广西专用高考数学一轮复习单元质检6数列A含解析新人教A版文

单元质检六　数列(A)

(时间:45分钟　满分:100分)

一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)

1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a6=15,S9=99,则等差数列{an}的公差是(　　)

A. B.4 

C.-4 D.-3

2.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a5-a3=12,a6-a4=24,则=(　　)

A.2n-1 B.2-21-n

C.2-2n-1 D.21-n-1

3.在等差数列{an}中,已知a4=5,a3是a2和a6的等比中项,则数列{an}的前5项的和为(　　)

A.15 B.20 

C.25 D.15或25

4.(2021广东深圳实验学校高三月考)已知等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若对于任意的自然数n,都有,则=(　　)

A.3 B.6 C. D.

5.设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2=3a2+2,S4=3a4+2,则a1=(　　)

A.-2 B.-1 C. D.

6.(2021江西上饶三模)南宋著名数学家杨辉在1261年所著的《解析九章算法》中首次提出“杨辉三角”,如图所示,这是数学史上的一个伟大的成就.在“杨辉三角”中,已知每一行的数字之和构成的数列为等比数列且数列前n项和为Sn,bn=2log2(Sn+1)-1,则b2 021的值为(　　)

A.4 041 B.4 043 C.4 039 D.4 037

二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)

7.已知数列{an}满足a1=1,an-an+1=2anan+1,则a6=　　　　　. 

8.(2021浙江绍兴适应性考试)《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题:“今有垣厚若干尺,两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠亦日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半.问何日相逢,各穿几何?”题意是:今有土墙厚若干尺,有两鼠从墙的两边打洞穿墙,大鼠第一天进一尺,以后每天加倍,小鼠第一天也进一尺,以后每天减半.如果墙足够厚,Sn为前n天两鼠打洞长度之和,则S3=　　　　　尺. 

三、解答题(本大题共3小题,共44分)

9.(14分)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.

(1)求{an}的通项公式;

(2)求Sn,并求Sn的最小值.

10.(15分)(2021广东广雅中学高三月考)已知数列{an}满足a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1).

(1)求证:数列为等差数列,并求出数列{an}的通项公式;

(2)若bn=an·cosnπ,求数列{bn}的前100项和S100.

11.(15分)(2021广东韶关一模)已知数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=-n2+kn(k∈N*),且Sn的最大值为25.

(1)求k的值及{an}的通项公式;

(2)求数列{n·}的前n项和Tn.

答案：

1.B　解析∵数列{an}是等差数列,a6=15,S9=99,

∴a1+a9=22,∴2a5=22,a5=11.∴公差d=a6-a5=4.

2.B　解析设等比数列{an}的公比为q.

∵a5-a3=12,a6-a4=24,∴=q=2.

又a5-a3=a1q4-a1q2=12a1=12,∴a1=1.

∴an=a1·qn-1=2n-1,

Sn==2n-1.

∴=2-=2-21-n.

故选B.

3.A　解析设{an}的公差为d.

∵在等差数列{an}中,a4=5,a3是a2和a6的等比中项,

∴解得

∴S5=5a1+d=5×(-1)+5×4=15.故选A.

4.B　解析数列{an},{bn}均为等差数列,由等差数列下标和的性质得

=2·=2·=2·=2×=6.

5.B　解析∵S2=3a2+2,S4=3a4+2,∴S4-S2=3(a4-a2),即a1(q3+q2)=3a1(q3-q),q>0,解得q=,代入a1(1+q)=3a1q+2,解得a1=-1.

6.A　解析因为每一行的数字之和构成的数列为等比数列,且第一行数字和为1,第二行数字和为2,第三行数字和为4,所以该等比数列首项为1,公比q=2,

所以Sn==2n-1,所以bn=2log2(Sn+1)-1=2log22n-1=2n-1,

所以b2021=2×2021-1=4041.

7.　解析由题意知an>0,由an-an+1=2anan+1,得=2,

即数列是以=1为首项,2为公差的等差数列.

所以+5×2=11,即a6=.

8.　解析由题意知,大鼠每天打洞的距离是以1为首项,以2为公比的等比数列,

所以大鼠前n天打洞长度之和为=2n-1,

同理小鼠前n天打洞长度之和为=2-,

所以Sn=2n-1+2-=2n-+1,所以S3=23-+1=.

9.解(1)设{an}的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.

由a1=-7得d=2.

所以{an}的通项公式为an=2n-9.

(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.

所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.

10.(1)证明因为nan+1=(n+1)an+n(n+1),即an+1=an+(n+1),

所以+1,所以数列是公差与首项都为1的等差数列.

故=1+(n-1)×1=n,即an=n2.

(2)解由(1)知,bn=an·cosnπ=(-1)nn2,

当n=2k-1,k∈N*时,b2k-1=-(2k-1)2=-4k2+4k-1;

当n=2k,k∈N*时b2k=(2k)2=4k2.

所以b2k-1+b2k=4k-1,

所以S100=(b1+b2)+(b3+b4)+…+(b99+b100)=3+7+…+199=×50=5050.

11.解(1)由题可得Sn=-(k∈Z),

所以当k为偶数时,(Sn)max==25,解得k=10;

当k为奇数时,(Sn)max==25,此时k无整数解.

综上可得,k=10,Sn=-n2+10n.

当n=1时,a1=S1=9;

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(-n2+10n)-[-(n-1)2+10(n-1)]=-2n+11,

当n=1时也成立.

综上可得an=-2n+11.所以k=10,an=-2n+11(n∈N*).

(2)n·=n·2-2n=,

Tn=+…+,①

Tn=+…+,②

①-②,得Tn=+…+,

即Tn=,

则Tn=.

所以Tn=.