广西专用高考数学一轮复习考点规范练24三角恒等变换含解析新人教A版理

考点规范练24　三角恒等变换

基础巩固

1=(　　)

A.- B.-1 C D.1

答案:D

解析:原式=2

=2

=2sin30°=1.故选D.

2.已知α∈0,,2sin 2α=cos 2α+1,则sin α=(　　)

A B C D

答案:B

解析:∵2sin2α=cos2α+1,∴4sinαcosα=2cos2α.

∵α∈0,,∴cosα>0,sinα>0,∴2sinα=cosα.

又sin2α+cos2α=1,∴5sin2α=1,即sin2α=

∵sinα>0,∴sinα=

3.已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离是,则该函数的一个单调递增区间为(　　)

A B C D

答案:C

解析:f(x)=sinωx+cosωx=2sin

由题意得最小正周期T=π,所以ω=2,

所以f(x)=2sin

由-+2kπ≤2x++2kπ,k∈Z,

得-+kπ≤x+kπ,k∈Z,

故函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.

令k=0,得函数f(x)的一个单调递增区间为

4.(2020浙江慈溪期末)已知α∈(0,2π),且1+cos α=4sin α,则sin=(　　)

A B C或1 D或1

答案:D

解析:∵α∈(0,2π),(0,π),sin>0,

∵1+cosα=4sinα,∴2cos2=8sincos,

∴当cos=0时,可得sin=1;

当cos0时,可得cos=4sin,可得sin2+cos2=sin2=17sin2=1,

解得sin

综上,sin=1,或sin

5.已知tan=-,且<α<π,则等于(　　)

A B.- C.- D.-

答案:C

解析:=2cosα,

由tan=-,得=-,

解得tanα=-3,即=-3,

又sin2α+cos2α=1,

且<α<π,所以cosα=-

所以原式=2cosα=2=-

6.(2020黑龙江哈尔滨三模)已知函数f(x)=sin 2x-cos 2x,则(　　)

A.f(x)的最小正周期为

B.曲线y=f(x)关于点对称

C.f(x)的最大值为2

D.曲线y=f(x)关于直线x=对称

答案:D

解析:函数f(x)=sin2x-cos2x=sin,

所以函数的最小正周期T==π,所以A中说法不正确;

f(x)的最大值为,所以C中说法不正确;

函数图象的对称中心的横坐标满足2x-=kπ,k∈Z,所以x=,k∈Z,可得B中说法不正确;

由2x-=kπ+,k∈Z,得函数图象的对称轴方程为x=,k∈Z,当k=0时,x=,所以D中说法正确.

7.已知函数f(x)=cos+2cos22x,将函数y=f(x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,再将所得函数图象向右平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,则函数y=g(x)的一个单调递增区间为(　　)

A B C D

答案:B

解析:函数f(x)=cos+2cos22x=cos+1+cos4x=cos4x+sin4x+1+cos4x=cos4x+sin4x+1=sin+1,

则由题意,可得y=g(x)=sin2x+1.

由2kπ-2x≤2kπ+,k∈Z,

得kπ-x≤kπ+,k∈Z,

当k=0时,得-x故选B.

8.tan 15°-=　　　　　　. 

答案:-2

解析:tan15°-=-2

9.设f(x)=+sin x+a2sin的最大值为+3,则实数a=　　　　　. 

答案:±

解析:f(x)=+sinx+a2sin

=cosx+sinx+a2sin

=sin+a2sin

=(+a2)sin

依题意有+a2=+3,则a=±

10.已知点在函数f(x)=2asin xcos x+cos 2x的图象上.

(1)求a的值和f(x)的最小正周期;

(2)求函数f(x)在区间(0,π)内的单调递减区间.

解:(1)函数f(x)=2asinxcosx+cos2x=asin2x+cos2x.

∵f(x)的图象过点,

∴1=asin+cos,可得a=1.

∴f(x)=sin2x+cos2x=sin

∴函数的最小正周期T==π.

(2)由2kπ+2x++2kπ,k∈Z,

可得kπ+x+kπ,k∈Z.

∴函数f(x)的单调递减区间为,k∈Z.

∵x∈(0,π),当k=0时,可得单调递减区间为

11.函数f(x)=cos+sin,x∈R.

(1)求f(x)的最小正周期;

(2)若f(α)=,,求tan的值.

解:(1)f(x)=cos+sin=sin+cossin,故f(x)的最小正周期T==4π.

(2)由f(α)=,得sin+cos,

则,即1+sinα=,

解得sinα=,又,

则cosα=

故tanα=

所以tan=7.

能力提升

12.(2020广西梧州模拟)关于函数f(x)=2(sin x-cos x)·cos x的四个结论:

P1:最大值为;

P2:把函数y=sin 2x-1的图象向右平移个单位长度后可得到函数f(x)=2(sin x-cos x)cos x的图象;

P3:单调递增区间为,k∈Z;

P4:图象的对称中心为,k∈Z.

其中正确的结论有(　　)

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

答案:B

解析:f(x)=2sinxcosx-2cos2x=sin2x-cos2x-1=sin-1,可得f(x)的最大值为-1,∴P1错误;

将y=sin2x-1的图象向右平移个单位长度后得到y=sin2-1=sin-1的图象,∴P2错误;

由-+2kπ≤2x-+2kπ,k∈Z,可解得-+kπ≤x+kπ,k∈Z,即单调递增区间为-+kπ,+kπ,k∈Z,即+kπ,+kπ,k∈Z,∴P3正确;

由2x-=kπ,k∈Z,得x=+,k∈Z,∴图象的对称中心为+,-1,k∈Z,∴P4正确.

13.(2020湖北武汉模拟)设α,,且tan α-tan β=,则(　　)

A.3α+β= B.2α+β= C.3α-β= D.2α-β=

答案:D

解析:∵tanα-tanβ=,,

,

∴sinαcosβ=cosα(1+sinβ)=cosα+cosαsinβ,

∴cosα=sinαcosβ-cosαsinβ=sin(α-β),

由诱导公式可得cosα=sin(α-β)=cos,

∵α,,(0,π),∴α=-(α-β),变形可得2α-β=

14.已知=-,则sin2α+的值是　　　　　. 

答案:

解析:由=-,得3tan2α-5tanα-2=0,

解得tanα=2或tanα=-

又sin=sin2αcos+cos2αsin

=(sin2α+cos2α)

=

=(*)

当tanα=2时,(*)式=;

当tanα=-时,(*)式=

综上,sin

15.(2020江苏南通模拟)已知sin θ+cos θ=,

(1)求θ的值;

(2)设函数f(x)=sin2x-sin2(x+θ),x∈R,求函数f(x)的单调递增区间.

解:(1)因为sinθ+cosθ=,所以(sinθ+cosθ)2=sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ=1+sin2θ=,

即sin2θ=-,又,

所以2,所以2θ=-,θ=-

(2)由(1)可得θ=-,

则f(x)=sin2x-sin2(1-cos2x)-cos2x-cos=-cos2x+=sin2x-cos2x==sin.

令2kπ-2x-2kπ+,k∈Z,

则kπ-x≤kπ+,k∈Z,

所以函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.

高考预测

16.已知f(x)=sincos,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 020)=　　　　. 

答案:

解析:根据题意,f(x)=2=2sin=2sinx,

其周期T==6,且2020=336×6+4,

故f(1)+f(2)+…+f(2020)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2sin+2sin+2sinπ+2sin

17.已知向量a,b满足a=(-2sin x,(cos x+sin x)),b=(cos x,cos x-sin x),函数f(x)=a·b(x∈R).

(1)求f(x)在区间上的值域;

(2)已知数列an=n2f(n∈N*),求{an}的前2n项和S2n.

解:(1)f(x)=a·b=-sin2x+cos2x=2sin,

当x时,2x+,

可得2sin

即f(x)在区间上的值域为[-,2].

(2)∵an=n2f

=2n2sin2

=2n2sin,

∴S2n=[12-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2],

又(2n-1)2-(2n)2=-4n+1,

故S2n=(-2n2-n).