第01讲 集合的概念与集合间的基本关系-【暑假自学课】2022年高一数学暑假精品课（人教版2019必修第一册）

第01讲 集合的概念与集合间的基本关系

       【学习目标】

1.通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系.

2.能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用.

3.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.

4.在具体情境中,了解空集的含义.

        【基础知识】

一、集合的概念

1.元素与集合：我们把研究对象称为元素,把一些元素组成的总体叫集合.集合通常用大写字母表示.集合的元素通常用小写字母表示.

二、集合与元素的关系

如果a是集合A的元素,记作,读作“a属于A”；如果a不是集合A的元素,记作,读作“a不属于A”.

三、集合中元素的特点

1.确定性：集合的元素必须是确定的.

2.互异性：对于一个给定的集合,集合中的元素一定是不相同的.

3.无序性：集合中的元素可以任意排列.

四、常用数集及其记法

所有非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集）,记作N;

所有正整数组成的集合称为正整数集,记作N+或N*；

所有整数组成的集合称为整数集,记作Z；

所有有理数组成的集合称为有理数集,记作Q；

所有实数组成的集合称为实数集,记作R.

五、集合的表示

1.列举法:把集合中的元素一一列举出来（相邻元素之间用逗号分隔）,放在大括号内,依此表示集合的方法称为列举法,如,等.

2.描述法:一般地,如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质,而不属于集合A的元素都不具有这个性质,则性质为集合 A的一个特征性质,此时集合A可以表示为,这种表示集合的方法称为特征性质描述法,简称描述法.

3.解决集合问题首先要弄清构成集合的元素是什么(即元素的意义),如表示方程x2－x=0的解集；表示函数y=x2-x的自变量组成的集合；表示函数y=x2－x的函数值组成的集合；表示抛物线y=x2－x上的点组成的集合.

六、子集

1.一般地如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,那么集合A为集合B的子集.,记作 A⊆B（或 B⊇A）,读作“A包含于B”（或“B包含A”）.

2.规定：空集是任何集合的子集,即.

3.子集的性质：

（1）任何一个子集都是它本身的子集,即.

（2）若,且,则.

七、 韦恩图

韦恩（Venn）图：为了直观地表示集合间的关系,我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为韦恩图. A是B的子集,可用下图表示：

八、真子集

1.如果集合A是集合B的子集,并且集合B中至少有一个元素不属于A,那么集合A称为集合B的真子集,记作A B（或B A）,读作：A真包含于B（或B真包含A）.

2.真子集的性质

（1）空集是任何非空集合的子集.

（2）若A B,B C,则A C.

九、集合的相等与子集的关系

1.如果A⊆B且B⊆A,则A=B.

2.如果A=B,则A⊆B且B⊆A.

十、有限集合的子集个数

若集合A中有n个元素,则集合A的所有子集的个数为2n,真子集个数为2n－1,非空子集个数2n－1,非空真子集个数为2n－2.

【基础知识】

考点一：集合的判断

例1．（2021-2022学年湖南省怀化市第五中学高一上学期期中）下面给出的四类对象中,构成集合的是（       ）

A．某班视力较好的同学 B．长寿的人 

C．的近似值 D．倒数等于它本身的数

【答案】D

【解析】对于A,视力较好不是一个明确的定义,故不能构成集合；对于B,长寿也不是一个明确的定义,故不能构成集合；对于C, 的近似值没有明确近似到小数点后面几位,不是明确的定义,故不能构成集合；对于D,倒数等于自身的数很明确,只有1和-1,故可以构成集合；故选D.

考点二：元素与集合的关系

例2．（2021-2022学年】浙江省金华市曙光学校高一上学期10月月考）给出下列关系：①∈R；②∈Q；③－3Z；④N,其中正确的个数为（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】是实数,①正确；是无理数,②错误；－3是整数,③错误；－是无理数,④正确.

所以正确的个数为2.故选B.

考点三：集合中元素互异性的应用

例3．（2021-2022学年湖北省十堰市车城高中高一上学期9月月考）由,,可组成含个元素的集合,则实数的取值可以是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由元素的互异性可得,解得且且.故选C.

考点四：集合的表示

例4．（多选）集合用描述法可表示为（       ）

A．是不大于9的非负奇数 B．且

C． D．

【答案】AB

【解析】对A,是不大于9的非负奇数表示的集合是,故A正确；

对B,且表示的集合是,故B正确；

对C,表示的集合是,故C错误；

对D,表示的集合是,故D错误.

故选AB.

考点五：集合关系的判断

例5．（多选）（2021-2022学年黑龙江省齐齐哈尔市第一中学高一上学期9月月考）下列各式中正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【解析】由子集的定义易知B正确；对A,,错误；对C,表示有2个元素的数集,表示有一个元素的点集,错误；对D,空集是任何集合的子集,正确.故选BD.

考点六：由集合包含关系求参数的值或范围

例6．（2021-2022学年湖南省永州市第二中学高一上学期10月月考）已知

(1)若求实数a的取值范围

(2)若,求实数的取值范围

【解析】 (1)∵,∴,即,

∴实数a的取值范围为；

(2)∵,,

∴,解得,

故实数的取值范围为.

考点七：子集个问题

例7．（2021-2022学年湖南省长沙市师大附中梅溪湖中学高一上学期阶段性评估）集合,,则集合的真子集的个数为（       ）

A．8 B．6 C．7 D．15

【答案】C

【解析】,集合的真子集的个数为个.故选C.

        【真题演练】

1．(2018年高考全国卷Ⅱ卷)已知集合,则中元素的个数

为 (　　)

A．9 B．8 C．5 D．4

2.（2020-2021学年云南省北大附中云南实验学校高一3月月考）下列各对象可以组成集合的是（       ）

A．与非常接近的全体实数

B．北大附中云南实验学校学年度第二学期全体高一学生

C．高一年级视力比较好的同学

D．高一年级很有才华的老师

3. （2021-2022学年河南省焦作市县级重点中学高一上学期期中）给出下列四个关系：π∈R, 0∉Q ,0.7∈N, 0∈∅,其中正确的关系个数为（       ）

A．4 B．3 C．2 D．1

4.（2020-2021学年湖北省襄阳市第二十四中学高一上学期9月月考）下面五个式子中：①；②；③{a }{a,b}；④；⑤a{b,c,a}；正确的有（       ）

A．②④⑤ B．②③④⑤ C．②④ D．①⑤

5.（2021-2022学年江西省重点名校高一3月联考）设集合,且,则满足条件的集合的个数为（       ）

A． B． C． D．

6.（2020-2021学年甘肃省金昌市永昌县第一高级中学高一上学期第一次月考）集合,则的值为（       ）

A．0 B．1 C．－1 D．±1

7.（多选）（2021-2022学年广东省茂名市第五中学高一上学期期中）下列集合中,可以表示为的是（       ）

A．方程的解集

B．最小的两个质数

C．大于1小于4的整数

D．不等式组的整数解

8.（2020-2021学年云南省德宏州高一上学期期末统一监测）若一个集合是另一个集合的子集,则称两个集合构成“鲸吞”；对于集合,,若这两个集合构成“鲸吞”,则的取值为____________．

       【过关检测】

1．（2021-2022学年甘肃省静宁县第一中学高一上学期第一次月考）若以集合的四个元素为边长构成一个四边形,则这个四边形可能是（       ）

A．矩形 B．平行四边形

C．梯形 D．菱形

2．（2021-2022学年湖南省怀化市第五中学高一上学期期中）①,②,③,④,其中正确的个数为(       )

A．1 B．2 C．3 D．4

3.（2021-2022学年黑龙江省七台河市勃利县高级中学高一上学期9月月考）已知集合 ,且 ,则实数m的值为（       ）

A．3 B．2 C．0或3 D．0或2或3

4.（2021-2022学年安徽省宣城八校高一上学期期中联考） 已知集合,,若,则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

5. （2021-2022学年重庆市渝北中学校高一上学期阶段一质量检测）当一个非空数集满足：如果,则,且时,时,我们称就是一个数域,以下关于数域的说法：①是任何数域的元素；②若数域有非零元素,则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域；⑤任何一个有限数域的元素个数必为奇数,其中正确的选项是（       ）

A．①②④ B．②③④⑤ C．①④⑤ D．①②④⑤

6.（多选）（2021-2022学年甘肃省张掖市高一上学期期末）下列关系式错误的是（       ）

A． B． C． D．

7.（多选）（2020-2021学年湖南省A佳大联考高一下学期3月考试）已知集合,,若,则实数a的值可能是（       ）

A．−1 B．1 C．−2 D．2

8.（2021-2022学年四川省攀枝花市第七高级中学校高一上学期第一次月考）已知集合,,若,求实数的取值范围_______.

9. 用描述法表示被4除余3的自然数全体组成的集合______．

10.判断下列每对集合之间的关系：

(1),；

(2),{是的约数}；

(3),.