2021-2022学年江西省宜春实验中学八年级（下）质检数学试卷（一）（含解析）

2021-2022学年江西省宜春实验中学八年级（下）质检数学试卷（一）

副标题

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）

1. 在实数范围内有意义，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

2. 下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

3. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

4. 如图，▱中，对角线、交于点，点是的中点．若，则的长为

A.
B.
C.
D.

5. 已知在中，为的中点，，，，点为边上的动点．点为边上的动点，则的最小值是

A.
B.
C.
D.

6. 如图，在矩形中，，为上一点，且，为的中点．下列结论：
   ；平分；；其中结论正确的个数是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

7. 化简：______．
8. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离是______ ．
9. 已知长方形的面积为，其中一边长为，则该长方形的另一边长为______．
10. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，，的周长为，则的长为______．

11. 如图所示，是长方形地面，长，宽，中间竖有一堵砖墙高一只蚂蚱从点爬到点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走______的路程．
12. 如图，已知等腰中，，，是上的一个动点，将沿着折叠到处，再将边折叠到与重合，折痕为，当是等腰三角形时，的长是______．

三、解答题（本大题共9小题，共64.0分）

13. 计算：
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     
14. 先化简，再求值：，从，，，中选择一个适当的数作为值代入．
    
    
    
    
    
    
     
15. 如图所示，有一块地，已知米，米，，米，米，求这块地的面积．
    
     

16. 已知：如图，在平行四边形中，点、为对角线上两点，且求证：．
     

17. 如图，在的方格纸中，请按要求画格点三角形顶点在格点上．
    
    在图中画格点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形．
    在图中画格点，使是的中线，且，不在同一条网格线上．
    
    
    
    
    
    
     
18. 如图，一个长的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时的距离为，如果梯子的顶端沿墙下滑至点．
    求梯子底端外移距离的长度；
    猜想与的大小关系，并证明你的结论．
     

19. 阅读下列材料，然后回答问题：
    在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简；
    ．
    以上这种化简过程叫做分母有理化．
    还可以用以下方法化简：
    
    请任用其中一种方法化简：
    ；
    为正整数；
    化简：．
    
    
    
    
    
    
     
20. 如图，在▱中，点是边上的一点，且，过点作于点，交于点，连接、．
    若，求证：；
    若点是边上的中点，求证：．
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知：如图，在长方形中，，，，点是边上的动点，将翻折得，延长交于点，连结．
    求证：．
    如图，当时，点与点刚好重合．求此时的长．
    如图，连结，在点运动过程中，当和面积相等时，则______直接写出答案

答案和解析

1.【答案】

【解析】

解：根据二次根式有意义，分式有意义得：
解得：．
故选：．
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于，就可以求解．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数是非负数是解决问题的关键．
 

2.【答案】

【解析】

解：、，不符合勾股定理的逆定理，故正确；
B、，符合勾股定理的逆定理，故错误；
C、，符合勾股定理的逆定理，故错误；
D、，符合勾股定理的逆定理，故错误．
故选：．
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
 

3.【答案】

【解析】

解：、原式，故A符合题意．
B、，故B不符合题意．
C、原式，故C不符合题意．
D、原式，故D不符合题意．
故选：．
根据立方根的定义、算术平方根的定义、二次根式的乘除运算法则即可求出答案．
本题考查立方根、算术平方根、二次根式的乘除运算法则，本题属于基础题型．
 

4.【答案】

【解析】

解：四边形是平行四边形，
，
点是的中点，，
．
故选B．
由四边形是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，可得，又由点是的中点，易得是的中位线，继而求得答案．
此题考查了平行四边形的性质以及三角形中位线的性质．注意平行四边形的对角线互相平分．
 

5.【答案】

【解析】

解：，，，
，，
，
，
为的中点，，
垂直平分，
点，点关于直线对称，
过作交于，则此时的值最小，
，
，
，
的最小值为，
故选：．
根据勾股定理的逆定理得到，得到点，点关于直线对称，过作交于，则此时的值最小，根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了轴对称最短路线问题，勾股定理的逆定理，两点这间线段最短，线段垂直平分线的性质，三角形的面积公式，利用两点之间线段最短来解答本题．
 

6.【答案】

【解析】

解：在直角中，，为的中点，，，，，正确；
在直角中，，，，，在中，，，，，平分，正确；
，，，错误；
在矩形中，设，则，，在直角中，，，正确．
故选：．
由于是直角斜边上的中线，欲证，只需证明即可；在直角中，由于，，得出，然后分别算出与的度数即可；由于，，从而进行判断；如果设，则可用含的代数式表示、、的长度，然后在直角中运用勾股定理算出的值，再算出的值，比较即可．
本题主要考查了直角三角形、矩形的性质以及多边形的面积，勾股定理．综合性较强，有一定难度．
 

7.【答案】

【解析】

解：原式

．
故答案为．
先根据二次根式的乘法得到原式，然后根据二次根式的性质化简即可．
本题考查了二次根式的性质与化简：也考查了二次根式的乘法．
 

8.【答案】

【解析】

解：点到原点的距离．
故答案为．
直接利用两点简的距离公式计算．
本题考查了两点间的距离公式：设有两点，，则这两点间的距离为．
 

9.【答案】

【解析】

解：长方形的面积为，其中一边长为，
该长方形的另一边长为：．
故答案为：．
直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的除法，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

10.【答案】

【解析】

解：平行四边形的对角线、相交于点，，
，，
，
的周长为，
．
故答案为：．
直接利用平行四边形对角线互相平分得出的值，进而得出答案．
本题考查了平行四边形的性质，正确得出的长是解题关键．
 

11.【答案】

【解析】

解：如图所示，将图展开，图形长度增加个的长度，

即原图长度增加米，
米，
连接，
四边形是长方形，米，宽米，
在中，由勾股定理得：
米，
蚂蚁从点爬到点，它至少要走米的路程．
故答案为：．
连接，利用勾股定理求出的长，再把中间的墙平面展开，使原来的矩形长度增加而宽度不变，求出新矩形的对角线长即可．
本题考查了平面展开最短路线问题，勾股定理，图形的翻折变换，明确将图展开，图形长度增加个的长度，即原图长度增加米是解题的关键．
 

12.【答案】

或或
 

【解析】

解：将沿着折叠到处，再将边折叠到与重合，折痕为，
，，
当时，是等腰三角形，
如图，

，
，
，
≌，
，
垂直平分，
，，
，，
，
，
，
设，
，
，
，
；
当时，如图，作，连接，延长交于，

，，
，
，
将沿着折叠到处，再将边折叠到与重合，折痕为，
，，，，
，，，
，
设，则，
，
，且，，
≌
，
，
，
；
若，如图，作点作于，延长交于，

同理可求，
，
故答案为：或或．
由折叠的性质可得，，分三种情况讨论，利用全等三角形的性质和勾股定理可求解．
本题考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
 

13.【答案】

解：原式

；

原式

．
 

【解析】

首先化简二次根式，然后再合并同类二次根式即可；
首先利用乘法分配律计算乘法，再化简后合并即可．
此题主要考查了二次根式的混合运算，关键是掌握计算顺序，先算乘除，后算加减．
 

14.【答案】

解：原式


，
要使原式有意义，、，
，
把代入得：
原式
．
 

【解析】

先通分计算括号内的加法，再把除化为乘，计算分式的除法，化简后将代入即可得答案．
本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握运算顺序及分式计算的相关法则．
 

15.【答案】

解：如图，连接．
在中，米，米，，
米，
又，
是直角三角形，
这块地的面积的面积的面积平方米．
 

【解析】

连接，先利用勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，那么的面积减去的面积就是所求的面积．
本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用，得到是直角三角形是解题的关键，同时考查了直角三角形的面积公式．
 

16.【答案】

证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
即．
 

【解析】

证明≌，由全等三角形的性质可得出答案．
本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题．
 

17.【答案】

解：如图中，，即为所求；
如图中，即为所求答案不唯一．

 

【解析】

根据等腰直角三角形的定义以及题目要求作出图形即可；
根据要求作出图形即可答案不唯一．
本题考查作图应用与设计作图，三角形的中线，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
 

18.【答案】

解：，，，
，
梯子的顶端沿墙下滑至点，
，
，
由勾股定理得：，
；
解：与的大小关系是，
证明：连接，

由知：，，

在和中

≌，
，，
，
，
，
．
 

【解析】

本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和判定等知识点，能灵活运用勾股定理进行计算是解的关键，能求出和是解的关键．
利用勾股定理求出，求出，再根据勾股定理求出，即可求出答案；
求出和全等，根据全等三角形的性质得出，，求出，求出，根据等腰三角形的判定得出即可．
 

19.【答案】

解：原式

；
原式


；
原式
．
 

【解析】

分子、分母都乘以；
分子、分母都乘以；
先将各式分母有理化，再进一步计算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算及分母有理化，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
 

20.【答案】

证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
；
证明：如图，延长，交的延长线于点，
四边形是平行四边形，
，
，
点是边上的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
．
 

【解析】

由四边形是平行四边形，，易证得，又由，可证得≌，由全等三角形的性质得出，则可得出结论；
延长，交的延长线于点，易证得≌，又由，可得是的斜边上的中线，继而证得结论．
此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
 

21.【答案】

【解析】

证明：将翻折得，
，
四边形是矩形，
，
，
，
；
解：将翻折得，
，，
，
，
，
；
解：过点作，交的延长线于点，

，
，
将翻折得，
，，，
，
，
≌，
，
又，
，
过点作于点，设，则，，
，
，
解得，
．
故答案为：．
由折叠的性质得出，由矩形的性质得出，可证出，则可得出结论；
由勾股定理求出的长，则可得出答案；
过点作，交的延长线于点，证明≌，由全等三角形的性质得出，过点作于点，设，由勾股定理得出，求出，则可得出答案．
本题是四边形综合题，考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．