件.

方法二：令，

，

当时，，

在上单调䏲增，

，

在上恒成立.

对任意的恒成立.

即恒成立，

等价于恒成立，

等价于恒成立.

构造函数，

上式即为.

由上面的证明知，在上恒成立.

只需在上单调递增.

在上恒成立

22.解（1）因为曲线的参数方程为为参数），

即，代入可得，即曲线的普通方程为.

因为曲线的极坐标方程为，

即，

即，

因为，所以，

所以曲线的直角坐标方程为.

（2）设，则到直线的距离

.

所以当时，，

此时的最小值为.

23.（1）解当时，函数

①当时，由得，所以

②当时，由得，所以

③当时，由得，所以.

综上，不等式的解集为.

（2）证明：因为

，

当时，取到最小值，

所以，即.

因为，所以

，

当且仅当时等号成立.