2022年天津市中考数学真题

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2022年天津市初中学业水平考试试卷
数学
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟．
答卷前，请务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题卡”上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回．
祝你考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点．
2．本卷共12题，共36分．
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 计算的结果等于（ ）
A. B. C. 5 D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】直接计算得到答案．
【详解】
=
=
故选：A．
【点睛】本题考查有理数的运算，解题的关键是熟练掌握有理数的运算知识．
2. 的值等于（ ）
A. 2 B. 1 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角函数定义：正切=对边与邻边之比，进行求解．
【详解】作一个直角三角形，∠C=90°，∠A=45°，如图：


∴∠B=90°-45°=45°，
∴△ABC是等腰三角形，AC=BC，
∴根据正切定义，，
∵∠A=45°，
∴，
故选 B．
【点睛】本题考查了三角函数，熟练理解三角函数的定义是解题关键．
3. 将290000用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用科学记数法的表示方式表示即可．
【详解】解：．
故选：B
【点睛】此题考查科学记数法表示绝对值大于1的数．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n与小数点移动的位数相同．解题关键要正确确定a的值以及n的值．
4. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念对各项分析判断即可得解．
【详解】A．不是轴对称图形，故本选项错误；
B．不是轴对称图形，故本选项错误；
C．不是轴对称图形，故本选项错误；
D．是轴对称图形，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查轴对称图形，理解轴对称图形的概念是解答的关键．
5. 下图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】画出从正面看到的图形即可得到它的主视图．
【详解】解：几何体的主视图为：

故选：A
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图：画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
6. 估计的值在（ ）
A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间
【答案】C
【解析】
【分析】根据得到，问题得解．
【详解】解：，
，即在5和6之间．
故选：C．
【点睛】此题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算的方法确定的整数部分是解本题的关键．
7. 计算的结果是（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用同分母分式的加法法则计算，约分得到结果即可．
【详解】解：．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了分式的加减，解题的关键是掌握分式加减运算顺序和运算法则．
8. 若点都在反比例函数的图像上，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将三点坐标分别代入函数解析式求出，然后进行比较即可．
【详解】将三点坐标分别代入函数解析式，得：
，解得；
，解得；
，解得；
∵-8<2<4，
∴，
故选： B．
【点睛】本题考查反比例函数，关键在于能熟练通过已知函数值求自变量．
9. 方程的两个根为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将进行因式分解，，计算出答案．
【详解】∵
∴
∴
故选：D．
【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解法解一元二次方程．
10. 如图，△OAB的顶点O(0，0)，顶点A，B分别在第一、四象限，且AB⊥x轴，若AB=6，OA=OB=5，则点A的坐标是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用HL证明△ACO≌△BCO，利用勾股定理得到OC=4，即可求解．
【详解】解：∵AB⊥x轴，
∴∠ACO=∠BCO=90°，

∵OA=OB，OC=OC，
∴△ACO≌△BCO(HL)，
∴AC=BC=AB=3，
∵OA=5，
∴OC=4，
∴点A的坐标是（4，3），
故选：D．
【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
11. 如图，在△ABC中，AB=AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据旋转的性质，对每个选项逐一判断即可．
【详解】解：∵将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，∴△ABM≌△ACN，
∴AB=AC，AM=AN，
∴AB不一定等于AN，故选项A不符合题意；
∵△ABM≌△ACN，
∴∠ACN=∠B，
而∠CAB不一定等于∠B，
∴∠ACN不一定等于∠CAB，
∴AB与CN不一定平行，故选项B不符合题意；
∵△ABM≌△ACN，
∴∠BAM=∠CAN，∠ACN=∠B，
∴∠BAC=∠MAN，
∵AM=AN，AB=AC，
∴△ABC和△AMN都是等腰三角形，且顶角相等，
∴∠B=∠AMN，
∴∠AMN=∠ACN，故选项C符合题意；
∵AM=AN，
而AC不一定平分∠MAN，
∴AC与MN不一定垂直，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质．旋转变换是全等变换，利用旋转不变性是解题的关键．
12. 已知抛物线（a，b，c是常数，）经过点，有下列结论：
①；
②当时，y随x的增大而增大；
③关于x的方程有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【详解】由题意可知：，，，
，
，即，得出，故①正确；
，
对称轴，
，
时，随的增大而减小，时，随的增大而增大，故②不正确；
，
关于x的方程有两个不相等的实数根，故③正确．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质及一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质并能应用求解．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13. 计算的结果等于___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法即可求得答案．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握计算方法是解题的关键．
14. 计算的结果等于___________．
【答案】18
【解析】
【分析】根据平方差公式即可求解．
【详解】解：，
故答案为：18．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式的展开式是解题的关键．
15. 不透明袋子中装有9个球，其中有7个绿球、2个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【详解】解：∵袋子中共有9个小球，其中绿球有7个，
∴摸出一个球是绿球的概率是，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
16. 若一次函数（b是常数）图象经过第一、二、三象限，则b的值可以是___________（写出一个即可）．
【答案】1（答案不唯一，满足即可）
【解析】
【分析】根据一次函数经过第一、二、三象限，可得，进而即可求解．
【详解】解：∵一次函数（b是常数）的图象经过第一、二、三象限，
∴
故答案为：1答案不唯一，满足即可）
【点睛】本题考查了已知一次函数经过的象限求参数的值，掌握一次函数图象的性质是解题的关键．
17. 如图，已知菱形的边长为2，，E为的中点，F为的中点，与相交于点G，则的长等于___________．


【答案】
【解析】
【分析】连接FB，作交AB的延长线于点G．由菱形的性质得出，，解直角求出，，推出FB为的中位线，进而求出FB，利用勾股定理求出AF，再证明，得出．
【详解】解：如图，连接FB，作交AB的延长线于点G．


∵四边形是边长为2的菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
，
∵E为的中点，
∴，
∴，即点B为线段EG的中点，
又∵F为的中点，
∴FB为的中位线，
∴，，
∴，即是直角三角形，
∴．
在和中，
，‘
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查菱形的性质，平行线的性质，三角函数解直角三角形，三角形中位线的性质，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，添加辅助线构造直角是解题的关键．
18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点A，B，C及的一边上的点E，F均在格点上．

（Ⅰ）线段长等于___________；
（Ⅱ）若点M，N分别在射线上，满足且．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明）___________．
【答案】 ①. ②. 见解析
【解析】
【分析】（Ⅰ）根据勾股定理，从图中找出EF所在直角三角形的直角边的长进行计算；
（Ⅱ）由图可找到点Q，，即四边形EFBQ是正方形，因为，所以，点M在EQ上，BM、BN与圆的交点为直径端点，所以EQ与PD交点为M，通过BM与圆的交点G和圆心O连线与圆相交于H，所以H在BN上，则延长BH与PF相交点即为N．
【详解】解：（Ⅰ）从图中可知：点E、F水平方向距离为3，竖直方向距离为1，
所以，
故答案为：；
（Ⅱ）连接，与竖网格线相交于点O，O即为圆心；取格点Q（E点向右1格，向上3格），连接与射线相交于点M；连接与相交于点G；连接并延长，与相交于点H；连接并延长，与射线相交于点N，则点M，N即为所求，

理由如下：连接
由勾股定理算出，
由题意得，
四边形为正方形，
在和中，
，
，
，
，
，
，


，

，
从而确定了点的位置．
【点睛】本题考查作图，锐角三角函数、圆周角定理，三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握圆周角的定理．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19. 解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得___________；
（2）解不等式②，得___________；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

（4）原不等式组的解集为___________．
【答案】（1）
（2）
（3）见解析 （4）
【解析】
【分析】（1）通过移项、合并同类项直接求出结果；
（2）通过移项直接求出结果；
（3）根据在数轴上表示解集的方法求解即可；
（4）根据数轴得出原不等式组的解集．
【小问1详解】
解：移项得：
解得：
故答案为：；
【小问2详解】
移项得：，
解得：，
故答案为：；
【小问3详解】
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
【小问4详解】
所以原不等式组的解集为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键．
20. 在读书节活动中，某校为了解学生参加活动的情况，随机调查了部分学生每人参加活动的项数．根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．


请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受调查的学生人数为___________，图①中m的值为___________；
（2）求统计的这组项数数据的平均数、众数和中位数．
【答案】（1）40，10
（2）平均数是2，众数是2，中位数是2
【解析】
【分析】（1）根据参加2项的人数和所占百分比即可求得总人数，再利用×100%=百分比，即可求解．
（2）根据平均数、众数及中位数的含义即可求解．
【小问1详解】
解：由图可得，参加2项的人数有18人，占总体的45%，参加4项的有4人，
则（人），，
故答案为：40；10．
【小问2详解】
平均数：，
∵在这组数据中，2出现了18次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是2，
∵将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2，有，
∴这组数据的中位数是2．
则平均数是2，众数是2，中位数是2．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，平均数、众数和中位数的求法，理解两个统计图中的数量关系是解题的关键．
21. 已知为的直径，，C为上一点，连接．


（1）如图①，若C为的中点，求的大小和的长；
（2）如图②，若为的半径，且，垂足为E，过点D作的切线，与的延长线相交于点F，求的长．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）由圆周角定理得，由C为的中点，得，从而，即可求得的度数，通过勾股定理即可求得AC的长度；
（2）证明四边形为矩形，FD=CE= CB，由勾股定理求得BC的长，即可得出答案．
【小问1详解】
∵为的直径，
∴，
由C为的中点，得，
∴，得，
在中，，
∴；
根据勾股定理，有，
又，得，
∴；
【小问2详解】
∵是的切线，
∴，即，
∵，垂足为E，
∴，
同（1）可得，有，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，于是，
在中，由，得，
∴．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，切线的性质，等腰直角三角形的性质，垂径定理，勾股定理和矩形的判定和性质等，解题的关键是利用数形结合的思想解答此题．
22. 如图，某座山的项部有一座通讯塔，且点A，B，C在同一条直线上，从地面P处测得塔顶C的仰角为，测得塔底B的仰角为．已知通讯塔的高度为，求这座山的高度（结果取整数）．参考数据：．


【答案】这座山的高度约为
【解析】
【分析】在中，，在中，，利用，即可列出等式求解．
【详解】解：如图，根据题意，．


在中，，
∴．
在中，，
∴．
∵，
∴．
∴．
答：这座山的高度约为．
【点睛】本题考查三角函数测高，解题的关键在运用三角函数的定义表示出未知边，列出方程．
23. 在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．

已知学生公寓、阅览室、超市依次在同一条直线上，阅览室离学生公寓，超市离学生公寓，小琪从学生公寓出发，匀速步行了到阅览室；在阅览室停留后，匀速步行了到超市；在超市停留后，匀速骑行了返回学生公寓．给出的图象反映了这个过程中小琪离学生公寓的距离与离开学生公寓的时间之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填表：
离开学生公寓的时间/
5
8
50
87
112
离学生公寓的距离/
0.5


1.6


（2）填空：
①阅览室到超市的距离为___________；
②小琪从超市返回学生公寓的速度为___________；
③当小琪离学生公寓的距离为时，他离开学生公寓的时间为___________．
（3）当时，请直接写出y关于x的函数解析式．
【答案】（1）0.8，1.2，2
（2）①0.8；②0.25；③10或116
（3）当时，；当时，；当时，
【解析】
【分析】（1）根据题意和函数图象，可以将表格补充完整；
（2）根据函数图象中的数据，可以将各个小题中的空补充完整；
（3）根据（2）中的结果和函数图象中的数据，可以写出当时，y关于x的函数解析式．
【小问1详解】
由图象可得，在前12分钟的速度为：1.2÷12=0.1km/min,
故当x=8时，离学生公寓的距离为8×0.1=0.8；
在时，离学生公寓的距离不变，都是1.2km
故当x=50时，距离不变，都1.2km；
在时，离学生公寓的距离不变，都是2km，
所以，当x=112时，离学生公寓的距离为2km
故填表为：
离开学生公寓时间/
5
8
50
87
112
离学生公寓的距离/
0.5
0.8
1.2
1.6
2
【小问2详解】①阅览室到超市的距离为2-1.2=0.8；
②小琪从超市返回学生公寓的速度为：
2÷（120-112）=0.25；
③分两种情形：
当小琪离开学生公寓，与学生公寓的距离为时，他离开学生公寓的时间为：
1÷0.1=10；
当小琪返回与学生公寓的距离为时，他离开学生公寓的时间为：
112+（2-1）÷｛2÷（120-112）｝=112+4=116min；
故答案为：①0.8；②0.25；③10或116
【小问3详解】
当时，设直线解析式为y=kx，
把（12，1.2）代入得，12k=1.2,
解得，k=0.1
∴；
当时，；
当时，设直线解析式为，
把（82，1.2），（92，2）代入得，

解得，
∴，
由上可得，当时，y关于x的函数解析式为．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24. 将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，点P在边上（点P不与点O，C重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且，点O的对应点落在第一象限．设．


（1）如图①，当时，求的大小和点的坐标；
（2）如图②，若折叠后重合部分为四边形，分别与边相交于点E，F，试用含有t的式子表示的长，并直接写出t的取值范围；
（3）若折叠后重合部分的面积为，则t的值可以是___________（请直接写出两个不同的值即可）．
【答案】（1），点的坐标为
（2），其中t的取值范围是
（3）3，．（答案不唯一，满足即可）
【解析】
【分析】（1）先根据折叠的性质得，即可得出，作，然后求出和OH，可得答案；
（2）根据题意先表示，再根据，表示QE，然后根据表示即可，再求出取值范围；
（3）求出t=3时的重合部分的面积，可得从t=3之后重合部分的面积始终是，再求出P与C重合时t的值可得t的取值范围，问题得解．
【小问1详解】
在中，由，得．
根据折叠，知，
∴，．
∵，
∴．
如图，过点O′作，垂足为H，则．


∴在中，得．
由，得，则．
由，
得，．
∴点的坐标为．
【小问2详解】
∵点，
∴．
又，
∴．
同（1）知，，．
∵四边形是矩形，
∴．
在中，，得．
∴．
又，
∴.
如图，当点O′与AB重合时，，，
则，
∴，
∴，
解得t=2，
∴t的取值范围是；

小问3详解】
3，．（答案不唯一，满足即可）
当点Q与点A重合时，，，
∴，
则.
∴t=3时，重合部分的面积是，
从t=3之后重合部分的面积始终是，
当P与C重合时，OP＝6，∠OPQ＝30°，此时t＝OP·tan30°＝，
由于P不能与C重合，故，
所以都符合题意．

【点睛】这是一道关于动点的几何综合问题，考查了折叠的性质，勾股定理，含30°直角三角形的性质，矩形的性质，解直角三角形等．
25. 已知抛物线（a，b，c是常数，）的顶点为P，与x轴相交于点和点B．
（1）若，
①求点P的坐标；
②直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与相交于点G，当取得最大值时，求点M，G的坐标；
（2）若，直线与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当的最小值为5时，求点E，F的坐标．
【答案】（1）①；②点M的坐标为，点G的坐标为；
（2）点和点；
【解析】
【分析】（1）①将b、c的值代入解析式，再将A点坐标代入解析式即可求出a的值，再用配方法求出顶点坐标即可；②先令y=0得到B点坐标，再求出直线BP的解析式，设点M的坐标为，则点G的坐标为，再表示出MG的长，配方求出最值得到M、G的坐标；
（2）根据，解析式经过A点，可得到解析式：，再表示出P点坐标，N点坐标，接着作点P关于y轴的对称点，作点N关于x轴的对称点，再把和的坐标表示出来，由题意可知，当取得最小值，此时，将字母代入可得：，求出a的值，即可得到E、F的坐标；
【小问1详解】
①∵抛物线与x轴相交于点，
∴．又，得．
∴抛物线的解析式为．
∵，
∴点P的坐标为．
②当时，由，
解得．
∴点B的坐标为．
设经过B，P两点的直线的解析式为，
有解得
∴直线的解析式为．
∵直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与相交于点G，如图所示：

∴点M的坐标为，点G的坐标为．
∴．
∴当时，有最大值1．
此时，点M的坐标为，点G的坐标为．
【小问2详解】
由（Ⅰ）知，又，
∴．
∴抛物线的解析式为．
∵，
∴顶点P的坐标为．
∵直线与抛物线相交于点N，
∴点N的坐标为．
作点P关于y轴的对称点，作点N关于x轴的对称点，如图所示：

得点的坐标为，点的坐标为．
当满足条件的点E，F落在直线上时，取得最小值，
此时，．
延长与直线相交于点H，则．
在中，．
∴．
解得（舍）．
∴点的坐标为，点的坐标为．
则直线的解析式为．
∴点和点．
【点睛】本题考查二次函数的几何综合运用，熟练掌握待定系数法求函数解析式、配方法求函数顶点坐标、勾股定理解直角三角形等是解决此类问题的关键．