高考数学一轮复习考点规范练23三角恒等变换含解析新人教A版理

考点规范练23　三角恒等变换

基础巩固

1.=(　　)

A.- B.-1 C D.1

答案:D

解析:原式=2=2=2sin30°=1.故选D.

2.已知2sin 2α=1+cos 2α,则tan 2α=(　　)

A B.- C或0 D.-或0

答案:C

解析:因为2sin2α=1+cos2α,

所以2sin2α=2cos2α.

所以2cosα(2sinα-cosα)=0,

解得cosα=0或tanα=

若cosα=0,则α=kπ+,k∈Z,2α=2kπ+π,k∈Z,所以tan2α=0.

若tanα=,则tan2α=

综上所述,故选C.

3.已知f(x)=sin2x+sin xcos x,则f(x)的最小正周期和一个单调递增区间分别为(　　)

A.π,[0,π] B.2π,

C.π, D.2π,

答案:C

解析:由f(x)=sin2x+sinxcosx

=sin2x

=

=sin,

则T==π.

又2kπ-2x-2kπ+(k∈Z),

∴kπ-x≤kπ+(k∈Z)为函数的单调递增区间.故选C.

4.已知5sin 2α=6cos α,,则tan =(　　)

A.- B C D

答案:B

解析:由题意,知10sinαcosα=6cosα,

又,∴sinα=,cosα=,

∴tan

5.已知tan=-,且<α<π,则等于(　　)

A B.- C.- D.-

答案:C

解析:=2cosα,

由tan=-,

得=-,解得tanα=-3.

因为<α<π,所以cosα=-

所以原式=2cosα=2=-

6.为了得到函数y=sin 2x+cos 2x的图象,可以将函数y=cos 2x-sin 2x的图象(　　)

A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度

C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度

答案:A

解析:∵y=sin2x+cos2x=

=cos2x-,

y=cos2x-sin2x=

=cos

=cos,

∴只需将函数y=cos2x-sin2x的图象向右平移个单位长度可得函数y=sin2x+cos2x的图象.

7.已知函数f(x)=cos+2cos22x,将函数y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,再将所得函数图象向右平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,则函数y=g(x)的一个单调递增区间为(　　)

A B C D

答案:B

解析:∵函数f(x)=cos+2cos22x=cos+1+cos4x=cos4x+sin4x+1+cos4x=cos4x+sin4x+1=sin+1,

∴函数y=f(x)的图象伸缩后的图象对应的解析式为y=sin+1,再平移后得y=g(x)=sin2x+1.

由2kπ-2x≤2kπ+,k∈Z,

得kπ-x≤kπ+,k∈Z,

当k=0时,得-x,故选B.

8.已知2cos2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=　　　　　,b=　　　　　. 

答案:　1

解析:因为2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=sin2x++1,所以A=,b=1.

9.设f(x)=+sin x+a2sin的最大值为+3,则实数a=　　　　　. 

答案:±

解析:f(x)=+sinx+a2sin

=cosx+sinx+a2sin

=sin+a2sin

=(+a2)sin

依题意有+a2=+3,则a=±

10.已知点在函数f(x)=2asin xcos x+cos 2x的图象上.

(1)求a的值和f(x)的最小正周期;

(2)求函数f(x)在区间(0,π)内的单调递减区间.

解:(1)函数f(x)=2asinxcosx+cos2x=asin2x+cos2x.

∵f(x)的图象过点,

∴1=asin+cos,可得a=1.

∴f(x)=sin2x+cos2x=sin

∴函数的最小正周期T==π.

(2)由2kπ+2x++2kπ,k∈Z,

可得kπ+x+kπ,k∈Z.

∴函数f(x)的单调递减区间为,k∈Z.

∵x∈(0,π),当k=0时,可得单调递减区间为

11.函数f(x)=cos+sin,x∈R.

(1)求f(x)的最小正周期;

(2)若f(α)=,,求tan的值.

解:(1)f(x)=cos+sin=sin+cossin,

故f(x)的最小正周期T==4π.

(2)由f(α)=,得sin+cos,则,

即1+sinα=,解得sinα=,

又,则cosα=,

故tanα=,

所以tan=7.

能力提升

12.已知函数f(x)=cos ωx(sin ωx+cos ωx)(ω>0),若存在实数x0,使得对任意的实数x,都有f(x0)≤f(x)≤f(x0+2 016π)成立,则ω的最小值为(　　)

A B C D

答案:C

解析:由题意可得,f(x0)是函数f(x)的最小值,f(x0+2016π)是函数f(x)的最大值.

又f(x)=cosωx(sinωx+cosωx)

=sin2ωx+

=sin,

所以要使ω取最小值,只需保证区间[x0,x0+2016π]为一个完整的单调递增区间即可.

故2016π=,求得ωmin=,故ω的最小值为,故选C.

13.已知cos α=,cos(α+β)=-,且α,,则cos(α-β)的值等于(　　)

A.- B C.- D

答案:D

解析:,∴2α∈(0,π).

∵cosα=,∴cos2α=2cos2α-1=-,

∴sin2α=,

又α,,∴α+β∈(0,π),

∴sin(α+β)=,

∴cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]

=cos2αcos(α+β)+sin2αsin(α+β)

=

=

14.已知函数f(x)=2sincos-2cos2x++1,则f(x)的最小正周期为　　　　　;函数f(x)的单调递增区间为　　　　　　　　　　. 

答案:π　(k∈Z)

解析:f(x)=2sincos-2cos2+1

=sin-cos

=

=sin

=sin

∴f(x)的最小正周期T==π.

因此f(x)=sin

当2kπ-2x+2kπ+(k∈Z),

即kπ-x≤kπ+(k∈Z)时,

∴函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z).

15.已知函数f(x)=sin xcos x+cos2x.

(1)求函数f(x)的最小正周期;

(2)若-<α<0,f(α)=,求sin 2α的值.

解:(1)∵函数f(x)=sinxcosx+cos2x=sin2x+=sin,

∴函数f(x)的最小正周期为=π.

(2)若-<α<0,则2α+

∵f(α)=sin,

∴sin,∴2α+,

∴cos,

∴sin2α=sin=sincos-cossin

高考预测

16.已知f(x)=sin2x-2sinsin

(1)若tan α=2,求f(α)的值;

(2)若x,求f(x)的取值范围.

解:(1)f(x)=(sin2x+sinxcosx)+2sincos

=sin2x+sin

=(sin2x-cos2x)+cos2x

=(sin2x+cos2x)+

由tanα=2,得sin2α=

cos2α==-

所以f(α)=(sin2α+cos2α)+

(2)由(1)得f(x)=(sin2x+cos2x)+sin2x++

由x,得2x+

所以-sin1,

所以0≤f(x),

所以f(x)的取值范围是