第03讲 充分条件与必要条件-【暑假自学课】2022年高一数学暑假精品课（人教版2019必修第一册）

第03讲 充分条件与必要条件

       【学习目标】

1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系

2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系

3.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系

        【基础知识】

一、 “⇒”及“⇔”的含义

“⇒”是推断符号,p⇒q即如果p成立,那么q一定成立,

“⇔”表示“等价”,如“p ⇔q”指的是“如果p ,那么q”,同时有“如果q,那么p ”,或者说“从p 推出q”,同时可“从q推出p ”.

二、充分条件与必要条件

1.如果p⇒q,则p是q的充分条件,同时q是p的必要条件；

2.如果p⇒q,但q⇏p,则p是q的充分不必要条件；

3.如果p⇒q,且q⇒p,则p是q的充要条件；

4.如果q⇒p,且p⇏q,则p是q的必要不充分条件；

5.如果p⇏q,且q⇏p,则p是q的既不充分也不必要条件．

6.充分条件与必要条件的理解

充分条件:说条件是充分的,也就是说条件是充足的,条件是足够的,条件是足以保证的.“有之必成立,无之未必不成立”.

必要条件:必要就是必须,必不可少.“有之未必成立,无之必不成立”

7.从集合角度理解充分条件与必要条件

若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即A＝{x|p(x)},B＝{x|q(x)},则关于充分条件、必要条件又可以叙述为

(1)若A⊆B,则p是q的充分条件；

(2)若A⊇B,则p是q的必要条件；

(3)若A＝B,则p是q的充要条件；

(4)若AB,则p是q的充分不必要条件；

(5)若AB,则p是q的必要不充分条件；

(6)若AB且A⊉B,则p是q的既不充分也不必要条件．

三、判断充分条件、必要条件的注意点

1.明确条件与结论.

2.判断若p,则q是否成立时注意利用等价命题.

3.可以用反例说明由p推不出q,但不能用特例说明由p可以推出q.

四、充要条件一定要分清谁是条件谁是结论,注意下面两种叙述方式的区别：

1.p是q的充分条件；

2.p的充分条件是q.

五、充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：

1.把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．

2.要注意区间端点值的检验．

六、充要条件的证明策略

1.要证明一个条件p是否是q的充要条件,需要从充分性和必要性两个方向进行,即证明两个命题“若p,则q”为真且“若q,则p”为真.

2.在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明,证明p与q的解集是相同的,证明前必须分清楚充分性和必要性,即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论.

【基础知识】

考点一：充分条件与必要条件的判断

例1．（2020-2021学年广东省梅州市梅江区梅州中学高一上学期第一次段考）“三角形的某两条边相等”是“三角形为等边三角形”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】B

【解析】三角形的某两条边相等则三角形是等腰三角形，不一定是等边三角形，所以充分性不成立；三角形为等边三角形则其三边相等，能得到三角形的任意两边也是相等的，所以必要性成立.

故选B.

考点二：与充分条件必要条件命题真假的判断

例2．（多选）（2021-2022学年广东省广州市越秀区高一上学期期末）下列四个命题中为真命题的是（       ）

A．“”是“”的既不充分也不必要条件

B．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要不充分条件

C．关于的方程有实数根的充要条件是

D．若集合，则是的充分不必要条件

【答案】AC

【解析】且，所以A正确；

正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是正三角形，所以“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分不必要条件，故B错误；一元二次方程有实根则，反之亦然，故C正确；

当集合A=B时，应为充要条件，故D不正确.故选AC.

考点三：根据充分条件与必要条件求参数范围

例3．（2021-2022学年上海市奉贤区致远高级中学高一上学期期中）设，，若是的充分条件，则实数的取值范围是_______.

【答案】

【解析】由已知可得，所以，.

考点四：充分条件与必要条件的推理

例4．（2021-2022学年安徽省A10联盟高一上学期期中联考）已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，下列命题正确的是（       ）

A．是的必要不充分条件 B．是的充要条件

C．是的充分不必要条件 D．是的充要条件

【答案】BD

【解析】由题意得，，，，，，所以，，，

所以是的充要条件，是的充要条件，是的充要条件，故选BD.

        【真题演练】

1．（2020-2021学年重庆市青木关中学高一上学期12月月考）“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2.（2021-2022学年安徽省蚌埠第三中学高一下学期开学测试）设P：，q：，则p是q成立的（       ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分也非必要条件

3.（2021-2022学年辽宁省抚顺市抚顺县高中高一上学期10月月考）下列说法正确的是（       ）

A．是的充分不必要条件

B．是的充要条件

C．若，则是的充分条件

D．一个四边形是矩形的充分条件是它是平行四边形

4.（多选）（2021-2022学年浙江省宁波市金兰教育合作组织高一上学期期中联考）已知集合，集合，能使成立的充分不必要条件有（       ）

A． B． C． D．

5.（2021-2022学年湖北省武汉市水果湖高中高一上学期10月月考）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数k的值可以是（       ）

A． B． C．1 D．4

6.（2021-2022学年湖北省高一上学期期末调考）若命题p是命题“”的充分不必要条件，则p可以是___________.（写出满足题意的一个即可）

7. （2021-2022学年江西省丰城市第九中学高一上学期第一次月考）给出下列命题：

①已知集合，且，则集合的真子集个数是4；

②“”是“”的必要不充分条件；

③“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件

④设，则“”是“”的必要不充分条件

其中所有正确命题的序号是__________．

8.（2021-2022学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高一上学期期末）已知非空集合，．

(1)若，求；

(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．

       【过关检测】

1.（2021-2022学年湖南省长沙市望城区金海学校高一上学期期中）“”是“”的（       ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2. 使“0＜x＜4”成立的一个必要不充分条件是（       ）

A．x＞0 B．x＜0或x＞4

C．0＜x＜3 D．x＜0

3.（2021-2022学年湖南省益阳市箴言中学高一上学期10月月考）设，则“或”是“”的（       ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．非充分非必要条件

4. （2021-2022学年福建省福州市闽侯县一中学高一上学期月考）在△ABC中，AB2+BC2=AC2是△ABC为直角三角形的（       ）条件

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要

5．（多选）（2020-2021学年湖北省十堰市城区普高协作体高一上学期期中）p是q的必要条件的是（       ）

A． B．

C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形 D．，q：关于x的方程有唯一解

6.（多选）设全集为，在下列选项中，是的充要条件的有（       ）

A． B．

C． D．

7. （多选）已知，都是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，则（       ）

A．是的充分条件 B．是的必要条件

C．是的必要不充分条件 D．是的充要条件

8.下列命题：

①“且”是“”的充要条件；

②当时，“”是“方程有解”的充要条件；

③“或”是“方程”的充要条件．其中正确的序号为______．

9．已知集合，或，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是___________．

10.（2021-2022学年贵州省毕节市金沙县高一10月月考）已知集合，，其中，是关于x的方程的两个不同的实数根.

(1)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.

(2)若“”是“”的必要不充分条件，求a的取值范围.

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